2019年桂林中考数学试题含详解

2019年广西桂林市中考数学试题一．选择题(本题有12小题,每小题3分,共36 分)

{题目}1（2019年桂林）2

3

的倒数是（）

A 3

2

B

3

2

-C

2

3

- D

2

3

{答案} A

{} 一个数字的倒数与你这个数字乘积是1，因此2

3

的倒数

3

2

{分值}3

{章节:[1-1-2-1]有理数}

{考点:两个有理数相除}

{类别:常考题}

{题目}2（2019年桂林）若海平面以上1045米，记做＋1045米，则海平面以下155米，记做（）

A －1200米

B －155米

C 155米

D 1200米

{答案}B

{}海平面以下记做负数，海平面以下155米，记做－155米

{分值}3

{章节:[1-1-1-1]正数和负数}

{考点:负数意义的应用问题}

{类别:常考题}

{难度:3-简单}

{题目}3（2019年桂林）将数47 300 000用科学记数法表示为（）

473×105

A 473×105

B 47.3×106

C 4.73×107

D 4.73×105

{答案} C

{}47 300 000是8位正整数，因此运用科学记数法表示时，10的指数是7次，因此答案是4.73×107

{分值}3

{章节:[1-1-5-1]乘方}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{题目}4 （2019年桂林）下列图形中，是中心对称图形的是（）

{答案}A

{} 解：圆是中心对称图形，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；答案选择A.

{分值}3

{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}

{考点:中心对称图形}

{类别:常考题}

{题目}5 （2019年桂林）9的平方根是（）

A 3

B ±3

C －3

D 9

{答案} B

{} 9的平方根是±3，答案选择B.

{分值}3

{章节:[1-6-1]平方根}

{考点:平方根的定义}

{类别:常考题}

{题目}6 （2019年桂林）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是

（）

A 1

2

B

1

3

C

1

4

D

1

6

{答案} D

{} 解：由于圆被平均分成6等份，阴影部分占其中1等份，因此

则当转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是1

6

，答案选择D

{分值}3

{章节:[1-25-1-2]概率}

{考点:几何概率}

{类别:常考题}

{题目}7 （2019年桂林）下列命题中，是真命题的是（）

A两直线平行，内错角相等B两个锐角的和是钝角C直角三角形都相似D正六边形

的内角和是360° {答案}A

{} 解：A 两直线平行，内错角相等正确，答案选择A. B 两个锐角的和不一定是钝角，如30°＋20°=50°是锐角； C 直角三角形不一定相似，如含30°锐角的直角三角形与含45°锐角的直角三角形不相似； D 错误，正六边形的内角和是720° {分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:角的计算}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:多边形的内角和} {类别:常考题}

{题目}8（2019年桂林）下列计算正确的是（ ）

A 2

36a a a =g

B 824a a a ÷=

C 2222a a a +=

D 2

2

(3)9a a +=+ {答案}C

{} 解A 236a a a =g

错误；正确答案是5

a B 824a a a ÷=错误，正确答案是6

a

C 222

2a a a += 正确，合并同类项，系数加减，字母及次数不变；

D 22

(3)9a a +=+错误，缺少一次项6a,正确答案是2

2

(3)69a a a +=++

{分值}3

{章节:[1-2-2]整式的加减} {考点:同底数幂的乘法} {考点:同底数幂的除法} {考点:合并同类项} {考点:完全平方公式}

{类别:常考题} {难度:3- 中等}

{题目}9 （2019年桂林）如果a b >，0c <，那么下列不等式成立的是（ ） A a c b +> B a c b c +>- C 11ac bc ->- D (1)(1)a c b c -<- {答案}D

{} D 正确：

由于a b >，0c <，因此(1)0c -<，所以(1)(1)a c b c -<-，答案选择D.

A a c b +>错误，如2＞－1，c=－4＜0,显然2＋（－4）=－2＜－1，不满足A 中结论；

B 错误，如2＞－1，c=－4＜0,显然2＋（－4）=－2，－1－（－4）=3，,2＜3，不满足B

中结论；

C 错误，a b >，0c <，那么ac bc <，因此11ac bc -<-， {分值}3

{章节:[1-9-1]不等式} {考点:不等式的性质}

{类别:常考题} {难度:3- 中等}

{题目}10 （2019年桂林） 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为 （ ）

A π

B 2π

C 3π

D (31)π+ {答案} C

{} 由于等边三角形高是3，因此其边长是3÷sin60°=3÷

3

=2. 圆锥的底面半径是1，展开图底面圆周长是扇形弧长，则弧长是2π×1=2π，母线长是2，

所以展开图侧面面积是1

2

×2π×2=2π，底面面积是π×12=π， 所以其表面积是2π＋π= 3π，答案选择C

{分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:由三视图判断几何体} {考点:圆锥侧面展开图}

{类别:常考题} {难度:3- 中等}

{题目}11 （2019年桂林） 将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则AD

AB

的值为（ ） A

65

B 2 C

3

2

D 3 {答案} B

{} 可以发现△ABE ∽△EDG ∽△GCF ，设AB=1，AE=x ，因此AD=AE ＋DE=AE ＋OE=2AE=2x ， DG=

2DE AE

x AB

=g ，易得DG=GC= 2x ，所以DC= 22x ,则22x =1, 解得符合题意的x 值是

22，所以AD=2x=2×22=2,因此AD AB

的值为2 {分值}3

{章节:[1-13-1-1]轴对称} {考点:矩形的性质} {考点:折叠问题}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {类别:常考题} {难度:3- 中等}

{题目}12（2019年桂林）如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （－4，0），B （－2，－1），C （3，0），D （0，3），当过点B 的直线l 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分时，直线l 所表示的函数表达式为（ ）

A ． 116105y x =

+ B 2133y x =+ C 1y x =+ D 5342

y x =+ {答案} D

{}

根据图形信息，直接得出四边形ABCD 的面积是（4＋3）×3÷2＋（4＋3）×1÷2 =（4＋3）×4÷2=14.易得直线BC 的式是1355y x =-，

因此直线与y 轴的交点的纵坐标是3

5

-，设交点是点E ，因此DE=3＋35=18

5

，可以计算△BCD 面积是 （2＋3）×

185

÷2=9，把线段DC 分成9等份，取距离点B 较近的2的等分点F ，易得直线DC 的式是y=－x ＋3,所以点F 坐标是（23，7

3

），设经过点B 、F 的直线的式是

y=kx ＋b ，因此得出方程组273321k b k b ?+=???-+=-?，解得54

32

k b ?

=???

?=??，所以直线l 所表示的函数式是53

42

y x =

+. {分值}3

{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:坐标与图形的性质}

{考点:一次函数与几何图形综合}

{类别:常考题} {难度:3-较难 }

二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共18分） {题目}13 （2019年桂林） 计算：2019-=___________ {答案} 2019 {} 2019-=2019 {分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:绝对值的意义}

{类别:常考题}

{题目}14 （2019年桂林） 某班学生采用“小组合作学习”的方式进行学习，网老师每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是各小组其中一周的得分情况：

则这组数据的众数是___________ {答案} 90

{} 解：由于90出现次数最多，是3次，因此众数是90. {分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:众数}

{类别:常考题}

{题目}15 （2019年桂林）一元二次方程(3)(2)0x x --=的根是_____________ {答案} x 1=3， x 2=2

{} (3)(2)0x x --=，因此（x －3）=0或（x －2）=0，因此x 1=3， x 2=2 {分值}3

{章节:[1-21-2-3] 因式分解法}

{考点:解一元二次方程－因式分解法}

{类别:常考题}

{题目}16 （2019年桂林） 若2

2

4(2)x ax x ++=-，则____________a = {答案} －4

{} 2

2

(2)44x x x -=-+，所以a=－4 {分值}3

{章节:[1-14-2]乘法公式}

{考点:因式分解－完全平方式}

{类别:常考题}

{题目}17（2019年桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数k

y x

=（x ＞0）的图象和△ABC 都在第一象限内，AB=AC=

5

2

，BC ∥x 轴，且BC=4，点A 的坐标为（3，5），若将△ABC 向下平移m 个单位长度，AC 两点同时落在反比例函数图象上，则k 的值为_____________

{答案}

454

{} 过点A 引AD 垂直于BC 于点D ，因此DC=BD=4÷2=2，

得出点D 是线段BC 中点，则AD=2

2

53222??-= ???

，把△ABC 向下平移m 个单位长度，

点A 平移后对应点的坐标是（3，5－m ），点C 的对应点坐标是（2＋3，5－m －3

2

），即是坐标为（5，

7

2

m -）

，由于点A 和点C 向下平移m 个单位后对应点同时在反比例函数的图象上，因此点的坐标适合函数式，得出方程：73(5)5()2m m -=-，解得m=5

4

.

因此点A 对应点的坐标是（3，5－m ），即是（3，154 ），因此k=xy=3×154=45

4

则k 的值是45

4

{分值}3

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:坐标系内图形的平移} {考点:双曲线与几何图形的综合}

{类别:常考题} {难度:3-难 }

{题目}18（2019年桂林）如图，在矩形ABCD 中，AB=

3，AD=3，点P 是AD 边上一

个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点A 1，连接A 1C ，设A 1C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为_______________

Q

1

A D

C

B

{答案}

33

π {} 如图，扇形的圆心角度数是60°×2=120°，因此?1AA 弧长是

1203

180

πg ，点Q 是A 1C 的

中点，根据位似变换的性质，因此点Q 所经过的弧长是112032180π?g =33

π {分值}3

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:轴对称的性质} {考点:弧长的计算} {考点:几何填空压轴}

{类别:常考题} {难度:3-难 }

三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程）

{题目}19（2019年桂林）（本题6分）计算：

20190(1)12tan 60( 3.14)π--?+-

{}

20190(1)12tan 60( 3.14)π--?+-

=－1－233＋1

…………………………………………

4分

=3…………………………………………

6分

{分值}6

{章节:[1-6-3]实数}

{考点:有理数乘方的定义}

{考点:最简二次根式}

{考点:零次幂}

{类别:常考题}

{题目}20（2019年桂林）（本题6分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上.

（1）将△ABC先向右平移6个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；

（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐标为（－4，3）；（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标.

{} 如图所示：…………………………………………3分

建立如图所示的坐标系，点A的坐标是（－4，3）；（3）在（2）的条件下，直接看出点A1

的坐标是（2，6）. …………………………………………6分

{分值}6

{章节:[1-7-4] 用坐标表示平移}

{考点:坐标与图形的性质}

{考点:坐标系内图形的平移}

{类别:常考题}

{难度:3- 中等}

{题目}21（2019年桂林）（本题8 分）

先化简，再求值：

22

1121

()

2

x xy y

y x xy y x

-+

-÷-

-

，其中x= 22 2.

{答案}221121

()2x xy y y x xy y x

-+-÷--

=

221()y x xy xy x y y x

----g ………………………………………… 3分

=21y x y x ---=1y x

-…………………………………………

5分

x= 22+,y=2， 所以原式化简后的结果是

2(22)-+= 2

-= 22-

…………………………………………

8分

{分值}8

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:最简分式} {考点:最简公分母} {考点:两个分式的乘除} {考点:分式的混合运算} {类别:常考题} {难度:3- 中等}

{题目}22（2019年桂林）（本题 8 分）某校在以“青春心向党，建功新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A 合唱,B 群舞，C 书法,D 演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小红随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是多少？（2）请将条形图补充完整；（3）若该校共有1800名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？

{答案}（1）B 组人数是52，扇形图中所占百分比是26%，因此调查的总人数是52÷26%=200， 扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是8÷200×360°=14.4°.

答：本次调查的学生总人数是200人；扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是14.4°

…………………………………………3分

（2）C组调查人数是200－120－52－8=20，条形图中C组矩形高是20个单位长度.

…………………………………………5分

（3）该校共有1800名学生，估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生总共有：

（1－60%－26%）×1800=252（人）

答：估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有252人. …………………………………………8分

{分值}8

{章节:[1-10-2]直方图}

{考点:扇形统计图}

{考点:条形统计图}

{考点:用样本估计总体}

{题目}23（2019年桂林）（本题8 分）如图，AB=AD，BC=DC，点E在

AC上.（1）求证AC平分∠BAD;（2）求证BE=DE.

{答案}（1）在△ABC与△ADC中，

由于AB=AD, BC=DC，而AC=AC，所以△ABC≌△ADC，…………………………………………3分

因此∠BAC=∠DAC，所以AC平分∠BAD;

…………………………………………4分

（2）在△ABE与△ADE中，AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE,所以

△ABE≌△ADE，…………………………………………7分

因此BE=DE. …………………………………………8分

{分值}8

{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}

{考点:全等三角形的判定SSS}

{考点:全等三角形的性质}

{类别:常考题}

{难度:3- 中等}

{题目}24（2019年桂林）（本题8 分）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A类足球和25个B类足球共花费7500元，已知购买一个B类足球比购买一个A类足球多

花30元.（1）求购买一个A类足球和一个B类足球各需多少元？（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个A类足球？

{答案}

解：

（1）设一个A类足球单价x元，因此一个B类足球单价是（x＋30）元，根据题意列方程为50x＋25（x＋30）=7500，…………………………………………2分

解得x=90，因此x＋30=120…………………………………………3分

答：购买一个A类足球需要花费90元，购买一个B类足球需120元；…………………………………………4分

（2）设购买m个A类足球，（50－m）个B类足球花费钱数不超过4800元

列不等式为90m＋120（50－m）≤4800，

…………………………………………6分

解得m≥40，由于m是正整数，因此整数m的值满足条件m≥40.

答：本次至少购买40个A类足球，所需费用不超过4800元. …………………………………………8分

{分值}8

{章节:[1-3-1-1]一元一次方程}

{考点:一元一次方程的应用（其他问题）}

{考点:二元一次方程组的应用}

{考点:一元一次不等式的应用}

{类别:常考题}

{难度:3- 中等}

{题目}25（2019年桂林）（本题10 分）

如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE=OE；（1）求证△ACB是等腰直角三角形；（2）求证OA2=OE·DC.（3）求tan∠ACD的值.

{答案}

（1）由于AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，BM是⊙O的切线，

所以∠ABM=90°，

…………………………………………1分

BC平分∠ABM，则∠ABC=∠CBM=90°÷2=45°，因此

∠CAB=90°∠ACB=45°=∠ABC，因此AC=BC，

…………………………………………2分

所以△ACB是等腰直角三角形；

…………………………………………3分

（2）连接OC ，OD ，所以OC=OD ，因此∠CDO=∠DCO ，又DE=OE ；则∠EDO=∠DOE ， 而∠EDO=∠CDO ，因此∠DCO=∠DOE ，

所以△DOE ∽△DCO ，…………………………………………

5分

因此， 因此

DC OC

OD OE

=，因此OD OC DC OE =g g ，显然OA=OD=OC ，因此得出

OA 2=OE·DC . ………………………………………… 7分

（3）连接BD ，OD,OC ,如图所示， 运用三角形的外角性质，因此

∠1=∠A ＋∠2，∠2=∠6，OD=OB ，所以∠5=∠6，

∠1=∠3＋∠4，∠3=∠5＋∠6=2∠6=2∠2，OE=DE ，所以∠3=∠4， 则∠1=2∠3=4∠2，所以∠1=∠A ＋∠2=4∠2，因此∠2=1

3

∠A ，而∠A=45°，因此 ∠2=15°，…………………………………………

9分

过点D 引DH 垂直于AB 于H ，

不妨设OD=2，因此∠3=2∠6=2∠2=30°，因此DH=OD ÷2=1，因此OH =3，所以 BH=2＋3，因此tan ∠ABD=

23

OH BH =+=23- …………………………………………

10分

{分值}10

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:等腰直角三角形} {考点:相似三角形的性质} {考点:正切} {类别:常考题} {难度:3-较难 }

{题目}26（2019年桂林）（本题12分）如图，抛物线y ＝－x 2＋b x ＋c 与x 轴交于A （－2，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于点C ；（1）求抛物线的式；（2）作射线AC ，将射线AC 绕点A 顺时针旋转90°交抛物线于另一点D ，在射线AD 上是否存在一点H ，使得△CHB 的周长最小，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，点Q 为抛物线的顶点，点P 为射线AD 上的一个动点，且点P 的横坐标为t ，过点P 作x 轴的垂线l ，垂足为E ，点P 从点A 出发沿AD 方向运动，直线l 随之运动，当－2＜t ＜1时，直线l 将四边形ABCQ 分割成左右两部分，设在直线l 左侧部分的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式. {答案}

（1）根据题意，得出方程组42010b c b c --+=??-++=?，解得1

2b c =-??=?

，

因此抛物线的式是

22y x x =--+；…………………………………………

3分

（2）不难得出点C 的坐标是（0，2），因此OA=OC=2，因此△AOC 是等腰直角三角形，

∠OAC=45°,

由于AD 垂直于AC ，所以∠OAD=45°,则直线AD 与y 轴的交点坐标是（0，－2）；

求得直线AD 的式是y=－x －2，作点C 关于直线AD 的对称点E ，由于AC ⊥AD ，所以点A 的对称点即是点C 关于点A 的中心对称点，其对称点E 的坐标是（－4，－2）， 设经过B 、E 两点的直线的式是y=mx ＋n ，代入点B 与点E 的坐标，得出方程组

420m n m n -+=-??

+=?，解得25

25m n ?

=????=-??

，因此直线BE 的式是

22

55y x =

-，…………………………………………

5分 解22

55y x =-与y=－x －2联立组成的方程

22255x x -=--，得出8

7

x =-，………………………………………… 7分

则y=－x －2=－（87-）－2=6

7-，

因此点H 坐标是（87-，6

7-）；

在射线AD 上存在一点H ，使得△CHB 的周长最小，此时点H 的坐标是（8

7

-

，6

7

-）；………………………………………… 9分

22y x x =--+图象顶点坐标是（12-，9

4

），因此当点P 的横坐标t 满足条件

①－2＜t ＜1

2

-时，如图，直线l 将四边形ABCQ 分割成左右两部分，在直线l 左侧部分图

形是三角形，设过点P 平行于y 轴的直线交AQ 于点I ，则l 左侧部分图形是△AIE ，其面积

满足式子：

1

2

AE IE g ，易得 直线AQ 的式是y=32x ＋3，因此当x=t 时，y=32t ＋3,点I （t ，3

2

t ＋3），

所以IE=3

2

t ＋3,

AE=t －（－2）=t ＋2， S=

12AE IE g =13(2)(3)22t t ++g =23

334

t t ++; …………………………………………

10分

②当12-

＜t ＜0时，如图，直线l 左侧部分是一个面积是12×（212-）×（94＋3

2

）的三角形与一个梯形面积之和，点Q （12-，94），C （0，2）,易得直线QC 的式是1

22

y x =-+,

如图，设直线QC 与直线l 的交点是点G ，因此点G 的坐标是（t ，1

22

t -+），

EF=t －（12-

）=t ＋12，所以线段GE 长度是GE=1

22

t -+， 梯形QFEG 的面积是1

()2

QF GE +g g EF =

12×（94122t -+）×（t ＋12）=21172416

t t -++； …………………………………………

11分

③当0＜t ＜1时，直线l 右侧部分是三角形，可以得出直线BC 的式是y=－2x ＋2

如图，直线l 与直线BC 的交点为点F ，因此直接得出BE=1－t ，EF=－2t ＋2，因此△BEF

的面积是

12BE EF g =1

(1)(22)2

t t --+g ，由于四边形ABCQ 的面积是 AOQ COQ COB S S S ???++=12×2×94＋12×2×12＋12×1×2=15

4

，

所以当0＜t ＜1时，直线l 左侧部分面积S=154－1

(1)(22)2

t t --+g

即是S 2

1124

t t =-++;

综合以上的论述，因此当－2＜t ＜12-时，S=2

3334

t t ++；

当12-＜t ＜0时，S=21172416

t t -++，

当0＜t ＜1时，S 2

1124

t t =-++.…………………………………………

12分

{分值}12

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数的系数与图象的关系} {考点:最短路线问题}

{考点:一次函数与几何图形综合} {考点:几何综合}

{类别:常考题} {难度:3-较难 }