第五章空间任意力系
第五章 空间任意力系
习 题
5.1 托架A 套在转轴z 上,在点C 作用一力F = 2000 N 。图中点C 在Oxy 平面内,尺寸如图所示,试求力F 对x ,y ,z 轴之矩。
题5.1图
解:cos 45sin 60 1.22x F F KN ==o o
cos45cos600.7y F F KN ==o o
sin 45 1.4z F F KN ==o
6084.85x z M F mm KN mm ==?
5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=?
5.2 正方体的边长为a ,在其顶角A 和B 处分别作用着力F 1和F 2,如图所示。求此两力在轴
x ,y ,z 上的投影和对轴x ,y ,z 的矩。
x
y
z
O
a
a
a A
B
F 1 F 2 α
βα题5.2图
F F z
F xy
F y
F x
解:21sin cos sin x F F F αβα=-
1cos cos y F F βα=-
12sin cos z F F F βα=+
12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β=
121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=---
5.3 如图所示正方体的表面ABFE 内作用一力偶,其矩M = 50 kN ·m ,转向如图。又沿GA 、
BH 作用两力F 、F ′,F = F ′
,a = 1 m 。试求该力系向C 点的简化结果。
解:两力F 、F ′能形成力矩1M
1M Fa m ==?
11cos 45x M M =o 10y M = 11sin 45z M M =o
1cos 4550x M M KN m ==?o
11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=?o
22505C z x M M M KN m =+=?
63.4α=o 90β=o 26.56γ=o
5.4 如图所示,置于水平面上的网格,每格边长a = 1m ,力系如图所示,选O 点为简化中心,坐标如图所示。已知:F 1 = 5 N ,F 2 = 4 N ,F 3 = 3 N ;M 1 = 4 N ·m ,M 2 = 2 N ·m ,求力系向O 点简化所得的主矢'
R F 和主矩M O 。
题5.4图
解:'
1236R F F F F N =+-=
方向为Z 轴正方向
21232248x M M F F F N m =++-=? 1123312y M M F F F N m =--+=-?
2214.42O y x M M M N m =+=?
56.63α=o
33.9β=-o 90γ=o
5.5 如图所示圆柱重W =10kN ,用电机链条传动而匀速提升。链条两边都和水平方向成30
角。已知鼓轮半径r =10cm ,链轮半径1r =20cm ,链条主动边(紧边)的拉力T 1大小是从动边(松边)拉力T 2大小的两倍。若不计其余物体重量,求向心轴承A 和B 的约束力和链的拉力大小(图中长度单位cm )。
题5.5图
解:
12
0,cos30cos300Ax Bx X F F T T =+++=∑o o
210,sin30sin300Az
Bz Z F F T T W =+-+-=∑o o
120,60cos3060cos301000z
Bx M T T F =---=∑o o
12
0,3060sin3060sin301000x Bz M W T T F =-+-+=∑o o
21110,0y
M
Wr T r T r =+-=∑
20.78,13Ax Az F KN F KN =-= 7.79, 4.5Bx Bz F KN F KN == 1210,5T KN T KN ==
5.6 如图所示均质矩形板ABCD 重为W = 200 N ,用球铰链A 和蝶形铰链B 固定在墙上,并用绳索CE 维持在水平位置。试求绳索所受张力及支座A ,B 处的约束力。
解:取长方形板ABCD 为研究对象,受力如图所示重力W 作用于板的型心上。选坐标系Axyz ,设AD 长
题5.6图
2a ,AB 长为2b ,列出平衡方程并求解
F Ax
F Az
F Bx
F Bz
W
Bz
F=
100
Az
F N
=
5.7 如图所示,水平轴上装有两个凸轮,凸轮上分别作用已知力F1=800N和未知力F。如轴平衡,求力F和轴承约束力的大小。
x
y
z
B
A
F
F1
40cm
60cm
40cm
2
c
m
20cm
Bx
F
Bz
F
Az
F
Ax
F
题5.7图
解:
1
0,0
Ax Bx
X F F F
=++=
∑
0,0
Az Bz
Z F F F
=++=
∑
1
0,1401000
z Bx
M F F
=--=
∑
10,20200y
M F F =-=∑ 0,401000x
Bz M
F F =+=∑
320,480Ax Az F N F N ==- 1120,320Bx Bz F N F N =-=-
800F N =
5.8 扒杆如图所示,立柱 AB 用 BG 和 BH 两根缆风绳拉住,并在 A 点用球铰约束,A 、H 、
G 三点位于Oxy 平面内,G 、H 两点的位置对称于y 轴,臂杆的D 端吊悬的重物重W = 20 kN ;求
两绳的拉力和支座A 的约束反力。
题5.8图
解:G 、H 两点的位置对称于y 轴
BG BH F F =
0,sin 45cos60sin 45cos600BG
BH Ax X F F F =-++=∑o o o o 0,cos45cos60cos45cos600BG
BH Ay Y F F F =--+=∑o o o o
0,sin60sin600Az
BG BH Z F F F W =---=∑o o
0,5sin 45cos605sin 45cos6050x
BG BH M
F F W =+-=∑o o o o
28.28,0,20,68.99BG BH Ax Ay Az F F KN F F KN F KN =====
5.9 如图所示,一重量W = 1000N 的均质薄板用止推轴承A 、B 和绳索CE 支持在水平面上,可以绕水平轴AB 转动,今在板上作用一力偶,其力偶矩为M ,并设薄板平衡。已知a = 3 m ,
b = 4 m ,h = 5 m ,M = 2000 N ·m ,试求绳子的拉力和轴承A 、B 的约束力。
5.10 如图所示作用在踏板上的铅垂力F 1使得位于铅垂位置的连杆上产生的拉力F = 400 N ,
o 30α=,a = 60 mm ,b = 100 mm ,c = 120 mm 。求轴承A 、B 处的约束力和主动力F 1。
题5.10图
解:
0,0By
Ay Y F F =+=∑ 10,0Az
Bz Z F
F F F =+--=∑
10,2cos 0x
M bF cF α=-=∑ 0,0y
Bz Az M aF bF bF =-+=∑ 0,0z
By Ay M
bF bF =-=∑
0Ay By F F ==,423.92Az F N =, 183.92Bz F N =
1207.84F N =
5.11 如图所示为一均质薄板,其尺寸单位为mm 并标示于图中,求该薄板的重心。
x
题 5.11图
解:三角形OAB 的中心为:()15,6.67
21300A mm =
小圆重心为:()6,6
216A π=
该薄板的重心:
5.12 如图所示,从 R = 120 mm 的均质圆板中挖去一个等腰三角形。求板的重心位置。
x
题5.12图
解:圆重心:()0,0
1122
12
16.8
x A x A x A A -=
=-1122
12
0.4
y A y A y A A -=
=--
2114400A mm π=
三角形重心:()0,30
228100A mm =
板的重心位置:
5.13 试求图所示均质板OABCD 的重心位置(图中尺寸的单位为mm )。
x
题5.13图
题5.14图
解:I 部分重心:()45,20 2
12700A mm = ∏部分重心:()105,20 2
2900A mm =
I∏部分重心:()60,20- 234800A mm =
均质板OABCD 的重心:
1122
12
0x A x A x A A -=
=-1122
12
6.54
y A y A y A A -==--112233
123
60x A x A x A x mm A A A ++=
=++112233
123
2.86y A y A y A y mm
A A A ++==-++
5.14 试求图所示均质等厚板的重心位置(图中尺寸的单位为mm )。
x
解:I 部分重心:()2
145,60,10800A mm =
∏部分重心:()2273,60,800A mm π= I∏部分重心:()2345,20,2700A mm -=
均质等厚板的重心:
112233
123
49.4x A x A x A x mm
A A A ++=
=++112233
123
46.5y A y A y A y mm
A A A ++=
=++
工程力学习题答案5廖明成教材
第五章 空间任意力系 习 题 5.1 托架A 套在转轴z 上,在点C 作用一力F = 2000 N 。图中点C 在Oxy 平面内,尺寸如图所示,试求力F 对x ,y ,z 轴之矩。 题5.1图 解:cos 45sin 60 1.22x F F KN == cos45cos600.7y F F KN == sin 45 1.4z F F KN == 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 5.2 正方体的边长为a ,在其顶角A 和B 处分别作用着力F 1和F 2,如图所示。求此两力在轴x ,y ,z 上的投影和对轴x ,y ,z 的矩。 x y z O a a a A B F 1 F 2 α βα题5.2图 F F z F xy F y F x
解:21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+ 12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 5.3 如图所示正方体的表面ABFE 内作用一力偶,其矩M = 50 kN·m ,转向如图。又沿GA 、BH 作用两力F 、F ′,F = F ′,a = 1 m 。试求该力系向C 点的简化结果。 解:两力F 、F ′能形成力矩 1M 1M Fa m ==? 11cos 45x M M = 10y M = 11sin 45z M M = 1cos 4550x M M KN m ==? 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=? C M m ==?
第五章 空间力系
第五章 空间力系 一、内容提要 本章研究了空间力系的平衡问题和物体重心的计算方法。 1、空间力系的平衡问题 (1)力在空间坐标轴上的投影,可采用下列两种方法: 一次投影法 αcos X F F = βc o s Y F F = γc o s Z F F = 二次投影法 ?γcos sin X F F = ?γs i n s i n Y F F = γcos F F Z = (2)力对轴的矩 力对轴的矩,是力使物体绕某固定轴的转动效应的度量,是一个代数量,它的大小可按下列两种方法求解。 将力投影到垂直于轴的平面上,按平面上力对点的矩计算 ()d F F M xy z ±= 将力沿x 、y 、z 轴分解,根据合力矩定理计算。 力与该轴平行或相交时,力对轴的矩为零。 (3)空间力系的平衡方程 空间汇交力系的平衡方程 0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F 空间平行力系的平衡方程 0Z =∑F ()0=∑F M y ()0=∑F M x 空间一般力系的平衡方程 0X =∑F 0Y =∑F 0Z =∑F ()0=∑F M z ()0=∑F M y ()0=∑F M x 2、重 心 (1)重心与形心的概念 物体的重心是物体各微小部分的重力所组成的空间平行力系的合力的作用点。形心是物体几何形状的中心。匀质物体的重心与形心重合。 (2)重心和形心坐标公式 一般物体重心的坐标公式 W W F x F x c ∑?= W W F y F y c ∑?= W W F z F z c ∑?= 匀质物体重心的坐标公式
V Vx x c ∑?= V Vy y c ∑?= V Vz z c ∑?= 匀质薄板重心的坐标公式 A Ax x c ∑?= A Ay y c ∑?= (3)组合法求匀质物体的重心(形心) 分割法 负面积法(负体积法) 二、典型例题解析 工程中许多空间受力问题都可以转化成平面问题。因此,空间力系并非本章的重点内容。本章的重点在于计算物体的重心或平面图形的形心。下面这个类型的例题在教材中没有出现,但在工程实际中常会遇到。 知识点:计算物体的重心或平面图形的形心 例 平面桁架由七根等截面的匀质杆构成,尺寸如图所示。求桁架的重心位置。 解 由于这七根杆都是等截面的匀质杆。因此其重量与杆长成正比,并且每根杆的重心都在其中点。 设每米长杆重为1,则根据式(5-10)即可计算出x C 、y C 之值。根据几何关系 l 1 =3m , l 2 = l 3 = l 6 =2.5m , l 4 = l 7 =2m , l 5 =1.5m 。 l lx W Wx x c ∑∑=∑?= = m m 16 5.235.12235.23325.225.1125.25.2(=+?+?+?++?+?++)() = 1.469 m l ly W Wy y c ∑∑=∑?= = m m 16 155.12235.2375.05.15.25.225.25.25.13=+?+?+?+++?+?)( = 0.938m 三、思考题提示或解答 5-1 力在空间直角坐标轴上的投影和此力沿该坐标轴的分力,它们之间有什么联系与区别? 答:力在空间直角坐标轴上的投影只有大小和正负,它是标量;而力沿坐标轴的分力是矢量,有大小,有方向,其作用效果与作用点或作用线有关。在坐标轴确定的前提下,二者的大小相等。 5-2 已知下列几种情况,试说明力F 的作用线与x 轴的关系: (1)ΣF X =0 M z (F )=0; (2)ΣF X =0 M z (F )≠0; (3)ΣF X ≠0 M z (F )=0。 答:(1)ΣF X =0 M z (F )=0:该力与z 轴平行或位于Oyz 平面内; (2)ΣF X =0 M z (F )≠0:该力与x 轴垂直且不与z 轴相交或平行; (3)ΣF X ≠0 M z (F )=0:该力与z 轴相交且不与x 轴垂直。 5-3 试从空间一般力系的平衡方程,推导出空间汇交力系、空间平行力系、平面一般
工程力学课后习题答案第五章 空间任意力系
第五章 空间任意力系 5.1解:cos 45sin 60 1.22x F F K N == c o s 45c o s 60 0.7 y F F K N == sin 45 1.4z F F K N == 6084.85x z M F m m K N m m ==? 5070.71y z M F m m K N m m ==? 6050108.84z x y M F m m F m m K N m m =+=? 5.2 解:21sin cos sin x F F F αβα=- 1c o s c o s y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 5.3解:两力F 、F ′能形成力矩1M 1M Fa m ==? 11cos 45x M M = 10y M = 11sin 45z M M = 1c o s 4550x M M K N m == ? 11sin 4550100z z M M M M K N m =+=+=? C M m ==?63.4α= 90β= 26.56γ= 5.4 如图所示,置于水平面上的网格,每格边长a = 1m ,力系如图所示,选O 点为简化中心,坐标如图所示。已知:F 1 = 5 N ,F 2 = 4 N ,F 3 = 3 N ;M 1 = 4 N·m ,M 2 = 2 N·m ,求力系向O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题5.4图 解:' 1236R F F F F N =+-=
工程力学课后习题答案第五章空间任意力系
第五章 空间任意力系 解:cos 45sin 60 1.22x F F KN ==o o cos45cos600.7y F F KN ==o o sin 45 1.4z F F KN ==o 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 解:21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 解:两力F 、F ′能形成力矩1M 1502M Fa KN m ==? 11cos 45x M M =o 10y M = 11sin 45z M M =o 1cos 4550x M M KN m ==?o 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=?o 22505C z x M M M KN m =+=?63.4α=o 90β=o 26.56γ=o 如图所示,置于水平面上的网格,每格边长a = 1m ,力系如图所示,选O 点为简化中心,坐标如图所示。已知:F 1 = 5 N ,F 2 = 4 N ,F 3 = 3 N ;M 1 = 4 N·m,M 2 = 2 N·m,求力系向 O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题图
工程力学课后习题答案第五章空间任意力系
第五章空间任意力系 5.1解:cos45sin 60 1.22x F F KN c o s 45c o s 60 0.7 y F F K N sin 45 1.4z F F KN 6084.85x z M F mm KN mm 5070.71y z M F mm KN mm 6050108.84 z x y M F m m F m m K N m m 5.2 解:21sin cos sin x F F F 1c o s c o s y F F 12sin cos z F F F 12sin cos x z M F a aF aF 1sin y M aF 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF 5.3解:两力F 、F ′能形成力矩1 M 1 502M Fa KN m 11cos45x M M 10y M 11sin 45 z M M 1c o s 45 50x M M K N m 11sin 45 50 100z z M M M M KN m 2 2 505C z x M M M KN m 63.4 90 26.56 5.4 如图所示,置于水平面上的网格,每格边长a = 1m ,力系如图所示,选O 点为简化中 心,坐标如图所示。已知:F 1 = 5 N ,F 2 = 4 N ,F 3 = 3 N ;M 1 = 4 N ·m ,M 2 = 2 N ·m ,求力系 向O 点简化所得的主矢 ' R F 和主矩M O 。 题5.4图 解:' 1236R F F F F N
方向为Z 轴正方向 21232248x M M F F F N m 11 2 3 312y M M F F F N m 2 2 14.42O y x M M M N m 56.6333.990 5.5 解: 120,cos30cos300Ax Bx X F F T T 210,sin30 sin30 0Az Bz Z F F T T W 120,60cos3060cos301000 z Bx M T T F 120,3060sin30 60sin301000 x Bz M W T T F 2111 0,0 y M Wr T r Tr 20.78,13Ax Az F KN F KN 7.79, 4.5Bx Bz F KN F KN 1 2 10,5T KN T KN 5.6 题5.6图 2a ,AB 长为2b ,列出平衡方程并求解