2020届山东省潍坊市高三2月数学模拟卷(二)(解析版)

2020届山东省潍坊市高三2月数学模拟试题（二）

一、单选题

1．已知集合A ＝{x |lnx ＜1}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，2） B ．（0，2）

C ．（﹣1，e ）

D ．（0，e ）

【答案】B

【解析】根据题意分别解出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出． 【详解】

A ＝{x |lnx ＜1}＝{x |0＜x ＜e }，

B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝(﹣1，2)， 故A ∩B ＝（0，2）. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，涉及对数不等式和一元二次不等式的求解，属于基础题． 2．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），若12z i i i

=+-，则z ＝（ ） A ．13

55

i -

+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155

i --

【答案】C

【解析】直接根据复数代数形式的四则运算法则即可求出复数z ． 【详解】 ∵

12z i

i i

=+-， ∴()()()1123125

5

5

i i i i z i i

+-++=

=

=-+-，

∴z 3155

i =-

+. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，属于基础题． 3．已知命题P ：有的三角形是等边三角形，则 A ．P ?：有的三角形不是等边三角形 B ．P ? ：有的三角形是不等边三角形 C ．P ?：所有的三角形都是等边三角形 D ．P ?：所有的三角形都不是等边三角形

【答案】D

【解析】存在量词的否定为全称量词，然后否定结论即可.

【详解】

因为命题P是特称命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，

所以命题P的否定是所有的三角形都不是等边三角形.

故本题正确答案为D.

【点睛】

全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

4．2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改

++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科实施后，学生将在高二年级将面临着312

必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）

A．样本中的女生数量多于男生数量

B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量

C．样本中的男生偏爱物理

D．样本中的女生偏爱历史

【答案】D

【解析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论.

【详解】

由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D. 【点睛】

本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题. 5．函数ln ||cos ()sin x x

f x x x

?=

+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断. 【详解】

解：因为ln ||cos ()()sin x x

f x f x x x

?-=-

=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排

除A ，又因为()10f ±=，()02f π

±=，()03

f π

>，()0f π<，故排除B 、C , 故选：D . 【点睛】

本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题. 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得p+2是素数，素数对(p ，p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是 A ．

1

15

B ．

215

C ．

245

D ．

445

【答案】D

【解析】由题意明确不超过30的素数有10个，满足题意的孪生素数对有4个，利用古典概型公式可得结果. 【详解】

不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个， 根据素数对(p ，p+2)称为孪生素数，

则由不超过30的素数组成的孪生素数对为(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)， 共有4组，能够组成孪生素数的概率为2104445

P C ==， 故选D 【点睛】

本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力. 7．已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，22AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．9π

C ．

25π

3

D ．

1219

π

【答案】D

【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．

详解：因为2,22AB BC AC ===，所以AB BC ⊥， 过AC 的中点M 作平面ABC 的垂下MN ，则球心O 在MN 上， 设OM h =，球的半径为R ，则棱锥的高的最大值为R h +，

因为11

22()232

D ABC V R h -=

????+=，所以3R h +=， 由勾股定理得22

(3)2R R =-+，解得116

R =，

所以球的表面积为1211214369

S π

π=?=，故选D ．

点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．

8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已

知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ?的周长为（ ） A ．

71

2612

+ B ．910+

C ．

83

2612

+ D ．926+

【答案】D

【解析】抛物线方程中：令1y =可得1

4x =

，即1,14A ?? ???

， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-，

与抛物线方程联立可得：()

2222

220k x k x k -++=，

据此可得：1

1,4A B B A

x x x x =∴==， 且：254

A B AB x x p =++=

， 将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -， 故()()

22

434126MB =

-+--=,

故△ABM 的周长为12532692644MA AB BM ?

?++=-++=+ ??

?,

本题选择D 选项.

二、多选题

9．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )

A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于

4

π B ．点C 到面11ABC D 的距离为

22

C ．两条异面直线1

D C 和1BC 所成的角为

4

π

D ．三棱柱1111AA D BB C -【答案】ABD

【解析】根据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可判断各选项的真假． 【详解】

正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，

对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14

CBC π

∠=

，故选项A 正确；

对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即

h =

，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C V 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为

3

π

，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体

1111ABCD A B C D -的外接球，故22

r ==

，故选项D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】

本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题． 10．若104a =，1025b =，则（ ） A ．2a b += B ．1b a -=

C ．281g 2ab >

D ．lg 6b a ->

【答案】ACD

【解析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】

解：由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则

lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，

25lg 25lg 4lg 4

b a ∴-=-=， 25

lg101lg lg 64

=>>Q lg6b a ∴->

24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，

故正确的有：ACD 故选：ACD . 【点睛】

本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.

11．已知函数f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于直线2

x π

=对称

B ．f （x ）的周期为

2

π C ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心 D ．f （x ）在区间42，ππ??

????

上单调递增

【答案】AB

【解析】先根据二倍角公式化简变形函数f （x ），再作出其图象，即可判断各选项的真假． 【详解】

因为函数f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx |1

2

=|sin 2x |， 画出函数图象，如图所示；

由图可知，f （x ）的对称轴是x 4

k π

=，k ∈Z ； 所以x 2

π=

是f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；

f （x ）的最小正周期是

2

π

，所以B 正确；

f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误； 由图可知，f （x ）1

2=|sin 2x |在区间42ππ??????

，上是单调减函数，D 错误. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查二倍角公式的应用，以及利用函数图象研究其性质，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题．

12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）

A ．m ＝3

B ．7

67173a =?

C ．()1

313j ij a i -=-?

D ．()()1

31314

n S n n =

+- 【答案】ACD

【解析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，

再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】

∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 1

2

=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1?3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]?3j ﹣1＝（3i ﹣1）?3j ﹣1， ∴a 67＝17×36，

∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )

11121131313131313

n

n n n a a a ---=+++

---L L （）（）（） 1

2=

（3n ﹣1）?

2312

n n +-（）

1

4

=

n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．

三、填空题

13．已知向量a =r

（1，1），b =r

（﹣1，3），c =r

（2，1），且（a b r

r

λ-）∥c r

，则λ＝_____. 【答案】1

7

-

【解析】先利用向量的坐标运算求出a b λ-r

r

，再根据向量平行的坐标表示即可求出． 【详解】

向量a =r （1，1），b =r （﹣1，3），c =r

（2，1），

所以a b λ-=r

r

（1+λ，1﹣3λ），

又（a b λ-r

r

）∥c r

，所以，2×（﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ1

7

=-. 故答案为：17

-. 【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算和向量平行的坐标表示的应用，属于基础题． 14．(1+ax 2)(x ﹣3)5的展开式中x 7系数为2，则a 的值为_____. 【答案】2

【解析】利用二项式定理展开(x ﹣3)5,可知x 7系数为a ，即可求得． 【详解】

∵(1+ax 2)(x ﹣3)5＝（1+ax 2）（x 5﹣15x 4+90x 3﹣270x 2+405x ﹣243）的展开式中x 7系数为a ＝2，

则a 的值为2， 故答案为：2. 【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．

15．双曲线C ：22

2210x y a b a b

-=（，＞）

的左、右焦点为F 1，F 2，直线y =与C 的右支相交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为_____；若该双曲线的焦点

_____.

【答案】32 22

145

x y -=.

【解析】根据题意可得点P 的坐标，从而求出|PF 1|，|PF 2|，再根据距离公式可以列方程

求出,a c b 的值，最后根据,,a b c 的关系，即可求出双曲线的方程． 【详解】

把y =代入C 的方程可得x ＝2a ，∴P （2a b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 由双曲线的定义可知：|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，

4a =2a =，

整理可得8ac ＝12a 2，∴2c ＝3a ，所以双曲线的离心率为3

2

c e a =

=.

b =32

c a ==，

解得a ＝2，所以双曲线的方程为：22

145x y -=.

故答案为：32；22

145

x y -=．

【点睛】

本题主要考查双曲线的定义和简单性质的应用，属于基础题．

16．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，

e ]时，

f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x e

π

=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2

314

g x sin x π

=+（

）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图

象，，则h （7）＝_____.

【解析】根据题意可知函数f （x ）是一个周期为2e 的偶函数，即可作出函数f （x ）在[﹣

e ，3e ]上的图象，由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得a 的值，再利用二倍角公式化简函数()g x ，然后根据平移法则即可求得()h x ，从而求得()7h ． 【详解】

因为f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ）， 所以f （x ）的周期为2e .

当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示， 方程1()22f x sin x e

π

=

的实数根是函数y ＝f （x ）与函数122y sin

x e π=的交点的横坐标， 由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为

4e ，所以4e ＝3ea ，故a 4

3=， 因为235()314222g x sin

x cos x ππ=+=-+， 所以345325

()()()22322232

h x cos x cos x πππ=--+=--

+， 故3253310

(7)232h sin π+=

+=

. 故答案为：

3310

4

+.

【点睛】

本题主要考查函数的性质应用，图象的应用，方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系的应用，二倍角公式的应用，以及平移法则的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．

四、解答题

17．现在给出三个条件：①a ＝2；②B 4

π

=

；③c 3=.试从中选出两个条件，补充在

下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积.

在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足233b c cosA acosC =（），求△ABC 的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个

解答记分）

【答案】选①③；S △

ABC =【解析】由题目条件，化边为角即可求出3

A π

=

，再根据解三角形 “知三求三”（至少

知一边），所以搭配①③或①②，都可确定三角形△ABC ，求得其面积． 【详解】 如选①③

因为(2)b cosA -=，

由正弦定理可得，2

sinBcosA =sinCcosA +sinAcosC

)=， 因为sinB ≠0，所以

cosA = 又因为a ＝2，

c =，

2=， 解得，b ＝2，c ＝

故S △

ABC 111

2222

bcsinA ==??=. 【点睛】

本题主要考查补全题目条件解三角形， 涉及正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

18．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*

12(1)()n n a a n N +=+∈.

（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ??

??+??

的前n 项和n T .

【答案】(1) ()

1

32

2n n a n N -*=?-∈;(2) 1

1

22n n n T -+=-

. 【解析】试题分析：(1)由

()(){}1121,2222n n n n n a a a a a ++=++=++得，故数列是等比数列;(2)

131

22

n n n b n a --=+，利用错位相减法求和即可. 试题解析：

（Ⅰ），()()1121,222n n n n a a a a ++=+∴+=+Q ， 则数列{}2n a +是以3为首项，以2为公比的等比数列，

1232n n a -∴+=?，即()

1*322n n a n N -=?-∈.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()1

222log 2log 3log 21n n n b a n -=+-==-，131

22

n n n b n a --∴

=+. 012210

122122222n n n n n T ----∴=

+++?++， 1231101221222222

n n n n n T ---=+++?++， 13n 11111111112211222222212

n n n n n n n n T --

--+∴=++?+-=-=--，

则11

22n n n T -+=-.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，23,AD =3,AB =3,AP =//AD BC ，AD ⊥平

面PAB ，90APB ?

∠=，点E 满足2133

PE PA PB =+u u u v u u u v u u u v .

（1）证明：PE DC ⊥； （2）求二面角A-PD-E 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）

22613

【解析】（1）由勾股定理计算出PB ，然后求数量积PE AB ?u u u r u u u r

得PE AB ⊥，由线面垂直可得PE AD ⊥，从而可证得PE ⊥平面ABCD 得证线线垂直； （2）建立如图所示的直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．

【详解】

（1）证明：在Rt PAB ?中，

由勾股定理，得

22PB AB AP =

-22

3(3)=-6=因为21,33

PE PA PB =+u u u r u u u r r AB PB PA =-u u u r u u u r u u u r

，

所以21()33PE AB PA PB PB PA ???=+?- ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

22211333PA PB PA PB =-++?u u

u r u u u r u u u r u u u r

22211(3)(6)0333

=-?+?+?

0=. 所以PE AB ⊥u u u r u u u r

，所以PE AB ⊥.

因为AD ⊥平面P AB ，PE ?平面P AB ， 所以PE AD ⊥.

又因为,PE AB ⊥AB AD A ?=， 所以PE ⊥平面ABCD. 又因为DC ?平面ABCD ， 所以PE DC ⊥.

（2）由21,33

PE PA PB =+u u u r u u u r u u u r 得2EB AE =u u u r u u u r

.

所以点E 是靠近点A 的线段AB 的三等分点.

所以1

13AE AB =

=. 分别以,AB uuu r AD u u u r

所在方向为y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

A xyz -.

则(0,0,0),A (0,0,3),D (0,1,0),E ()2,1,0P .

设平面PDE 的法向量为()111,,m x y z =u r

， 由00m EP m ED ??=??=?u u u v v u u u v v ，得1112030x y z =-+=??. 令11z =，则(0,3,1)m =-u r

；

设平面APD 的法向量为()222,,,n x y z =r 2,1,0),AP =u u u r (0,0,23)AD =u u u r

， 由00n AP n AD ??=??=?u u u v v u u u v v ，得2222030x y z +==??，

令21x =，则()

1,2,0n =-r

.

设向量m u r 与n r

的夹角为θ，

则cos ||||m n m n θ?=?u r r

u r r 2222

26(23)11(2)

=+?+-2613=-. 所以二面角A PD E --226

. 【点睛】

本题考查用线面垂直证明线线垂直，考查用向量法求二面角．证明垂直时关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，解题中掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直相互转化．而求空间角常用方法就是建立空间直角坐标系，用向量法求空间角． 20．已知P 是圆F 1：（x +1）2+y 2＝16上任意一点，F 2（1，0），线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；

（2）记曲线C 与x 轴交于A ，B 两点，M 是直线x ＝1上任意一点，直线MA ，MB 与曲线C 的另一个交点分别为D ，E ，求证：直线DE 过定点H （4，0）.

【答案】（1）22

143

x y +=（2）证明见解析

【解析】（1）根据椭圆的定义即可求出点Q 的轨迹方程；

（2）设出点M 的坐标，表示出直线MA 的方程，与椭圆方程联立可求得点D 的坐标，同理可求得点E 的坐标，再利用三点共线的条件HD HE k k =即可证出． 【详解】

（1）由已知|QF 1|+|QF 2|＝|QF 1|+|QP |＝|PF 1|＝4，

所以点Q 的轨迹为以为F 1，F 2焦点，长轴长为4的椭圆， 故2a ＝4，a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝3

所以曲线C 的方程为22

143

x y +=

（2）由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0），设点M 的坐标为（1，m ） 直线MA 的方程为：23

m y x =+（）

将23m y x =+（）与22

143x y +=联立消去y 整理得：

（4m 2+27）x 2+16m 2x +16m 2﹣108＝0， 设点D 的坐标为（x D ，y D ），则22

161082427

D m x m --=+， 故2

2548427

D m x m -=+，则23623427D D

m m y x m =+=+（） 直线MB 的方程为：y ＝﹣m （x ﹣2）

将y ＝﹣m （x ﹣2）与22

143

x y +=联立消去y 整理得：

（4m 2+3）x 2﹣16m 2x +16m 2﹣12＝0

设点E 的坐标为（x E ，y E ），则22

1612

243

E m x m -=+， 故2286

43

E m x m -=+，则212243E E

m y m x m =--=+（） HD 的斜率为12223664548442749D D y m m

k x m m m =

==----++（）

HE 的斜率为222212648644349

E E y m m

k x m m m =

==----++（）

因为k 1＝k 2，所以直线DE 经过定点H . 【点睛】

本题主要考查定义法求轨迹，以及椭圆中的定点问题的解法应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．

21．近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:

（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：

1

()()

n

i

x x y y r --=

∑2

2

(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++

其中n a b c d =+++．临界值表：

25.2≈

【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【解析】（1）分别求出3x =，16y =，从而

5

2

1

()

10i

i x x =-=∑，5

21

()254i i y y =-=∑，

5

1

()()47i i i x x y y =--=∑，

求出()()

0.933n

i

i

x x y y r --=

=

≈∑，

从而得到管理时间y 与土地使用面积x 线性相关．

（2）完善列联表，求出218.7510.828K =>，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．

（3）x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为1

6

，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【详解】 解：依题意：12345810132524

3,1655

x y ++++++++=

===

故

5

1

()()(2)(8)(1)(6)192847i x x y y =--=-?-÷-?-+?+?=∑

5

5

2

21

1

()

411410,()643698164254i i x x y y ==-=+++=-=++++=∑∑

则5

()()

0.933x x y y r --=

=

=≈∑，

故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关． （2）依题意，完善表格如下：

计算得2k 的观测值为

22

300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100

k ??-???===>??????

故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．

（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为

1

6

， 故35125(0)(),6216P X ===1

235125(1)(),6672

P X C ==??=

23333

2515(2)(11(3)62),72166

6P P X X C C ??=== ????==?= 故x 的分布列为

则数学期望为12525511

()012321672722162

E X =?+?+?+?= （或由1(3,)6X B ~，得11

()362

E X =?=

【点睛】

本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．

22．已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（2）若不等式2

()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；

（3）求证：当*n N ∈时，不等式()22

1

2ln 4121n

i n n

i n =-->+∑成立.

【答案】（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）证明见解析

【解析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；

（2）由2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，构造函数()ln 1g x x x k =-+-，求导函数研究单调性，进而得()g x 的最大值，即得k 的取值范围； （3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立，令21

41

x i =-

-，整理得：

()21

1ln 41122121i i i ??->-- ?-+??

，将两边不等式全相加即可得到结论.

【详解】

（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，

()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，

∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-， 即(1)1y k x =+-.

（2）由2

()f x x x ≤+，()ln f x x x kx =+，则2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，

设()ln 1g x x x k =-+-，1

()1g x x

'=

-， ()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增， ()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，

∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，

∴ln 10x x k -+-≤，∴max ()(1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤. （3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立， 令2141x i =-

-，由于*

i N

∈，21041

i >-. 故，2211ln

14141i i <---，整理得：()2

2

1ln 41141

i i ->--， 变形得：()2

1

ln 411(21)(21)

i i i ->-

+-，即：

()21

1ln 41122121i i i ??->-- ?-+??1,2,3,,i n =K K 时，11ln 31123??>-- ???，

11ln 51123??

>-- ???

……，