正弦函数余弦函数的性质(教学设计)

1.4.2（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思

想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：

一、创设情境,导入新课：

1．现实生活中的“周而复始”现象：

（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）现在下午2点30，那么每过24小时候是几点？ （3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）

2．数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律

正弦函数()sin f x x =性质如下：

（观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

–

– π 2π

2π- π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1-

2?规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3?这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、师生互动，新课讲解：

1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

问题： （1）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）余弦函数呢？

（2）观察等式 4

sin )2

4

sin(π

ππ=+是否成立？如果成立，能不能说2

π

是y=sinx 的周期？

（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？

（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）

2.最小正周期：T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）

从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； 3、例题讲解

例1（课本P35例2） 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）12sin()2

6y x π

=-，x R ∈．

解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，

∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，

∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现，

所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．

（3）∵),6

2

1sin(]6

)4(2

1sin[2]2)6

2

1sin[(2π

ππππ-=-+=+-x x x ，

∴自变量x 只要并且至少要增加到π4+x ，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数)62

1sin(2π

-=x y ，x R ∈的周期是π4．

变式训练1：求下列三角函数的周期：

（1）y=sin3x （2）y=cos 3

x （3）y=3sin 4

x

(4) y=sin(x+

10π) (5) y=cos(2x+3

π) 解：1? sin(3x+2π)=sin3x 又sin(3x+2π)=sin3(x+3

2π

) 即：f (x +

32π)=f (x) ∴周期T=3

2π 2? cos 3x =cos(π23+x )=cos )6(3

1

π+x

即：f (x +6π)=f (x ) ∴T=6π

3? 3sin 4

x =3sin(4

x +2π)=3sin(）（π84

1+x )=f (x +8π) 即：f(x+8π)=f(x) ∴T=8π 4? sin(x+

10π)=sin(x+10

π

+2π) 即f(x)=f(x+2π) ∴T=2π

5? cos(2x+3π)=cos[(2x+3π)+2π]=cos[2(x+π)+3

π] 即：f(x+π)=f(x) ∴T=π

由以上练习，请同学们自主探究T 与x 的系数之间的关系。

小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A ≠0, x ∈R) 周期2||

T πω=

y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

一般结论：函数sin()y A x b ω?=++及函数cos()y A x b ω?=++，x R ∈的周期2||

T πω=

课堂巩固练习2 快速求出下列三角函数的周期

(1)y=sin x 4

3 （2） y=cos4x+1 (3) y=)5cos(2

1x -- (4)y=sin(4

3

1π

+-x )

(5)y=3cos(-35

2π

-x )-1

三、课堂小结：1.周期函数定义：对定义域任意x,都有f(x+T)=f(x). 2.y=sin x 与y=cos x 的周期都是2k π,最小正周期是2π. 3.sin()y A x b ω?=++及cos()y A x b ω?=++的周期2||T πω=

四、作业布置 1、P52 3 2、金太阳导学案与固学案 4．

奇偶性

请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如：

f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3

π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)

就叫做偶函数。

(2)正弦函数的图形

观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；

（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 例2： 判断下列函数的奇偶性 (1)y=sinxcosx (2)y=cos2x 变式训练2：判断下列函数的奇偶性 （1）y=sinx+cosx (2)y=sin2x 5.单调性

从y ＝sin x ，x ∈［－2

3,

2π

π］的图象上可看出：

当x ∈［－2π，2

π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［2

π，

2

3π

］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2

π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，2

3π

＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.

例3：求函数y=1sin()2

3x π

+的单调递增区间。

变式训练3：求函数y=1sin()2

3x π

+的单调递减区间。

6．最大值与最小值。

正弦函数y=sinx 当x=22

k π

π+时取最大值1，当x=

322

k π

π+时取最小值-1。 余弦函数y=cosx 当x=2k π时取最大值1，当x=2k ππ+最取最小值-1。（以上k Z ∈） 例4：（课本P38例3）下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？

（1）y=cosx+1 (2)y= -3sin2x

变式训练4：（课本P39例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。 ①sin()sin()18

10

ππ

--与； ②2317

cos()cos()54

ππ-

-与

课堂巩固练习2（课本P40练习NO ：1；2；3）

三、课堂小结，巩固反思

1、正弦函数与余弦函数的周期性，最小正周期的求法。

2、正弦函数与余弦函数的奇偶性，会判定三角函数的奇偶性。

3、会求sin()y A x b ω?=++的单调区间。

4、会求sin()y A x b ω?=++的最值。

四、课时必记：

1、一般结论：函数sin()y A x b ω?=++及函数cos()y A x b ω?=++，x R ∈的周期2||

T π

ω=

2、y=sinx 为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx 是偶函数，图象关于y 轴对称。

3、正弦函数y=sinx 每一个闭区间［－2π＋2k π，2

π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，2

3π

＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数y=cosx 在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－

4、正弦函数y=sinx当x=2

2k

π

π

+时取最大值1，当x=32

2k

π

π

+时取最小值-1。

余弦函数y=cosx当x=2kπ时取最大值1，当x=2k

ππ

+最取最小值-1。（以上k Z

∈）

五、分层作业：

A组：

1、（课本P46习题1.4 A组NO：2）

2、（课本P46习题1.4 A组NO：3）

3、（课本P46习题1.4 A组NO：4）

4、（课本P46习题1.4 A组NO：5（1））