2020届四川省五校高三上学期第一次联考数学(文)试题word版含答案

2020届四川省五校高三上学期第一次联考

数学（文）试题

（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．已知集合{}{}|12,|03A x x B x x =-<<=<<，则A B ?=（ ） A ．)3,1(- B ．)0,1(- C ．)2,0( D ．)3,2(

2．已知函数R x x x x x x x f ∈+=,sin )sin 2sin cos 2(cos )(，则)(x f 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为

2π的奇函数 D ．最小正周期为2

π

的偶函数 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3

ln y x = B ．2

y x =- C ． x

y 1

= D ．y x x = 4．已知33

cos(

)25

π?-=，且2π?<，则tan ?为（ ）

A ．43-

B ．43

C ．3

4

- D ．34

5．下列说法中，正确的是（ ）

A ．命题“若b a <，则22bm am <”的否命题是假命题

B ．设βα,为两不同平面，直线α?l ，则“β⊥l ”是 “βα⊥” 成立的充分不必要条件

C ．命题“存在0,2

>-∈x x R x ”的否定是“对任意0,2

<-∈x x R x ” D ．已知R x ∈，则“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件 6．在等比数列{}n a 中，7116a a =，4145,a a +=则

20

10

a a 等于（ ） A ．

23或32 B ．13或1

2

- C ．23 D ．32 7．已知命题1p ：函数x

x

y --=22在R 上为增函数,2p ：函数x

x

y -+=22在R 上为减函数，则在命题

112:q p p ∨； 212:q p p ∧； 213)(:p p q ∨?和)(:214p p q ?∧中，真命题是（ ）

A ．13,q q

B ．23,q q

C ．14,q q

D ．24,q q

8．已知(x)sin(x )(A 0,0,,x )2

f A R π

ω?ω?=+>><

∈在一个周期内的图像如图所示，则(x)y f =的

图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．

A ．先把各点的横坐标缩短到原来的

12倍，再向左平移6π

单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12

π

单位

C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6

π

单位

D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移

12

π

单位 9．函数)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数，0)3(=-f ，则不等式0)(<<-x x x 或 B ．}303|{<<--

10. 设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤??

+≤??+≥?

，则xy 的最大值为（ ）

A ．

252 B ．492

C ．12

D ．14 11．已知m x g x x f x -=+=)2

1

()(),1ln()(2，若对?1x ∈[0，3]，?2x ∈[1，2]，使得)()(21x g x f ≥，

则实数m 的取值范围是（ ） A ．[

41，＋∞） B ．（－∞，41] C ．[21，＋∞） D ．（－∞，－2

1] 12．已知函数()x

F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若

(]0,2x ?∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A

．(,-∞ B

．(

-∞ C

．(

0, D

．()

+∞

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．若{U n n =是小于9的正整数},{A n U n =∈是奇数}，={U B n n ∈是3的倍数}，则

(A B )U C ?= ．

14．若533sin )6

cos(=

-+

απ

α，则)6

5sin(π

α+＝ ．

15．数列{a }n 满足+1=3a 1n n a +，且11a =，则数列{a }n 的通项公式n a = ．

16．已知曲线ln y x x =+在点)1,1(处的切线与曲线()2

21y ax a x =+++相切，则a = ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos cos C

A =

． （1）求角A 的值；

（2）若,6

B B

C π

∠=

边上中线AM =ABC ?的面积．

18．某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：

（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；

（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．

19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，E 是PC 的中点．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB ； （Ⅱ）求三棱锥A-BDP 的体积．

20．已知P 为圆8)1(:2

2

=++y x A 上的动点，点()1,0B ，线段PB

的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ. （1）求曲线Γ的方程；

（2）当点P 在第一象限，且cos 3

BAP ∠=时，求点M 的坐标． 21．已知函数(x)(x k)e (k R)x

f =-∈． （1）求(x)f 的单调区间和极值； （2）求(x)f 在[]1,2x ∈上的最小值；

（3）设(x)(x)g f =+(x)'f ，若对?35,22k ??∈?????

及[]0,1x ∈有(x)g λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．

请考生在22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分。 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C

的参数方程为2cos x y θ

θ

=???

=??（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立

极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=.

（1）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；

（2）已知N M ,分别为曲线1C 的上，下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PM PN +的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知(x)211f x x =--+

（1）求(x)f x >的解集；（2）若14

1,,(0,),21a b a b x a b

+=?∈+∞+≥-对-1+x 恒成立，求x 的取值范围．

2020届四川省五校高三上学期第一次联考

数学（文）试题参考答案

AADCB ACBDA AB 13. {2,4,8} 14.

5

3 15. 1

(31)2n n a =- 16. 8

17.（1）

23cos

cos 3b c C A a -=,∴由正弦定理，得cos cos C A =

，

cos 26

A A π

∴=

=． ……………6分 （2）

2,6

3

B C A B π

π

π∠=

∴=--=

，可知ABC ?为等腰三角形，在ABC ?中，由余弦定理，得2222cos120AM AC MC AC MC =+-??，即

2

2

72cos120222b b b b b ??

=+-????∴= ???

……………10分

ABC ?的面积21

sin 2

S b C == ……………12分

18.（1）依题中的数据可得：()()11

4579107,56789755

x x =++++==+++++=甲乙

()()()()()222222

147577797107 5.25s ??=-+-+-+-+-=?

?甲

()()()()()22222222

1576777879725s x x s s ??=-+-+-+-+-==>??乙甲乙甲乙

， ∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大． ……………6分

（2）设事件A 表示：该车间“质量合格”，则从甲，乙两种各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为()()()()()()()()()()()()()()()4,5,4,6,4,7,4,8,4,9,5,5,5,6,5,7,5,8,5,9,7,5,7,6,7,7,7,8,7,9

()()()()()()()()()()9,5,9,6,9,7,9,8,9,9,10,5,10,6,10,7,10,8,10,9，共25种，

事件A 包含的基本事件有17种．

()1725

P A ∴=

，即该车间“质量合格”的概率为17

25． ……………12分

19.证明：（Ⅰ）连接交

于

，连接

∴是正方形 ∵

是

中点．又

是中点，

∴∥，又∵平面，平面，

∥平面 ……………6分

（Ⅱ）

……………12分

20.（1）圆A 的圆心为()1,0A -，半径等于，由已知MB MP =于是

MA MB MA MP +=+=，

故曲线Γ是以,A B 为焦点，以1,1a b c ===

故曲线Γ的方程为2

212

x y +=． ……………6分

（2）由点P 在第一象限，cos ,3BAP AP ∠=

=5,

33P ?? ? ???

于是直线AP 方程为()14

y x =

+. ……………10分 代入椭圆方程，消去y 可得212752701,5

x x x x +-=∴==-

由于点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为1,2??

? ???

． ……………12分

21.（1）()(1)e x

f x x k =-+ 由'

()0f x =得1x k =-；当1x k <-时，(x)0f <；当1x k >-时

(x)0f >；∴()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，

1(x)=(1)k f f k e --=-极小值，无极大值； ……………4分

（2）当11<-k 即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()=(1)(1k)e;f x f =-最小值当

123k k -≥≥即时，(x)f 在[1,2]上递减∴2()=(2)(2)e f x f k =-最小值；当112k <-<即23k <<时，(x)f 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -递增，∴1(x)=(1)k f f k e --=-最小值；

……………8分

（3）(x)(221)x

g x k e =-+ ∴'

(x)(223)e x

g x k =-+，由'

(x)0g =得32x k =-

，当3

2

x k <-时，'(x)0g <；当32x k >-时'(x)0g >，∴(x)g 在3(,)2k -∞-递减，在（3

,2

k -+∞）递增，故

32

3

(x)=()22

k g g k e --=-最小值，又∵

[]

353,0,1222k k ??

∈∴-∈????

，∴当

[]0,1

x ∈时，32

3

(x )=(k )2e 2

最小值

--=-k g g ，∴(x )g λ≥对?[]0,1x ∈恒成立即等价于3

2

(x)=-2e

;k g λ-

≥最小值又

3

2

(x)=-2k g e

λ-

≥最小值 对 ?35,22k ??

∈????

恒成立．∴3

2min (2)k e λ--≥，故2e λ≤-． (12)

分

22（1）由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，

CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,．

CGF ?∴∽CDE ?．CG

CD

GF DE =

∴

．

又 4,1==CD CG ，∴． ……………4分

（2）因为为切线，为割线，

，

又因为，所以

，．

所以

AD AC

AC AE

=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠， 所以

//

． ……………10分

23.（1）曲线1C 的普通方程为22

143

x y +=，曲线2C 的普通方程为224x y +=………4分 （2）方法一：由曲线2:C 22

4x y +=，可得其参数方程为2cos sin x y α

α

=??

=?，所以P 点坐标为()2cos ,2sin αα

由题意可知((,0,M N ，因此

PM PN +=

=()

2

14PM PN +=+

所以当sin 0α=时，()

2

PM PN

+有最大值28．

因此PM PN +的最大值为

方法二：设点(),P x y ，则2

2

4x y +=

，由题意可知(

(,0,M N ．

因此

PM PN +=

=

()

2

14PM PN +=+0y =时，()

2

PM PN +有最大值28．

因此PM PN

+的最大值为 ……………10分

24.（1）(x)211=--+f x x 当1x <-时，(x)x f >得121,x x x -++>即得1x <-；当1

12

x -≤≤

时，(x)x f >得121,x x x --->即10x -≤<；当1

2

x >

时，(x)x f >得21(x 1)x x --+>，得-2>0无解；综上0x <，所以(x)x f >的解集为{}0x x <． ……………4分

（2）∵2,x 11()3,1,212,x 2

x f x x x x ?

?-+<-?

?

=--≤≤??

?

->??如图：

又∵,(0,),a b ∈+∞且1a b +=，所以

14144()(a b)5()b a

a b a b a b +=++=+

+59≥+=，当且仅当4b a a b =时等号成立，即12,33a b ==．由14

211x x a b

+≥--+恒成立，∴2119x x --+≤，结合图像知：711x -≤≤，∴x 的取值范围是：[-7,11].

……………10分