标准差的意义
方差方差和标准差：
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；
样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度，称为X的方差。
定义
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。
由方差的定义可以得到以下常用计算公式：
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）。
（1）设c是常数，则D(c)=0。
（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=c^2D(X)。
（3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
标准差标准差(Standard Deviation)
各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，标准差也是一种平均数
标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
方差与标准差
.方差与标准差
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§2、1 方差与标准差审核人：戴蔚 【目标导航】 1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性. 2．掌握方差和标准差的概念，卉计算方差和标准差，理解它们的统计意义. 3．经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验. 【要点梳理】 1．我们知道极差只能反映一组数据中两个之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感. 2．描述一组数据的离散程度可以采取许多方法，在统计中常采用先求这组数据的，再求这组数据与的差的的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动性大小 3．设在一组数据X1，X2，X3，X4，……X N中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（X1- ）2，（X2- ）2，（X3- ）2，……，（X n- ）2,,那么我们求它们的平均数，即用S2= . 4．一组数据方差的算术平方根叫做这组数据的。 5．方差是描述一组数据的特征数，可通过比较其大小判断波动的大小，方差说明数据越稳定，6．为什么要这样定义方差？ 7．为什么要除以数据的个数n? 8．标准差与方差的区别和联系？ 【问题探究】 知识点1.探究计算数据方差和标准差的必要性 例1.质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测，结果如下（单位：mm）A厂：40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 ，40.2 ，39.8 ，40.0 ，39.9 ，40.0 ，40.1 B厂：39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 ，39.9 ，40.1 ，39.8 ，40.2 ，39.8 ，40.2 思考探索：1、请你算一算它们的平均数和极差？ 2、根据它们的平均数和极差，你能断定这两个厂生产的乒乓球直径同样标准吗？ 3、观察根据上面数据绘制成的下图，你能发现哪组数据较稳定吗？ 直径/mm 直径/mm
方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义
方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义 百度百科上的方差定义如下: (方差)是用概率论和统计方差来度量随机变量或一组数据的离散程度概率论中的方差用来衡量随机变量与其数学期望(即平均值)之间的偏离程度统计学中的方差(样本方差)是每个数据与其平均值之差的平方和的平均值在许多实际问题中，研究方差，即偏离的程度具有重要意义。如果 看这样一段文字，可能会有点费解。首先，从公式开始。对于一组随机变量或统计数据， 的期望值用E(X)表示，即随机变量或统计数据的平均值， ，然后在找到期望值之前将每个数据与平均值之间服从正态分布。那么我们就不能通过方差直接确定学生偏离平均值多少分。通过标准差，我们可以直观地得到学生分数分布在0.6826范围内的概率，大约等于34.2%*2 3，均方差是多少？ 标准偏差，在中国环境中通常也称为均方误差，不同于均方误差(均方误差 是距离每个数据真实值的平方的平均值，即误差平方的平均值)。计算公式在形式上接近方差。它的根叫做均方根误差，在形式上接近标准偏差)。标准偏差是偏离平均值的平方的平均值后的平方根，用σ
表示标准差是方差的算术平方根 从上面的定义，我们可以得到以下几点:1 .均方偏差是标准偏差，标准偏差是标准偏差2，均方误差不同于均方误差 3，均方误差是距离每个数据真实值的平方和的平均值 。例如，我们想测量房间的温度，不幸的是我们的温度计不够精确。因此，有必要测量5次以获得一组数据[x1，x2，x3，x4，x5]。假设温度的实际值是x，数据和实际值之间的误差e是x-Xi ，那么均方误差MSE= 一般来说，均方误差是数据序列和平均值之间的关系，而均方误差是数据序列和实际值之间的关系，所以我们只需要了解实际值和平均值之间的关系
如何理解方差和标准差的意义
如何理解方差和标准差的意义？ 随机变量X的方差为: ,方差的平方根称为标准差，它描述随机变量取值与其数学期望值的离散程度，描述随机变量稳定与波动，集中与分散的状况。标准差大，则随机变量不稳定，取值分散，预期数学期望值的偏离差大，在量纲上它与数学期望一致。 在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)或比较接近时，我们常用来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？ 随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差刻画的是随机变量X与数学期望的平均离散程度。方差大，则随机变量X与数学期望的平均离散程度大，随机变量X 取值在数学期望附近分散；方差小，则随机变量X与数学期望的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集中。 方差是用数学期望来定义的，方差是随机变量X函数的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到： 若X为离散型，则有（2.3） 若X为连续型，则有（2.4） 在实际问题中，我们经常用来计算方差。由此可以得到：随机变量X与数学期望不存在，则方差一定不存在。 若随机变量X与数学期望存在，方差也可能不存在。 切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？ 切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：或。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计概率。 它的应用有以下几个方面： 已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的概率。 已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需估计区间的长度。 对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。 它是推导大数定律和其他定理的依据。 解题的具体步骤： 首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)； 其次，确定的值， 最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。 注:（一）相关系数的含义 1.相关系数刻画随机变量X和Y之间的什么关系？ （1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有达到最大值1.可以容易举出例子说明：即使X 和Y有严格的函数关系但非线性关系，不仅不必为1，还可以为0. （2）如果，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系” 2.相关系数刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度. 3. 的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;
《方差与标准差》教案
2.2 方差与标准差（教案） 学习目标： 1、了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 4. 经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。 学习重、难点 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。掌握其求法， 难点：理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。 学习过程 一、情景创设： 乒乓球的标准直径为40mm ，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测。结果如下（单位：mm ）： A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1； B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2. 你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢? （1） 请你算一算它们的平均数和极差。 （2） 是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？ 今天我们一起来探索这个问题。 探索活动 通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。让我们一起来做下列的数学活动 算一算 把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加。 想一想 你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？ 二、新知讲授： 讲授新知： （一）方差 定义：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 2221)()(x x x x --，，…，， ， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用 ])()()[(1222212x x x x x x n x n -++-+-= 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（variance ），记作2s 。 意义：用来衡量一批数据的波动大小 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定 归纳：（1）研究离散程度可用2S （2）方差应用更广泛衡量一组数据的波动大小 （3）方差主要应用在平均数相等或接近时
方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义
一、百度百科上方差是这样定义的： （variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手， 对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值， 然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。 二、方差与标准差之间的关系就比较简单了
根号里的内容就是我们刚提到的 那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢 发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。 举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为，即约等于下图中的%*2 三、均方差、均方误差又是什么
标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。 从上面定义我们可以得到以下几点： 1、均方差就是标准差，标准差就是均方差 2、均方误差不同于均方误差 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数 举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差 e=x-xi 那么均方误差MSE= 总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。
(六西格玛管理)全球六标准差第一品牌
（六西格玛管理）全球六标 准差第一品牌
Motorola全球六標準差第壹品牌 【權威六標準差&品質管理國際雙證照班登台授證】 MotorolaSixSigmaGreenBeltPro gram 國際製造工程學會品質管理師 主辦單位:MotorolaUniversity摩扥羅拉大學國際製造工程學會(SME)中華民國分會 承辦單位:亞卓國際顧問股份XX公司協辦單位:台灣科學園區科學工業同業工會眾所週知(Motorola)公司是SixSigma的發源地於1988年獲第壹屆美國國家品質獎-奠定了摩扥羅拉成為六標準差同義詞；2002年又再度獲獎受肯定成為六標準差實踐的權威。國際製造工程學會(SocietyofManufacturingEngineers,SME)為全世界于製造領域方面唯壹且公認的權威性的國際組織及認證機構。 這是國內首度學術界的權威和產業界實施六標準差的最正統標竿企業攜手合作的雙重認證，為通行國際最有份量的雙證照. 適合製造業、資訊業、高科技產業、通信、金融業、服務業及傳統產業，欲企業升級接軌國際者。 專案領導人、管理人員、工程師、經理人、產業界主管及資深人員，欲學習MotorolaGreenBelt及基礎品質管理知識以取得SME品質管理師I認證. 企業中高階管理者： SixSigma需要高階主管直接參與與建置。6天GreenBelt的訓練能够說是SixSigma 的縮影，極適合中高階主管切入掌握SixSigma的有效工具。 中階幹部或準備發展為黑帶的種子人員： GreenBelt是企業打造SixSigma基礎的中堅分子，MotorolaSixSigma強調團隊精神，黑帶固然是日後推動的核心人員，但必需配合中階幹部的GreenBelt人員，使形成SixSigma文化，才能真正啟動SixSigma體制。
方差和标准差 知识讲解
方差和标准差——知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义； 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测； 3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、方差和标准差 1.方差 在一组数据12,,n x x x …，中，设它们的平均数是x ，各数据与平均数的差的平方的平均数()[] 222212 )(...)(1 x x x x x x n S n -++-+-= 叫做这组数据的方差. 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好． （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2 k 倍. 2.标准差 一般地，一组数据的方差的算术平方根 称为这组数据的标准差. 要点诠释： （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别 联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况. 区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同. 【典型例题】 类型一、方差和标准差 1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
(六西格玛管理类)标准差
标准差(Standard Deviation)，也称均方差（Mean square error） 标准差是一种表示分散程度的统计观念。标准差已广泛运用在股票以及共同基金投资风险的衡量上，主要是根据基金净值于一段时间内波动的情况计算而来的。一般而言，标准差愈大，表示净值的涨跌较剧烈，风险程度也较大。实务的运作上，可进一步运用单位风险报酬率的概念，同时将报酬率的风险因素考虑在内。所谓单位风险报酬率是指衡量投资人每承担一单位的风险，所能得到的报酬，以夏普指数最常为投资人运用。 标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差的简易计算公式 假设有一组数值x1, ..., xN （皆为实数），其平均值为： 此组数值的标准差为： 一个较快求解的方式为： 一随机变量X 的标准差定义为：
须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。如果随机变量X 为x1,...,xN 具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。从一大组数值当中取出一样本数值组合x1,...,xn ，常定义其样本标准差： [编辑] 范例：标准差的计算 这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{ 5, 6, 8, 9 } ： 第一步，计算平均值 n = 4 （因为集合里有 4 个数），分别设为： 用 4 取代N 此为平均值。
标准差在人类生活中的应用及其意义
标准差在人类生活中的应用及其意义 摘要：生物统计是运用数学逻辑来分析和解释生物界数量资料的一门学科。标准差，中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 关键词：概率统计；标准差；成活率；水稻 引言：标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量。标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方的算术平均数
的平方根。它反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式： 假设有一组数值X1,X2,X3,......XN（皆为实数），其平均值为μ， 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式为 。 简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 1.资料整理： 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越小，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生测试疏导的成活率，A组的成活率为95、85、75、65、55、45，B组的成活率为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为18.71分，B组的标准差为2.37分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生测得的水稻成活率之间的差距要比B组学生测得的之间的差距大得多。 如是总体（即估算总体方差），根号内除以n（对应excel函数：STDEVP）； 如是抽样（即估算样本方差），根号内除以（n-1）（对应excel
(六西格玛管理)标准差
（六西格玛管理）标准差
标准差概述 标准差是壹种表示分散程度的统计观念。标准差已广泛运用于股票以及共同基金投资风险的衡量上，主要是根据基金净值于壹段时间内波动的情况计算而来的。壹般而言，标准差愈大，表示净值的涨跌较剧烈，风险程度也较大。实务的运作上，可进壹步运用单位风险报酬率的概念，同时将报酬率的风险因素考虑于内。所谓单位风险报酬率是指衡量投资人每承担壹单位的风险，所能得到的报酬，以夏普指数最常为投资人运用。 标准差是壹组数值自平均值分散开来的程度的壹种测量观念。壹个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；壹个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，俩组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值均是7，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差能够当作不确定性的壹种测量。例如于物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值和预测值相差太远（同时和标准差数值做比较），则认为测量值和预测值互相矛盾。这很容易理解，因为值均落于壹定数值范围之外，能够合理推论预测值是否正确。 标准差的简易计算公式
假设有壹组数值x1,...,xN（皆为实数），其平均值为： 此组数值的标准差为： 壹个较快求解的方式为： 壹随机变量X的标准差定义为： 须注意且非所有随机变量均具有标准差，因为有些随机变量不存于期望值。如果随机变量X为x1,...,xN具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。从壹大组数值当中取出壹样本数值组合 x1,...,xn，常定义其样本标准差： 范例：标准差的计算 这里示范如何计算壹组数的标准差。例如壹群孩童年龄的数值为{5,6,8,9}： 第壹步，计算平均值 n=4（因为集合里有4个数），分别设为：，，， 用4取代N 此为平均值。 第二步，计算标准差 用4取代N
方差 — 标准差
方差(Variance) [编辑] 什么是方差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。 [编辑] 方差的计算公式 设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为： 对于分组数据，方差的计算公式为： 方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为： 未分组数据： 分组数据： [编辑]
样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1 称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为： 未分组数据： 分组数据： 未分组数据： 分组数据： 例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下： 根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？ 解：根据已知数据，计算
因此，该机器工作正常。 方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。 ?函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。如果数据为整个样本总体，则应使用函数VARP来计算方差。 ?参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。 ?逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。 ?如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。 ?如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。 ?如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARA 函数。 ?函数VAR 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 注解 ?函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。 ?此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。
计算全距 平均差 方差和标准差
计算全距、平均差、方差和标准差 一、全距 R（range） 全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。 R＝Xmax－Xmin 一般用于研究的预备阶段，用它检查数据的分布范围，以便确定如何进行统计分析 原始数据计算公式 三、四分位差(Quartile) 四分位差是第一个四分位数与第三个四分位数之差计算公式为 Q=Q 3-Q 1 四、方差与标准差 方差：又称为变异数、均方，是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，是表示一组数据离散程度的统计指标。 样本的方差用表示，总体的方差用表示。 标准差是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用表示。 标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。 分组数据方差与标准差的计算公式 方差与标准差的性质 ?方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。 ?标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性： 总体方差、标准差或者方差、标准才差的合成 ?方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可
以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。 ?需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。 方差和标准差的优点： 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，其值越大，离散程度越大。 应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。 优点： ?反应灵敏。每个数据发生变化，方差与标准差也随之变化 ?有一定计算公式的严密确定 ?容易计算 ?受抽样变动的影响小 ?简单明了 ?方差具有可加性（区分变异源，组间/组内） 五、差异系数（coefficient of variation） 差异系数指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。用CV表示。 何种情况下运用差异系数： ?两个或两个以上样本所测特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较两者的离散程度？ ?即使使用同一种观测量具，但样本水平相差较大，如何比较其离散程度？ 差异系数的作用 ?比较不同单位资料的差异程度 ?比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 ?可判断特殊差异情况
方差 标准差 均方差 均方误差的区别及意义
一、百度百科上方差是这样定义的：? （variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。? 看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手，? 对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值，? 然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。 ? 这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。 二、方差与标准差之间的关系就比较简单了
? 根号里的内容就是我们刚提到的 那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？? 发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。? 举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2? ? 三、均方差、均方误差又是什么？?
标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。? 从上面定义我们可以得到以下几点：? 1、均方差就是标准差，标准差就是均方差? 2、均方误差不同于均方误差? 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数? 举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi? 那么均方误差MSE=? 总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。
六标准差的实施步骤与成功关键
六标准差的实施步骤与成功关键 六标准差的实施步骤与成功关键 「6 SIGMA治理」是指高阶主管视『追求零缺点』为其终身信仰，透过6 SIGMA理念的分享与全体职员沟通，再经由沟通而产生共识，藉由共识而凝聚成强大念力，提供高品质且不断改进的产品及服务，在客户中建立优质及物超所值的良好声誉。在以后，企业实施6 SIGMA治理，会有如被要求通过ISO 9000品质系统认证一样，成为顾客要求供货商展现其稳固品质的一项手段。透过SIGMA指针，可将企业品质治理水准以『数据』真实的反映出来，任何一个企业只要看其『SIGMA』值的多少，就能够了解其参与市场竞争的能力和实力，也是以后市场Benchmarking标竿竞争的参考。 6 Sigma 治理的实施条件 ◎将6 Sigma作为企业经营治理的中心环节，并成为一种『规范化』的工作体系，才能有效地实施6 Sigma治理，真正实现『以顾客为中心的品质治理』和『以数据为依据的差不多原则』。 ◎6 Sigma系统的推动，必须符合本身的企业文化，欲建构6 Sigma治理系统，领导者要发挥领导的功能，关于经营进展策略、企业核心流程加以承诺，勾勒出企业共同的愿景。 建构 6 Sigma 系统架构 Sigma的观念和工具差不多上和TQM及相关品保手法大同小异，重要的是如何应用及活用。本土企业推动不了6 Sigma，除了不是出于自发性的变革改善外（大多数都来自客户的压力而去做），其次确实是因为他们用「功能不」来推动（例如由品保部门）或用「人」来推动（如治理代表），未经整体人力、
专业与施行技巧等全盘构思，没有完备的推动架构，致使活动宗旨走样，各个部门各自为政，最后走向失败。 6 Sigma的推动架构大小需视公司规模而定，例如奇特公司，把6 Sigma 治理视为日常活动，也将其视为治理者职务的一部份，因此指派专人负责。但以台湾中小企业的规模及体质，可运用现有ISO品质系统，建构符合企业文化的推动架构，下列为一样6 Sigma的推动架构，提供予各公司参考。 倡导者： 确定改善项目并领导6 Sigma行动的高级主管或事业单位的最高主管。要紧工作是预算安排、和谐解决纠纷与咨询题，并不需要专职负责品质项目打算，但必须要投入必要的时刻与精力，以确保打算执行的成功。依照奇特公司的课程规划，训练时刻要一个星期。 黑带导师： 在一个事业单位中，只有一位黑带导师，要紧工作是专职的教师，负责稽核并指导黑带工作。扮演黑带导师的人员必须要有深厚的统计基础及教学领导的特长，且必须要通过绿带、黑带的训练，领有资格执照并有实务体会，表现优异者才可，另外还需要指导至少10人获得黑带资格，通过该事业单位倡导者委员会评议通过，方可获得黑带导师的资格，且必须要专职工作至少二年的时刻，所需要的课程训练时刻至少二星期。 黑带人员： 在一个事业单位中，黑带可视部门的需要设定，通常是每一个生产单位最好有一位。其要紧工作是专职的行动具体负责人，带领工作小组从事关键性生产环节的改善，及评估、分析、改善和监控阻碍顾客中意度和生产 绿带人员： 利用业余时刻参加黑带培训打算的人员，要紧目的是期望这些绿带人员在受完
平均值、方差、标准差
平均值(Mean)、方差(Variance)、标准差(Standard Deviation) 对于一维数据的分析，最常见的就是计算平均值(Mean)、方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)。 平均值 平均值的概念很简单：所有数据之和除以数据点的个数，以此表示数据集的平均大小；其数学定义为： 以下面10个点的CPU使用率数据为例，其平均值为。 14 31 16 19 26 14 14 14 11 13 方差、标准差 方差这一概念的目的是为了表示数据集中数据点的离散程度；其数学定义为： 标准差与方差一样，表示的也是数据点的离散程度；其在数学上定义为方差的平方根： 为什么使用标准差？ 与方差相比，使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处： 表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致，更适合对数据样本形成感性认知。依然以上述10个点的CPU使用率数据为例，其方差约为41，而标准差则为；两者相比较，标准差更适合人理解。 表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致，更方便做后续的分析运算。 在样本数据大致符合正态分布的情况下，标准差具有方便估算的特性：%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内，而99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。 贝赛尔修正 在上面的方差公式和标准差公式中，存在一个值为N的分母，其作用为将计算得到的累积偏差进行平均，从而消除数据集大小对计算数据离散程度所产生的影响。不过，使用N 所计算得到的方差及标准差只能用来表示该数据集本身(population)的离散程度；如果数据集是某个更大的研究对象的样本(sample)，那么在计算该研究对象的离散程度时，就需要对上述方差公式和标准差公式进行贝塞尔修正，将N替换为N-1： 经过贝塞尔修正后的方差公式： 经过贝塞尔修正后的标准差公式：
6sigma标准差效益比较
6sigma 6sigma简介 6sigma简介 6sigma简介 DMAIC五阶段 DMAIC五阶段 DMAIC五阶段 DMAIC五阶段 6标准差效益比较 3标准差公司与6标准差公司之差异 推行6标准差的公司 推行6标准差的公司 推行6标准差的公司 推行6标准差的公司 以６sigma达成企业三目标 ６sigma品质指的是在制程、 产品设计、服务或交易流程中， 每百万件中只允许3.4件的不良发生， 然而其目标并非在于达到６sigma水准而已， 真正目的是要透过６sigma活动， 结合公司策略方针，达成消除潜在成本、 创造顾客价值、提升企业竞争力的目标。
?1987年摩托罗拉(Motorola)公司在乔治?费雪(George Fisher)的主导下，首先提出６sigma，之后1995年联讯(Allied Signal)及奇异(GE) 公司也投入６sigma的推动，以有组织并系统化地结合改善活动与获利的关连，有别于过去只专注品质改善，未直接与利润给合的做法，因此６sigma不但改善了品质相关问题，更大幅提升企业的获利，也形成一股风潮。 以６sigma达成三项目标 ?６sigma品质指的是在制程、产品设计、服务或交易流程中，每百万件中只允许3.4件的不良、缺失或错误发生，换句话说，长期(Long-term)的DPMO(Defects Per Million Opportunities)是3.4ppm，然而其目标并非在于达到６sigma水准而已，真正目的是要透过６sigma活动，结合公司策略方针，来达成下列三项目标： 1. 消除潜在成本 ?指第一次未将品质做好，所必须付出的重工(Rework)、报废处理的人工、时间及材料的成本，即所谓隐藏的工厂(Hidden Factory)成本，在公司内是一种毫无价值而且在计算制造成本时常被忽略的部分，如同冰山一角可见的部分，但若是加上冰山下不可见的部分，例如品牌形象受损、交期延误、订单流失、计画重做、库存成本增加、频繁的设计变更等等，合计其不良品质成本(Cost of Poor Quality)约占营业额的15～20％。６sigma就是让这些潜在的成本损失摊开，并予以解决。 2. 创造顾客价值 ?顾客需求会随着时空的改变而改变，因此可由顾客的声音(Voice of Customer)去发觉使用者对产品特性、功能的期望，并经由设计转换为具体可行的需求，如此才能创造其价值。依据日本TQM大师，Noriaki Kano对顾客需求做了以下分类：（参见图一） ■Must be：顾客认为必要的需求，若是缺乏该项，必然觉得不满，即使需求被满足，顾客亦不见得满意。 ■More is better：代表需求与满意度的关系呈线性的，项目提供愈多，满意度愈高。
方差和标准差 教学设计(一)
方差和标准差教学设计（一） 教学设计思想 本节内容一共需要二个课时来学习，第一课时通过观察与思考使学生直观感受甲、乙两人的射击平均成绩不分高低，但射击成绩波动大小不同，从而引出方差和标准差的概念。在教师引导下学生探究出如何刻画每个数据与平均数的偏差，如何表示所有数据的总偏差。第二课时提供了三个实际情景，通过对问题的分析和探究，使学生进一步理解方差的意义。 教学目标 知识与技能 说出刻画数据离散程度的三个量——极差、方差、标准差——的概念，能借助计算器求出相应方差和标准差。 能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。 过程与方法 经历数据的收集与整理的过程，根据公式求一组数据的方差和标准差。 情感、态度、价值观 体会方差、标准差是反映一组数据波动大小的量，在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活。 教学重难点 重点：计算一组数据的方差概念的理解。 难点：对方差的意义理解不透，有些问题弄不清该用方差衡量，还是该用平均数衡量。 解决办法：通过学习明白对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析。如果要衡量这组数据中的离散趋势，也就要研究它的波动情况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量。 教学方法 合作探究，小组讨论 教学用具 多媒体 课时安排 2课时 教学过程设计 第一课时 我们常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”。但在评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差时，只用平均数是不够的，有时还需要用一个新的数来
刻画一组数据的波动情况。 （一）观察与思考 甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，每人各射10发子弹，成绩如下表： 将数据用散点图表示，如图26—3。 1.观察图形，从图中能估计甲和乙射击成绩的平均水平吗? 2.哪组数据围绕其平均值的波动较大?波动大小反映了什么? 3.谁的射击成绩比较稳定？ 注：观察两名业余射击选手比赛的成绩的散点图，直观感受两人成绩水平的高低及稳定性 1.大约都是7环左右。 2.甲选手的波动较大。波动大意味着成绩不稳定。 3.从图上观察，乙选手的成绩波动较小，比甲选手的成绩更稳定。 要比较甲和乙的射击水平，自然想到比较其射击成绩的平均数或中位数，但是，甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7(环)。两人相比，乙的成绩大多集中在7环附近，而甲的成绩相对于平均数的波动较大。 如果一组数据与其平均数的偏差(偏离平均数的大小)较小，我们就说这组数据比较稳定。 事实上，我们在研究问题时，仅考虑数据的“平均水平”是不够的，还需要关注数据的离散程度，即它们与平均数的偏差大小。 设x是n个数据x1，…，x n的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这
最新人教版高中数学必修三2.3.2 方差与标准差(1)公开课教学设计
教学目标： 1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用， 2．学会计算数据的方差、标准差； 3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125． 提出问题：哪种钢筋的质量较好？ 二、学生活动 由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运
用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论． 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 三、建构数学 1．方差： 2．标准差：2 1 )(1-=-=∑x x n s n i i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义： 描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用 例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定． 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 ÷5＝0.02. 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 ÷5＝0.24 因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定． 例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．
正态分布中的标准偏差σ和6Sigma管理之间的关系
正态分布中的标准偏差σ和6Sigma管理之间的关系 1.个人理解(之前没接触过SPC和6Sigma)：这是讲SPC为主题的教材，也就是用统计控制过程质量的方法，也就是那几个图。怎么会联系到6Sigma呢，是否是这样：其中的基本控制图正态分布和西格玛的定义有必然联系？就如图片里所说“在转折点和平均值的距离形成一个标准差.假如目标值和规格上限之间可以放置三个标准偏差我们可以说这个制程有 “3sigma的能力.””，标准偏差越小，西格玛的等级就越高，西格玛数=UCL/σ。我原来的理解，西格玛是表现在不良率上的，而不是偏差，但现在看来是通过标准偏差来表征的。 2.请问图中右下角p(d)是什么意思？ 3.规格上下限是自己定的不良率允收标准吗？ 4.目标规格值T是指什么？谢谢！ 5.根据σ来定转折点，这几个转折点有何实际应用意义？ 正态分布中的标准偏差σ和6Sigma关系 1.标准偏差σ和6Sigma是两个不同概念 标准偏差σ是相对平均值的离散度，是统计量， 而6Sigma水平是与平均值，标准差σ，规格中心，公差限相比较，是过程满足要求能力的表示。越高越好。 6Sigma水平=(USL-LSL)/2σ 2.p(d)是指超出规范值的不良率 3.规格上下限是产品的规格要求， 4.目标规格值T是指规格的中心值。 5.根据σ来定转折点的意义是在规范公差内容纳的σ个数越多越好，说明偏差值小。 σ值是指示过程作业状况良好程度的标尺。σ值越高，则过程状况越好。σ值用来测量过程完成无缺陷作业的能力，因为缺陷在任何情况下都会导致客户的不满意。换言之，σ值指示了缺陷发生的频度，σ值越高；过程不良品率越低。当σ值增大时，不良品率降低、品质成本降低，过程周期时间缩短，客户满意度提高。当σ值达到6时，即6σ的品质，表示“每百万单位只有3.4个不良率”，品质长期达标率为99.99966%。相对而言，当σ值只有3时，即3σ品质，表示“每百万单位有66807个不良品’，合格率为93.32%。 σ值是一个统计量，它用来表征数据的离散程度，对于正态分布，σ值越大，“倒钟型”就越扁，反之，就越集中，越“瘦”，越细长；另外“当σ值达到6时，即6σ的品质”这个说法是不正确的，所谓6σ的水平是指|USL-LSL|/2σ=6，这表征的是你的制程满足规格的能力，在考虑中心值偏移目标之1.5σ的情况下，它的缺陷率（即超出规格的值的比率）为3.4ppm 方差是(每个值-平均值)的平方然后再和,除以(样本量-1). σ值是一个统计量，是从抽样的数据中计算出来的，与产品公差和产品标准值没有关系，6σ如果考虑没有偏差是十亿分之二的不良，就是统计值的中心值和产品的标准值总是重回时偏差为0的不良率，有1.5的偏差时才是3.4ppm的不良率 σ是一个标准偏差，它是指数据与数据之间的偏差程度，西格玛本身不是指频度 看到有人对σ的解释，我觉得是有偏差的，特别是5楼的回答，制程能力达到6σ之后它所对应的不良率为3.4PPM而且已经是考虑了1.5个σ的偏差了，所以说什么西格玛值越大越好，完全是错误的，只有z=|USP-LSP|/6σ这个值才是越大越好，所以σ应该是越小越好，同时我们也可以从σ的定义来看，他是指偏差，偏差当然是越小越好啊。所以5楼的回答应该是属于误人子弟 σ值是通过计算而来的，用来考察离散度，在公差内容纳的σ值个数越多越好，如σ值=1，公差是6，表示能容纳6个σ值