算法设计与分析实验报告

算法设计与分析报告

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目录

一、课程内容 (3)

二、算法分析 (3)

1、分治法 (3)

（1）分治法核心思想 (3)

（2）MaxMin 算法分析 (3)

2、动态规划 (4)

（1）动态规划核心思想 (4)

（2）矩阵连乘算法分析 (5)

3、贪心法 (5)

（1）贪心法核心思想 (5)

（2）背包问题算法分析 (6)

（3）装载问题算法分析 (6)

4、回溯法 (7)

（1）回溯法核心思想 (7)

（2）N 皇后问题非递归算法分析 (7)

（3）N 皇后问题递归算法分析 (8)

三、例子说明 (9)

1、MaxMin 问题 (9)

2、矩阵连乘 (9)

3、背包问题 (10)

4、最优装载 (10)

5、N 皇后问题（非递归） (11)

6、N 皇后问题（递归） (11)

四、心得体会 (11)

五、算法对应的例子代码 (12)

1、求最大值最小值 (12)

2、矩阵连乘问题 (13)

3、背包问题 (14)

4、装载问题 (17)

5、N 皇后问题（非递归） (18)

6、N 皇后问题（递归） (20)

课程内容

1、分治法，求最大值最小值，maxmin 算法；

2、动态规划，矩阵连乘，求最少连乘次数；

3、贪心法，1）背包问题，2）装载问题；

4、回溯法，N皇后问题的循环结构算法和递归结构算法。

、算法分析

1、分治法

1）分治法核心思想

当要求解一个输入规模为n,且n的取值相当大的问题时，直接求解往往是非常困难

的。如果问题可以将n 个输入分成k 个不同子集合，得到k 个不同的可独立求解的子问题，其中1

分治法的核心技术

1 ）子问题的划分技术。

2）递归技术。反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题, 不用进一步细分

直至产生出

就可求解的子问题。

3）合并技术。

2）MaxMin 算法分析

问题：在含有n 个不同元素的集合中同时找出它的最大和最小元素。

分治策略设计思想：

将任一实例I = （n , A（1），…，A（n））分成两个实例如果MAX俐MINI是11中的最大和最小元素，MAX2和MIN2是I2中的最大和最小元素，MAX1和MAX2中的大者就是I中的最大元素MAX MINI和MIN2中的小者是I中的最小元素MIN。如果I只包含一个元素，则不需要作任何分割直接就可得到其解。

核心算法如下：

procedure MAXMIN(i,j,fmax,fmin) global n , A[1:n]

case

{ i = j : fmax J fmin J A[i] /* 只有一个元素*/ i = j-1 : if A[i]

fmax j A[j ] ；fmin j A[i]

else fmax j A[i] ；fmin j A[j] else : mid j /* 分成两部分*/ MAXMIN(i,mid,max1,min1) MAXMIN(mid+1,j,max2,min2)

fmax j max(max1,max2)

fmin j min(min1,min2)

}

MAXMIN勺时间复杂性分析

用T(n) 表示比较次数，则所导出的递归关系式:

T ( n) 1

T( n /2 ) T( n/2 ) 2

当n是2的幕时，即对于某个正整数k, n=2k，有

T(n)=2T(n/2)+2

=2(2T(n/4)+2)+2

=4T(n/4)+4+

=2k-1T(2)+2k-1+ ……+2

=2k-1+2k-2

=3n/2-2

对于任意n，存在整数k,有2k-1

2、动态规划

（1）动态规划核心思想

动态规划法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，但是经分解得到的子问题往

往不是互相独立的。用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，

而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

设计动态规划法的步骤:

1 、划分阶段（子问题），分析最优子结构性质。

2、找出阶段间的最优决策的递推关系，写出动态规划方程；

3、设计自底向上计算出最优值的步骤。

4、从最终决策的回溯子问题的决策，构造一个最优解。

2）矩阵连乘算法分析

问题：给定n个矩阵{ A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1 , 2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

两个矩阵相乘所需做的数乘次数为l*n*m ，矩阵乘法满足结合律，故矩阵连乘有可以有许多不同的计算顺序。计算顺序由加括号的方式确定，加括号的方式决定了矩阵连乘的计算量。

核心算法如下：依次计算各层的子问题集r=1 ，初始化

for i J 1 to n do

m[i][i] J 0

从r=2 至r=n

for r j2 to n do

计算所有大小为r 的子问题

MatrixChain(p[0:n] ，n ，m[1:n][1:n] ，s [1:n][1:n])

{ 1) for i j 1 to n do // 初始化

m[i][i] j 0

2) for r j 2 to n do // 子问题由小到大

3) for i

j

1 to n - r+1 do // 子问题的起点

4) {j j i+r-1 // 子问题的终点

5) m[i][j] j m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j] // 初值考虑

6) s[i][j] j i // 记录分割点

7) for k j i+1 to j-1 do // 求最好的分割k

8) { t j m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];

9) if t < m[i][j] then

10) { m[i][j] j t

11) s[i][j] j k

}

} }

}

3 、贪心法

1）贪心法核心思想

顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。全局的最优作出贪心决策的依据称为贪心准则（greedy criterion

虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。

贪心法一般方法

1) 根据题意，选取一种量度标准。

2) 按这种量度标准对这n个输入排序，也就是说贪心算法并不从整体最希望通过局部最优选择，达到

）。

3) 依次选择输入量加入部分解中。如果当前这个输入量的加入，不满足约束条件，则不把此输入加到这部分解中。

(2) 背包问题算法分析

问题：已知有n种物品和一个可容纳M重量的背包，每种物品i的重量为wi。假定将物

品i的一部分xi放入背包就会得到pixi的效益，这里，O w xi < 1, pi>0。如果这些物品重量的和大于M要求所有选中要装入背包的物品总重量不得超过M而装入背包物品获得的

总效益最大。即

max p i X i , w i x i M

1 i n i i n

满足约束条件的任一集合(x1 ,…，xn)是一个可行解(即能装下)，使目标函数取最大值的可行解是最优解。

核心算法如下：

用利润/重量为量度

这就需使物即每一次装入的物品应使它占用的每一单位容量获得当前最大的单位效益。品的装人次序按

pi/wi比值的非增次序来考虑。

procedure KNAPSACK(real P , W M X n)

{ 〃P(1:n) 和W(1:n)分别是n个物品的重量，它们已按

P(i)/W(i) > P(i+1)/W(i+1) 排序,x(1:n)是解向量//

real cu ;int i , n;

X —0 // 将解向量初始化为零//

cu —M //cu 是背包剩余容量//

for i —1 to n do

{if W[i]>cu then break

X[i] —1

cu —cu-W[i]

}

if i w n then X[i] —cu/ W[i] }

(3) 装载问题算法分析

问题：有一批集装箱要装上一艘载重量为M的轮船。其中集装箱i的重量为Wi。

最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船设装载入船的集装箱的子集为

S

max{刀i | i € S, 1 < i < n}

约束刀w[i] w M ,1 w i w n, i € S

核心算法如下：

采用重量最轻者先装的贪心选择策略

Loadi ng( M, n)

global W[1..n] , X[1..n]

// W[仁n] 为非递减序

X - 0 II解向量清0

cu —M

for i —1 to n do

{ if cu

break

X[i] —1

cu —cu -W[i]

}

4、回溯法

(1)回溯法核心思想

回溯法是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。

回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否满足约束。如果不满足，则跳过

对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先

策略搜索。

回溯法的一般步骤：

(1) 针对所给问题，定义问题的解空间；

(2) 确定易于搜索的解空间结构；

⑶以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

(2)N皇后问题非递归算法分析

问题：n皇后问题可以表示成n-元组(x1,…,xn),其中xi是放在第i行的皇后所在的列

号。于是，解空间由nn个n-元组组成。

显示约束条件为Si={1,2,…….,n},1 i n。

隐式约束条件之一为没有两个xi相同(即任意两个皇后不在同一列上)。将其加入到显式

条件中，于是解空间的大小由nn个元组减少到n!个元组。