一级倒立摆的建模与控制分析

研究生《现代控制理论及其应用》课程小论文

一级倒立摆的建模与控制分析

学院：机械工程学院

班级：机研131

姓名：尹润丰

学号：201321202016

2014年6月2日

1. 问题描述及状态空间表达式建立................................. -1 -

1.1问题描述.......................................................................... -1 -

1.2状态空间表达式的建立.............................................................. -1 -

1.2.1直线一级倒立摆的数学模型.................................................... -1 -

1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程.............................................. -5 -

2. .................................................................................................................... 应用MATLAB分析系统性能 .......................................... -6 -

2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析.................................................. -6 -

2.2 系统可控性分析 ................................................................. -7 -

2.3 系统可观测性分析 ............................................................... -8 -

3. 应用matlab进行综合设计 ...................................... -8 -

3.1状态反馈原理..................................................................... -8 -

3.2 全维状态反馈观测器和simulink 仿真 ............................................... -9 -

4. ................................................................................................................ 应用Matlab进行系统最优控制设计..................................... -.11 -

5. .................................................................................................................... 总结................................................................ -13 -

1」可题描述及状态空间表达式建立

1.1问题描述

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身乂是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平■台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。

下对丁倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，它就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。

1.2状态空间表达式的建直

1.2.1直线一级倒立摆的数学模型

图1.1直线一级倒立摆系统

本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表 1.1所示

表L1直线一级倒立摆系统参数

图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，NOP为小车与摆杆相互作用力的水平■和垂直方向的分量。

图1.2系统中小车的受力分析图

图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s是摆杆受到的水平方向的干扰力，F h是摆杆受

到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向火角为a的干扰力F g

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:

Mx = F - fx - N i i

设摆杆受到与垂直方向火角为a的干扰力Fg,可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS垂直干扰力Fh产生的力矩。

F S= F g sin ：F h = F g cos：1-2

对摆杆水平■方向的受力进行分析可以得到下面等式:

d .

N「F S = m—7 x l sin

S dt2

1-3

即：

2 ? . 一 ? N = mx ml cosn - mH sin 「F f sin ： 1 _4

对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程:

2 - -P mg F g

cos ： - mk sinmk cosu 1-6

力矩平■衡方程如下:

F a l sin ： cos^ F a l cos sin Pl sin

Nl cos^ H - 0 g g

代入Pffi N,得到方程：

2F g l sin^co 殂 +2F g l cost sine +(I +ml

1 2 3 4cos2 9 +mglsin 日一ml 282sin2 +mXco 由=0 (1- 8 ) 设8 =兀+* ,（ 4是摆杆杆与垂直向上方向之间的火角，单位是弧度）,代入上式。假设4 <<1,则可进行近似处理：

1 2

由丁： I ml

方程化为：

4 ..

2Fa -sin ： - cos ml - mg = mx

1-9

g 3 令：Ff = Fg （—sina —°cosa ）,则（1—9）可化为：

_ 4 .. 2F f ml - mg = mx 1-10

3 （1-10 ）即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。

带入实际数据后，微分方程为：一 - _ _ Ff 3 - 29.4^ - 3x -2—1 1-11

当忽略了 F f 时，系统的微分方程如式（1-12）所示 -29.乍 3x 1-12

-P mg 入=m^ l -lcos-

1-5

1-7

cos =1,sin = , \ —=0,cos2 =1,sin2 =

, dt ,,