罗湖区2017年初中数学命题比赛试题

罗湖区2017年初中数学命题比赛试题

罗湖外语学校初中实验部 纪静萍 初二年级

说明：全卷23题，共6页，考试时间90分钟，满分100分。

第一部分 选择题

一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确．．的） 1.-2017的倒数是（ ） A ．2017， B. -2017, C.

20171, D. 20171

2.观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

3.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5×10﹣3毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把2.5×10﹣3用小数形式表示正确的是（ ） A 、0.000025 B 、0.00025 C 、0.0025 D 、0.025

4.如图，已知AB=AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）

A ．CB=CD

B ． ∠BAC=∠DA

C C ． ∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°

5.下列不属于．．．

勾股数的是（ ） A ．60，80，120 B. 5，12，13 C. 0.3, 0.4, 0.5 D. 8, 15，17 6. 下列运算正确的是（ ） A 、a 2

?a 3

=a 6

B 、（a 2）3=a 5

C 、（﹣2a 2b ）3=﹣8a 6b 3

D 、（2a+1）2

=4a 2+2a+1

7. 小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页、数学2页、英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、

8. 深圳市去年九月份第一周连续七天的日平均气温分别为27，25，24，27，24，28，24（单位：℃）．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A 、24℃，25℃ B 、24℃，26℃ C 、24℃，27℃ D 、28℃，25℃

9.已知 k 1＜0＜k 2 ， 则函数 y=k 1x 和的图象大致是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

10.为迎接2011年“大运会”的到来，我市对20千米长的北环大道进行了改造，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时平均每天比原计划多改造100米，结果提前10天完成改造工程，若原计划平均每天改造道路x 千米，则可得方程为 （ ） A 、-=10 B 、-=10

C 、-=10

D 、

-=10

11.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

12.如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ， 连结BD 交CE 于点G ， 连结BE. 下列结论中：① CE=BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB ； ④ CD·AE=EF·CG ；一定正确的结论有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

第二部分 非选择题

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13.因式分解：=-x x 823

▲ ．

14.在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示），已知立杆AB 的高度是6米，从侧面D 测到路况警示牌顶端C 点和低端B 点的仰角分别是60°和45°，则路况警示牌宽BC 的值为________ .

15.如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．

16.如图，在矩形OABC 中，AB=2BC ，点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，连接OB ，反比例函数

y=（k ≠0，x ＞0）的图象经过OB 的中点D ，与BC 边交于点E ，点E 的横坐标是4，则k 的值是 .

三、解答题（本题共7小题，其中第17小题5分，第18小题7分，第19小题6分，第20小题8分，第21小题8分，第22小题9分，第23小题9分，共52分）

17．计算 ?---+--30cos 3)3

1()2013(31

0π

18. 先化简，再求值:),1

x 11()1x x x (2-+÷+-

其中x 的值是不等式组的整数．．

解。

19. 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有 名； （2）把条形统计图补充完整；

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

4

2x 3-≥+-0

3)1x (2>-+

20.在矩形ABCD

中，DC CF BD =⊥分别交,BD AD 于点,E F ，连接BF ． （1）求证：△DEC ∽△FDC ；

（2）当F 为AD 的中点时，求sin FBD ∠的值及BC 的长度．

21.为了迎接“十?一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m 的值；

（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每

双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

22.如图，在ABC ?中，AB AC =，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，连接OD ，过点

D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点

E ，交AC 于点

F 。 （1）求证：//OD AC ；

（2）当10AB =，

cos ABC ∠=AF 及BE 的长。

解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C. ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB.∴∠C=∠ODB. ∴OD ∥AC.

（2）如图，连接AD ，

∵AB 为直径，∴AB ⊥BD.∴∠ADC=90°.

C

∵AB=10，，

∴BD=AB?cos∠ABC=.

∴AD=.

∵DF是圆的切线，∴OD⊥DF.∴∠ODF=90°.

∵AC∥OD，∴∠AFD=90°.

∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，∴△ADC∽△AFD，

∴，即，解得AF=8.

∵OD∥AF ，∴，即.

∴BE=．

23.如图10，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

解答：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC= ∠COB=90°，

∴ΔAOC∽ΔCOB，∴OA OC OC OB

=．

又∵A(–1，0)，B(9，0)，

∴

1

9

OC

OC

=，解得OC=3(负值舍去)．∴C(0，–3)，

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，

∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=1

3

，

∴二次函数的解析式为y=1

3

(x+1)(x–9)，即y=

1

3

x2–

8

3

x–3．

(2) ∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，图10

图10答案图

∴OO′=4，O′(4，0)，

∵点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，

∴∠BCD=12∠BCE=1

2×90°=45°，

连结O′D 交BC 于点M ，则∠BO′D =2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=1

2

AB=5．∴D(4，–5)． ∴设直线BD 的解析式为y=kx+b （k≠0）

∴90,4 5.k b k b +=??+=-?

解得1,9.k b =??=-?

∴直线BD 的解析式为y=x –9.

(3) 假设在抛物线上存在点P ，使得∠PDB=∠CBD ， ：分两种情况(如答案图所示)：

①当DP 1∥CB 时，能使∠PDB=∠CBD ． ∵B(9，0)，C(0，–3)．

∴用待定系数法可求出直线BC 解析式为y=1

3x –3．

又∵DP 1∥CB ，∴设直线DP 1的解析式为y=1

3

x+n ．

把D(4，–5)代入可求n= –19

3，

∴直线DP 1解析式为y=13

x –19

3． ····························· 9分

解方程组21193318 3.33y x y x x ?

=-????=--??，

得11x y ?=????

=??

22x y ?=???

?=?? ∴点P 1坐标为

，[坐标为

)不符合题意，舍去]．

······································································································································· 10分 ②在线段O′B 上取一点N ，使BN=DM 时，得ΔNBD ≌ΔMDB(SAS)，∴∠NDB=∠CBD ．

由①知，直线BC 解析式为y=1

3

x –3．

取x=4，得y= –53，∴M(4，–53)，∴O′N=O′M=5

3

，∴N(173，0)，

又∵D(4，–5)，

∴直线DN 解析式为y=3x –17． ················································································· 11分

解方程组231718

3.33y x y x x =-??

?=--??

，

得1138x y =??=-?，；221425.x y =??=?， ∴点P 2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]． ······································································································································· 12分

∴符合条件的点P 有两个：P 1

)，P 2(14，25)．