(精心整理)空间直线与平面,平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_

D所成的角，

O

D

C

B

A

D

C

P

A

B

又∵112cos cos 452A BB ∠==

，116cos 3

B B B BO BO ∠==， ∴11112

cos 3

2cos cos 26

3

A B

B A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=．

说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的

情况下，用公式21cos cos cos θθθ=?求线面角显得更加方便

变式练习：

已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值

解析：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a ，则3

3

CO a =

， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，

∴3

cos 3

ACO ∠=

，所以，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33．

例2、如图，已知AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成

角的余弦值.

解析：∵AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =

2BC ，D 是BC 中点，

∴PD=

BC 2

7

, PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31

217

cos ==∠AD

PD

PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为

31

217

巩固练习： 1选择题

（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）

即异面直线AB和CD所成角为45

例5、设P是△ABC所在平面M外一点，当P分别满足下列条件时，判断点P在M内的射影的位置．（1）P到三角形各边的距离相等．

（2）P到三角形各顶点的距离相等．

（3）PA、PB、PC两两垂直．

解析：设P在平面M内的射影是O．

（1）O是△ABC的内心；

（2）O是△ABC的外心；

（3）O是△ABC的垂心．

例6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：

（1）A1C⊥平面C1DB于G；

（2）垂足G为正△C1DB的中心；

解析：（1）连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB （正方形的性质），所以 A1C⊥DB．

同理可证A1C⊥BC1．

因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）

（2）因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB 的中心．

（3）在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．

变式练习：

已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：

（1）P，D两点间的距离；

（2）P点到斜边AB的距离．

解析：（1）

（2）作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．

可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．

因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．

注：在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．

【课堂小练】

1、过正方形ABCD 的顶点A 作线段A A ′⊥平面ABCD ，若A A ′=AB ，则平面A ′A B 与平面A ′CD 所成的角度是

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

2、在直二面角α- l-β中,直线m ?α,直线n ?β,且m 、n 均不与l 垂直,则

A. m 与n 不可能垂直,但可能平行

B. m 与n 可能垂直,但不可能平行

C. m 与n 可能垂直,也可能平行

D. m 与n 不可能垂直,也不可能平行

3、设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题:

(1)若//a α,//b α,则//a b .(2)若//a α, //αβ ,则//a β. (3)若αγ⊥, βγ⊥ ,则 //αβ。 其中正确的个数是 A .0 B.1 C.2 D.3

4、一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为：

Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C .0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/2

5、若三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则

A.各格侧棱长相等

B.各侧棱与底面成等角

C.各侧面与底面线等角 D .每组相对棱互相垂直

6、二面角α- l-β的大小为θ，直线a ?α，直线b ?β，设a 与b 所成的角为φ，则下面关系中正确的一个是

A. φ＜θ

B. φ＞θ

C. φ=θ D .以上三种关系均有可能

7、如图,等腰直角△ABC ,沿其斜边AB 边上的高CD 对折,使△ACD 与△BCD 所在的平面垂直,此时∠ACB 等于

A.45° B .60° C.90° D.120°

8、正方形纸片ABCD ,沿对角线AC 对折,使D 点在面ABC 外,这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于

E

F

C 1

B 1

A 1

D 1D A B C

解析：(1)tg ∠AFE =EF AE =2(2)异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为1030

7、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B -DC 1-C 的余弦值是多少?

解析：c os θ＝33

8、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求： （1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角．

解析：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ?中，12,3DB a D B a ==.