(整理)应用数学教学大纲

《应用数学》教学大纲

一、课程概述

应用数学是A类课（只包含理论教学内容），计划时数为90学时，分两个学期学习；其中第一学期58学时，第二学期32学时。本课程6学分，是必修的职业基础课。

通过本课程的学习，使学生掌握一元与多元微积分的基本概念、基本理论、基本运算，并通过各个教学环节，逐步培养学生初步抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力以及初步具有综合运用所学知识分析问题解决问题的能力。重视培养学生用数学方法以及借助数学软件来刻画、解决实际问题的能力。

教学对象：通信技术专业大一学年的高职学生。

教学目标

1.基础知识目标

逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、创造性思维能力和自学能力，

2.能力训练目标

逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、自学能力、综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力、初步的抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力

3.个性品质目标

培养学生严谨的数学思维，增强数学素质，自我知识更新和严谨的科学态度。

二、教学内容描述

教学内容

（一）函数

1.函数概念、反函数、分段函数、复合函数、基本初等函数。

2.简单实际问题中的函数关系建立。

教学要求

1.理解函数的概念．

2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．

3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.

4.会建立简单实际问题的函数模型.

（二）极限与连续

教学内容

1. 函数极限概念，无穷小及其性质、无穷大概念及其相互关系，无穷小比较。

2.极限四则运算法则，两个重要极限。

3.函数连续概念，间断点分类，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质。

教学要求

1．了解极限的描述性定义．

2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质．

3．会用两个重要极限公式求极限．

4．掌握极限的四则运算法则．

5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类．

6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）．

7．会用函数的连续性求极限．

（三）一元函数微分学

教学内容

1．导数概念及其几何意义，变化率举例，可导与连续关系。

2．导数四则运算法则和基本公式。

3．复合函数的一阶导数的求法、隐函数和参数方程所确定函数的导数，高阶导数。

4．微分概念及其几何意义，微分运算及微分在近似计算中的应用。

∞/的极限），拉格朗日中值定理，函数单调性判别。

5．洛比达法则（未定式0/0和∞

6．函数极值的概念和函数极值求法，简单实际问题的最值的求解。

7．函数的凹凸性、拐点，简单函数图形的描绘。

教学要求

1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.

2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.

3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.

4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.

5.了解可导、可微、连续之间的关系.

1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.

2.会用洛必达法则求未定式的极限.

3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.

4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.

5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.

（四）一元函数积分学

教学内容

1．原函数、不定积分的概念与性质，不定积分基本公式。

2．不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法，积分表使用。

3．定积分概念，定积分性质。

4．原函数存在定理，牛顿（Newton）—莱布尼茨（Leibniz）公式。

5．定积分的换元积分法和分部积分法、反常积分。

6．定积分的微元法，平面图形的面积，

7. 变力做功，物体质量，液体压力等物理量的定积分表达式。

教学要求

1．了解原函数、不定积分的概念及其性质．

2．掌握不定积分的基本公式．

3．掌握不定积分的换元法和分部积分法． 1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义．

3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法．

5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．

1．掌握定积分的微元法.

2．会用定积分的微元法求平面图形的面积. 3．会用定积分的微元法求旋转体的体积. 4．会用定积分的微元法求变力所做的功. 5．会用定积分的微元法求液体的侧压力.

（五） 常微分方程 教学内容

1． 常微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解等基本概念，可分离变量的微分方程的解法。

2． 一阶线性微分方程的解法及其应用。

教学要求

1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构.

4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为x

m x P λe )(或x x P x

m βαcos e

)(，x x P x m βαsin e )(时的二阶常系数非

齐次线性微分方程的解.

6. 知道特殊的高阶微分方程（)()(x f y n =，),(y x f y '=''，),(y y f y '=''）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.

（六）多元函数微分学 教学内容

1．多元函数和平面区域的相关概念，二元函数极限与连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质，偏导数概念。

2．全微分概念及其几何意义，全微分存在的必要条件和充分条件。复合函数的求导法则。

3．隐函数的求导法则，曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。

4．多元函数极值概念，函数极值的求法，条件极值与拉格朗日乘数法。简单实际问题的最值应用。

教学要求

1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元函数偏导数的概念.

2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件.

3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数.

4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数.

5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程.

6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值.

7.了解多元函数条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极值.

8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题.

（七）多元函数积分学

教学内容

1．二重积分的概念，二重积分的性质，二重积分的计算方法（直角坐标与极坐标）。

２．用二重积分解决简单的实际应用题。

3．对坐标的曲线积分，曲线积分与路径路径无关的条件。

教学要求

1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.

2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法.

3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量).

4．了解曲线积分的概念和性质.

5．会计算简单的曲线积分.

（八）级数

教学内容

1.数项级数及其敛散性。

2.幂级数。

3.泰勒级数

教学要求

1．了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念.

2．了解无穷级数收敛的必要条件,知道无穷级数的基本性质.

3．了解几何级数和p-级数的敛散性,会用正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法.

4．会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系.

5．了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收敛区间.

6．了解幂级数在收敛区间内的基本性质.

7．知道泰勒（Taylor ）级数公式和函数展开成泰勒级数的充要条件.

8．会用

x

+11

、x e 、x sin 与)1ln(x +等函数的麦克劳林(Maclaurin)级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数.

（九）数学实验 教学内容

1.Matlab 编程技术，主要包括Matlab 环境及基本语法、Matlab 常用函数与运算符号的使用。

2.Matlab 基本绘图。

3.Matlab 编程计算微积分、线性代数问题。

4..建立数学模型并编程解决实际问题。 教学要求

1.熟练掌握Matlab 的常用功能、命令和函数。

2.熟知Matlab 的符号函数工具箱，利用工具箱求解微积分、线性代数基本计算

3.认识数学建模的基本过程，能够对较简单的问题建立数学模型，并求解。

三、主要教学内容和课时分配

四、考试大纲

一、考核方式

本课程的考核成绩为平时成绩和期末考试成绩相结合。其中平时成绩占30％，包括考勤、作业、小测、期中考试等成绩合成，期末成绩占考核成绩的70％。

本课程教材为侯风波主编、高等教育出版社出版的《高等数学》和钱椿林主编、高等教育出版社出版的《线性代数》

二、考核内容和考核要求

考核内容分为微积分和线性代数两个部分，包括函数、导数与微分、导数应用、不定积分、定积分、积分应用等方面的知识。

⒈函数

考核知识点：

函数的概念，函数的奇偶性，复合函数，分段函数，基本初等函数和初等函数，经济分析中的几个常见函数，建立函数关系式。

考核要求：

⑴理解函数概念，掌握函数的两要素 定义域和对应关系，会判断两函数是否相同；

⑵掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；

⑶掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；

⑷了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；

⑸了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；

⑹知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形；

⑺了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；

⑻会列简单应用问题的函数表达式。

⒉极限、导数与微分

考核知识点：

极限的概念，无穷小量与无穷大量，极限的四则运算法则，两个重要极限，函数的连续性和间断点，导数的定义，导数的几何意义，导数基本公式和导数的四则运算法则，复合函数求导法则，高阶导数，微分的概念及运算法则。

考核要求：

⑴知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；

⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；

⑶掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；

⑷了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；

⑸理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；

⑹熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐

函数导数的方法；

⑺知道微分的概念，会求函数的微分；

⑻知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数．

⒊导数应用

考核知识点：

函数的单调性，函数的极值和最大（小）值，导数在实际问题中的应用。

考核要求：

⑴掌握函数单调性的判别方法；

⑵了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值；

（3）熟练掌握实际应用问题的最优解。

⒋积分学

考核知识点：原函数、不定积分和定积分概念，积分的性质，积分基本公式，第一换元积分法，分部积分法。

考核要求：

⑴理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念，会求当曲线的切线斜率已知且满足一定条件时的曲线方程，知道不定积分与导数（微分）之间的关系；

⑵熟练掌握积分基本公式和直接积分法；

⑶掌握第一换元积分法（凑微分法）；

⑷掌握分部积分法，

⒌积分应用

考核知识点：积分的几何应用；求平面图形面积

三、试题类型

1．单项选择题（每题3分，共15分）

2．填空题（每题3分，共15分）

3. 解答题（每题12分，共60分）

4．应用题（每题10分，共10分）

五、推荐教材及参考书目

主教材：高等数学（第二版）侯风波主编

参考教材：高等数学训练教程（第二版）侯风波主编

高等数学练习册侯风波主编

高等数学训练教程钱椿林