分式的概念和性质(基础学习知识)规范标准答案

分式的概念和性质（基础）

【学习目标】

1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.

2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】

【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】

要点一、分式的概念

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A

B

叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母.

要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分

母中都不含字母.

（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情

况.

（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个

常数，不是字母，如a

是整式而不能当作分式.

（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式

不能先化简，如

2

x y

x

是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，

不能看化简的结果.

要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件

1.分式有意义的条件：分母不等于零.

2.分式无意义的条件：分母等于零.

3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.

要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，

就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.

（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分

式中分母的值不等于零.

（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：

A A M A A M

B B M B B M

?÷==

?÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着

的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式

中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，

字母x 的取值范围变大了.

要点四、分式的变号法则

对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.

要点诠释：根据分式的基本性质有

b b a a -=-，b b

a a

-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a

b

-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.

要点五、分式的约分，最简分式

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.

要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.

（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是

分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的

分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与

分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.

要点六、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.

要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.

（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分

解因式，然后再找最简公分母.

（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.

【典型例题】

类型一、分式的概念

1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？

2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23

-．

【思路点拨】

3x ，5π，23-虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中5

π

的分母中π表示一个常数，因此这三个式子都不是分式． 【答案与解析】

解：整式：3x ，23-，5π，2

3x +，分式：2a

，1m m +，2a a ．

【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

类型二、分式有意义，分式值为0

2、下列各式中，m 取何值时，分式有意义？ （1）

2m m +；（2）1||2m -；（3）239

m

m --．

【答案与解析】

解：（1）由20m +=得2m =-，

故当2m ≠-时分式

2

m

m +有意义． （2）由||20m -=得2m =±，

故当2m ≠±时分式

1

||2

m -有意义．

（3）由2

2

9(9)0m m --=-+<，即无论m 取何值时2

9m --均不为零，故当m 为

任意实数时分式

2

39

m

m --都有意义． 【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法．

举一反三：

【变式1】在什么情况下，下列分式没有意义?

（1）

3(7)x x x +；（2）21x x +；（3）22

2

x x ++．

【答案】

解：分式没有意义的条件是分式的分母等于0．

（1）由(7)0x x +=，得0x =或7x =-，

∴ 当0x =或7x =-时，原分式没有意义．

（2）由2

0x =，得0x =，

∴ 当0x =时，原分式没有意义． （3）由2

x ≥0得，2

20x +>，即2

20x +≠，

∴ 当x 取一切实数，原分式都有意义，即没有x 值能使分式没有意义． 【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．

（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224

x x +-．

【答案】

解：（1）由210x +=得1

2

x =-

， 当12x =-时，1

323()202x -=?--≠，

∴ 当12x =-时，分式21

32

x x +-的值为0．

（2）由2

0x x +=得0x =或1x =-， 当0x =时，2

1010x -=-≠，

当1x =-时，2

2

1(1)10x -=--=，

∴ 当0x =时，分式221

x x

x +-的值为0．

（3）由20x +=得2x =-，

当2x =-时，2

2

4(2)40x -=--=，

∴ 在分式有意义的前提下，分式2

2

4

x x +-的值永不为0． 类型三、分式的基本性质

3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．

（1）0.20.020.5x y x y

+-； （2）113

41123

x y

x y +-． 【思路点拨】将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可． 【答案与解析】 解：（1）

0.20.020.5x y

x y +-(0.2)501050(0.020.5)50

25x y x y x y x y +?+==-?-．

（2）11341123x y x y +-111243341164122

3x y x y x y x y ??+?

?+??==-??-? ???.

【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 举一反三：

【变式1】如果把分式

y

x x

232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（ ）

A 扩大3倍

B 不变

C 缩小3倍

D 扩大2倍

【答案】B ；

【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．

（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?

()()()b a c b a c a b b c a c

--=----．

【答案】2

()x y -；1；

解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为x y +，而等式的右边分式的分子为2

2

x y -，

由于22

()()x y x y x y +-=-，即将等式左边分式的分子乘以x y -，因而分母也要乘以

x y -，所以在？处应填上2()x y -．

（2）先观察分母，等式左边的分母为()()()a c a b b c ---，等式右边的分母为a c -，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以()()a b b c --，因为

()()[()()]1b a c b a b b c --÷--=，所以在？处填上1．

4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． （1）

2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23b

c

--．

【答案与解析】 解：（1）

22a a b b -=- （2）4455x x y y -=- （3）33m m n n =-- （4）2233b b

c c

-=-． 【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面． 类型四、分式的约分、通分

5、 将下列各式约分：

（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y +-；（3）21

1

a a --；（4）321620m m m m -+-．

【答案与解析】

解：（1）22324412433ax x a a

x x x x

==

g g ． （2）24322

33

15355331

n n n n x y x y x y x y x y x y +--==-g g ．

（3）

2

111

1(1)(1)1

a a a a a a --==--++． （4）32216(4)(4)420(5)(4)5

m m m m m m m

m m m m m --+-+==-+-+-+．

【总结升华】当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式即是分子、分母的字母系数的最大公约数与分子、分母的相同因式最低次幂的乘积． 举一反三：

【高清课堂403986 分式的概念和性质 例6（2）】 【变式】通分：（1）

4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，21

1

x -． （3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，2

2

x -．

【答案】

解：（1）最简公分母为2

4ab c ，

2322444b b b b ac ab c ab c ==g ，2

22222244a a a a b c ab c ab c

==g ． （2）

222(1)x x x x =++，211

1(1)(1)

x x x =-+-，

最简公分母为2(1)(1)x x +-，

2(1)222(1)(1)2(1)(1)

x x x x x

x x x x x --==++-+-g ．

2

1122

12(1)(1)2(1)(1)

x x x x x ?==-+-+-． （3）最简公分母是22

2a b c ．

2222333222bc bc a b a b bc a b c ==g g ，22222()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c

---==g g ． （4）最简公分母是(2)(2)x x +-，

21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，22

4444x x

x x =--，222(2)242(2)(2)4

x x x x x x ++==--+-． 【巩固练习】 一.选择题

1．在代数式22221323252

,,,,

,,33423

x x xy x x x x π+-+中，分式共有( )． A.2个 B.3个

C.4个

D.5个

2．使分式

5

+x x

值为0的x 值是（ ） A ．0

B ．5

C ．－5

D ．x ≠－5

3. 下列判断错误．．

的是（ ） A ．当23x ≠

时，分式2

31

-+x x 有意义 B ．当a b ≠时，分式22

ab

a b -有意义

C ．当21-=x 时，分式21

4x x

+值为0

D ．当x y ≠时，分式22

x y y x

--有意义

4．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )

A ．21x x

+

B ．

21

1

x x -- C ．

1

1

x x -+ D ．

21

1

x x -+ 5．如果把分式

y

x y

x ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．是原来的

3

2

D ．不变

6．下列各式中，正确的是（ ） A ．

a m a

b m b

+=+ B ．

0a b

a b

+=+

C ．

11

11

ab b ac c +-=

-- D ．

22

1

x y x y x y

-=-+ 二.填空题

7．当x ＝______时，分式6

32-x x

无意义． 8.若分式

6

7x

--的值为正数，则x 满足______． 9．（1）112()

x x

x --=- （2）

.y x xy x

22353)(

= 10．（1）2

2)(1y

x y x -=+ （2）?-=--24)

(21y y x 11.分式

2214a b 与3

6x

ab c

的最简公分母是_________. 12. 化简分式：（1）3

()

x y

y x -=-_____；（2）22996x x x -=-+_____． 三.解答题

13.当x 为何值时，下列分式有意义?

（1）1

2

x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）22

11x x ---． 14．已知分式

,y a

y b

-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0， 求当y ＝－7时分式的值．

15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．

（1）2

2x x y --

（2）

2b

a a

--

（3）2

2

11x x x x

---+

（4）2

2

31m m m ---

【答案与解析】

一.选择题 1. 【答案】B ；

【解析】21325

,,42x x x x

++是分式.

2. 【答案】A ；

【解析】050x x =+≠且. 3. 【答案】B ； 【解析】a b ≠±，22

ab

a b -有意义.

4. 【答案】D ；

【解析】无论x 为何值，2

1x +都大于零.

5. 【答案】D ； 【解析】

102010(2)2101010()x y x y x y

x y x y x y

+++==+++.

6. 【答案】D ；

【解析】利用分式的基本性质来判断.

二.填空题 7. 【答案】2；

【解析】由题意，360,2x x -==. 8. 【答案】7x >；

【解析】由题意70,7x x -<>∴. 9. 【答案】（1）2x -；（2）5y ；

10.【答案】（1）x y -；（2）22xy x y +--；

【解析】

22

1(1)(2)22

244x x y xy x y y y y

--++--==---. 11.【答案】23

12a b c ；

【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积. 12.【答案】（1）()

2

1

x y -

-；（2）

3

3

x x +-. 【解析】()()()

22

2339

963x x x x x x +--==-+-33x x +-. 三.解答题 13.【解析】

解：（1）由分母20x -≠，得2x ≠．∴ 当2x ≠时，原分式有意义． （2）由分母410x +≠，得14x ≠-

．∴ 当1

4

x ≠-时，原分式有意义． （3）∵ 不论x 取什么实数，都有2

10x +>．∴ x 取一切实数，原分式都有意义．

（4）∵ 20x ≥，∴ 211x +≥，∴ 2

(1)1x -+≤-即2

11x --≤-

∴ x 取一切实数，分式22

1

1

x x ---都有意义． 14.【解析】

解：由题意：30b -+=，解得3b =

2023

a

-=+，解得2a = 所以分式为

23y y -+，当y ＝－7时，

27299

37344

y y ----===+-+-.