万有引力定律 经典例题讲课讲稿

1．天体运动的分析方法

2．中心天体质量和密度的估算

(1)已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R G Mm

R

2＝mg ??

??

天体质量：M ＝

gR 2G

天体密度：ρ＝3g 4πGR

(2)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T 和轨道半径r

?????

①G Mm r 2＝m 4π2T 2r ?M ＝4π2r 3GT

2

②ρ＝M 43πR 3

＝3πr

3

GT 2R

3

③卫星在天体表面附近飞行时，r ＝R ，则ρ＝3πGT

2

1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心

B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误．

答案：C

2．(2016·郑州二检)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空

后，先在近地轨道上以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v ′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g ′和g ，下列结论正确的是( )

A ．g ′∶g ＝4∶1

B ．g ′∶g ＝10∶7

C ．v ′∶v ＝

528

D ．v ′∶v ＝

514

解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由G

Mm R 2＝mg ，M ＝ρ43

πR 3

，解两式得g ＝4

3G πρR ，所以g ′∶g ＝5∶14，A 、B 项错；探测器在天体表面飞行时，万有引力

充当向心力，由G Mm R 2＝m v 2R ，M ＝ρ4

3πR 3，解两式得v ＝2R

G πρ

3

，所以v ′∶v ＝528

，C 项正确，D 项错．

答案：C

3.嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G ，月球绕地球做圆周运动的半径r 1、周期T 1，“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r 2、周期T 2，不计其他天体的影响，则根据题目条件可以( )

A ．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量

B ．求出地球与月球之间的万有引力

C ．求出地球的密度 D.r 13T 12＝r 23T 2

2 解析：绕地球转动的月球受力为GMM ′r 12＝M ′r 14π2

T 1

2得T 1＝

4π2r 13

GM

＝4π2r 13

Gρ43πr 3.由于不知道地球半径r ，无法求出地球密度，C 错误；对“嫦娥三号”而言，GM ′m

r 22

＝mr 24π2

T 2

2，T 2＝4π2r 23

GM ′

，已知“嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M ′，但是所

有的卫星在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月卫星质量无法求出，A错误；已经求出地球和月球质量，而且知道月球绕地球做

圆周运动的半径r1，根据F

＝

GMM′

r12

可求出地球和月球之间的引力，B正确；由开普勒第

三定律即半长轴三次方与公转周期二次方成正比，前提是对同一中心天体而言，但是两个圆周运动的中心天体一个是地球一个是月球，D错误．

答案：B

估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算

天体密度时，V＝4

3

πR3中的R只能是中心天体的半径.

考点二人造卫星的运行

授课提示：对应学生用书第57页

1．人造卫星的a、ω、v、T与r的关系

GMm

r2＝

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

ma―→a＝

GM

r2―→a∝

1

r2

m

v2

r―→v＝

GM

r―→v∝

1

r

mω2r―→ω＝

GM

r3―→ω∝

1

r3

m

4π2

T2r―→T＝

4π2r3

GM―→T∝r

3

2．近地时mg＝

GMm

R2―→GM＝gR

2.

1．地球同步卫星的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．

(4)高度一定：根据G Mm r 2＝m 4π2

T 2r 得r ＝3GMT 24π2

＝4.23×104 km ，卫星离地面高度h ＝

r －R ≈6R (为恒量)．

(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致． 2．极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．

1.(2015·高考福建卷)如图，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( )

A.v 1

v 2

＝r 2

r 1

B.v 1v 2

＝r 1r 2

C.v 1v 2＝????r 2r 12

D.v 1v 2＝???

?r 1r 22 解析：根据万有引力定律可得G Mm

r 2＝m v 2r ，即v ＝

GM

r ，所以有v 1v 2

＝r 2

r 1

，所以A 项正确，B 、C 、D 项错误．

答案：A

2．2015年3月30号晚上9点52分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，将我国首颗新一代北斗导航卫星发射升空，于31号凌晨3点34分顺利进入预定轨道．这次发射的新一代北斗导航卫星，是我国发射的第17颗北斗导航卫星．北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星．中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离地面高度低，则中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )

A ．周期大

B ．线速度小

C ．角速度小

D ．向心加速度大

解析：卫星离地面的高度越低，则运动半径越小．根据万有引力提供圆周运动向心力得G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2

r ＝m 4π2r T 2＝ma ，则周期T ＝

4π2r 3

GM

，知半径r 越小，周期越小，故A 错误；线速度v ＝

GM

r

，知半径r 越小，线速度越大，故B 错误；角速度ω＝GM

r 3

，知半径r 越小，角速度越大，故C 错误；向心加速度a ＝GM

r 2，知半径r 越小，向心加速度

越大，故D 正确．

答案：D

3．“空间站”是科学家进行天文探测和科学试验的特殊而又重要的场所．假设“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．下列说法正确的有( )

A ．“空间站”运行时的加速度小于同步卫星运行的加速度

B ．“空间站”运行时的速度等于同步卫星运行速度的10倍

C ．站在地球赤道上的人观察到“空间站”向东运动

D ．在“空间站”工作的宇航员因不受重力而可在舱中悬浮

解析：根据G Mm r 2＝ma 得a ＝Gm

r 2，知“空间站”运行的加速度大于同步卫星运行的加

速度，故A 错误；根据G Mm

r 2＝m v 2r

得v ＝

GM

r

，离地球表面的高度不是其运动半径，所以线速度之比不是10∶1，故B 错误；轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转的角速度相同，所以空间站的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观察到空间站向东运动，故C 正确；在“空间站”工作的宇航员处于完全失重状态，重力充当向心力和空间站一起做圆周运动，故D 错误．

答案：C

人造卫星问题的解题技巧

(1)利用万有引力提供向心力的不同表达式 GMm r 2＝m v 2r ＝mrω2

＝m 4π2r T

2＝ma n (2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿 第二定律．

①卫星的a n 、v 、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生 变化．

②a n 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定． (3)要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球 绕地球公转一周为一月(27.3天)等.

考点三 卫星的发射和变轨问题 授课提示：对应学生用书第57页

1．第一宇宙速度(环绕速度)

v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度，还是绕地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

2．第二宇宙速度(脱离速度)

v 2＝11.2 km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 3．第三宇宙速度(逃逸速度)

v 3＝16.7 km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

1．第一宇宙速度的两种计算方法 (1)由G Mm

R 2＝m v 2R 得v ＝

GM

R

. (2)由mg ＝m v 2

R 得v ＝gR .

2．卫星变轨的分析

(1)变轨原因：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作

用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行．

(2)变轨分析：卫星在圆轨道上稳定时，G Mm

r 2＝m v 2r

＝mω2r ＝m ????2πT 2r . ①当卫星的速度突然增大时，G Mm

r 2＜m v 2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做

离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝ GM

r

可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加； ②当卫星的速度突然减小时，G Mm

r 2＞m v 2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将

做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝

GM

r

可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．

1．(多选)(2015·高考广东卷)在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1.下列说法正确的有( )

A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大

B ．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大

C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等

D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 解析：由G Mm

R 2＝m v 2R

得，v ＝

GM

R

，2v ＝2GM

R

，可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关，A 项错误；由F ＝G Mm

R 2及地球、火星的质量、半径之比可

知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B 项正确；由2v ＝

2GM

R

可知，探测器脱离两星球所需的发射速度不同，C 项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力做负功，引力势能增大，D 项正确．

答案：BD

2.(多选)2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，地面发射后奔向月球，在P 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q 为轨道Ⅱ上的近月点．下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是( )

A ．发射速度一定大于7.9 km/s

B ．在轨道Ⅱ上从P 到Q 的过程中速率不断增大

C ．在轨道Ⅱ上经过P 的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的速度

D ．在轨道Ⅱ上经过P 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的加速度

解析：“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s ，A 正确．在轨道Ⅱ上从P 到Q 的过程中速率不断增大，选项B 正确．“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在轨道Ⅱ上经过P 的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的速度，选项C 正确．在轨道Ⅱ上经过P 的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P 的加速度，D 错．

答案：ABC

3.(2016·成都石室中学二诊)如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星A 、B 、C ，在某一时刻恰好在同一条直线上．它们的轨道半径之比为1∶2∶3，质量相等，则下列说法中正确的是( )

A ．三颗卫星的加速度之比为9∶4∶1

B ．三颗卫星具有机械能的大小关系为E A ＜E B ＜E

C C ．B 卫星加速后可与A 卫星相遇

D ．A 卫星运动27周后，C 卫星也恰回到原地点

解析：根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝ma ，得a ＝GM r 2，故a A ∶a B ∶a C ＝1r A 2∶1r B 2∶1r C

2

＝112∶122∶1

32＝36∶9∶4，故A 错误；卫星发射的越高，需要克服地球引力做功越多，故机械能越大，故E A ＜E B ＜E C ，故B 正确；B 卫星加速后做离心运动，轨道半径要变大，不可能与A 卫星相遇，故C 错误；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2

T 2r ，得T ＝2π

r 3

GM

，所以T A

T C

＝

r A 3r C 3＝127

，即T C ＝27T A .若A 卫星运动27周后，C 卫星也恰回到原地点，则C 的周期应为A 的周期的27倍，故D 错误．

答案：B

航天器变轨问题的三点注意事项

(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨

判断．

道上的运行速度变化由v＝GM

r

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．

(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度.

考点四天体运动中的双星或多星模型

授课提示：对应学生用书第58页

1.模型构建

绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．

2．模型条件

(1)两颗星彼此相距较近．

(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动．

3．模型特点

(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．

(2)“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等． (3)“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r 1＋r 2＝L ，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．

1．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )

A.n 3

k 2T B.n 3k T C.

n 2

k

T D.

n k

T 解析：设两颗双星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，根据万有引力提供向心力可得G m 1m 2(r 1＋r 2)2＝m 1r 14π2T 2，G m 1m 2(r 1＋r 2)2＝m 2r 24π2

T 2，联立两式解得m 1＋m 2＝

4π2(r 1＋r 2)3GT 2，即T 2

＝4π2(r 1＋r 2)3

G (m 1＋m 2)，因此，当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离

变为原来的n 倍时，两星圆周运动的周期为T ′＝

n 3

k

T ，B 正确，A 、C 、D 错误． 答案：B

2．(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( )

A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B ．四颗星的轨道半径均为a 2

C ．四颗星表面的重力加速度均为Gm

R 2

D ．四颗星的周期均为2πa

2a

(4＋2)Gm

解析：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为

2

2

a ，故A

正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G

mm ′

R 2

＝m ′g ，解得g ＝Gm R 2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a

2，T ＝2πa

2a

(4＋2)Gm ，故D 正确．

答案：ACD

3.如图所示，双星系统中的星球A 、B 都可视为质点．A 、B 绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，A 、B 之间距离不变，引力常量为G ，观测到A 的速率为v 、运行周期为T ，A 、B 的质量分别为m 1、m 2.

(1)求B 的周期和速率．

(2)A 受B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体对它的引力，试求m ′.(用m 1、m 2表示)

解析：(1)设A 、B 的轨道半径分别为r 1、r 2，它们做圆周运动的周期T 、角速度ω都相同，根据牛顿第二定律有F A ＝m 1ω2r 1，F B ＝m 2ω2r 2，即r 1r 2＝m 2

m 1.故B 的周期和速率分别为：

T B ＝T A ＝T ，v B ＝ωr 2＝ωm 1r 1m 2＝m 1v

m 2

.

(2)A 、B 之间的距离r ＝r 1＋r 2＝m 1＋m 2

m 2r 1，根据万有引力定律有

F A ＝Gm 1m 2r 2＝Gm 1m ′r 12，

所以m ′＝m 23

(m 1＋m 2)2

.

答案：(1)T m 1v m 2 (2)m 23

(m 1＋m 2)2

解答双星问题应注意“两等”“两不等”

(1)双星问题的“两等” ①它们的角速度相等．

②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力