初中数学解直角三角形题型大全
第11关 解直角三角形（讲义部分）
知识点1 解直角三角形
1.已知一边一角
（1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠
,sin A c a =A c B c b cos sin ==
（2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠
,tan B a b =A a c sin =
2.已知两边
（1）已知两直角边b a ,，解法：由b
a
A =
tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠ A b
A a c cos sin =
=
（2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由
c a
A =sin 求出A ∠，,90A
B ∠-=∠
A c
B c b cos sin ==
解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念.
题型1 解直角三角形
【例1】如图，AD 是ABC ∆的中线，1
tan 3
B =，cos
C =，AC =
（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．
【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，
cos C =
， 45C ∴∠=︒，
在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，
在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即1
3
AE BE =，
33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=；
（2）AD 是ABC ∆的中线，
1
22
CD BC ∴==，
1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，
sin ADC ∴∠．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注 意锐角三角函数的概念的正确应用．
【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，CD =，3BD =． （1）求sin CBD ∠的值； （2）若3AB =，求AD 的长．
【解答】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，
在Rt CED ∆中，
45,C CD ∠=︒，
1CE DE ∴==，
在Rt BDE ∆中，1
sin 3
DE CBD BD ∠=
=； （2）过点D 作DF AB ⊥于点F ， 则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形BEDF 是矩形，
1DE BF ∴==， 3BD =，
∴DF =2AF AB BF ∴=-=，
∴AD =
【点评】本题考查了锐角三角函数及矩形、等腰三角形的知识．构造直角三角形和矩形，利用锐
角三角函数是解决本题的关键．
【例3】如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，D 是AC 上一点，若1tan 3
DBA ∠=． （1）求AD 的长； （2）求sin DBC ∠的值．
【解答】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H ，
ABC ∆为等腰直角三角形，90C ∠=︒，
45A ∴∠=︒，8AC BC ==， AH DH ∴=，
设AH x =，则DH x =
1tan 3
DBA ∠=
， 3BH x ∴=， 4AB x ∴=，
由勾股定理可知：AB
x ∴=
由勾股定理可得，4AD ==；
（2）
4AD =，
4DC AC AD ∴=-=，
由勾股定理得，DB =
sin
CD DBC BD ∴∠=
==
【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
【例4】如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36α∠=︒，求长方形卡片的周长．（精确到1)mm （参考数据：sin360.60︒≈，
cos360.80︒≈，tan360.75)︒≈
【解答】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．
1801809090,
90,36.
DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=︒-∠=︒-︒=︒∠+∠=︒∴∠==︒
根据题意，得24BE mm =，48DF mm =． 在Rt ABE ∆中，sin BE
AB
α=， ∴24
40sin360.60
BE AB mm =
==︒
在Rt ADF ∆中，cos DF
ADF AD
∠=， ∴48
60cos360.80
DF AD mm =
==︒．
∴矩形ABCD 的周长2(4060)200mm =+=．
【点评】本题考查矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．
【例5】阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60D ∠=︒
，AB =
BC AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt ADE ∆，经过推理
和计算能够使问题得到解决（如图2)． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题： 如图3，四边形ABCD 中，1
tan 2
A =
，135B C ∠=∠=︒，9AB =，3CD =，求BC 和AD 的长．
【解答】解：（1）延长AB 与DC 相交于点E ，
在ADE ∆中，
90A ∠=︒，60D ∠=︒，
30E ∴∠=︒．
在Rt BEC ∆中，
90BCE ∠=︒，30E ∠=︒
，BC =
2BE BC ∴==
AE AB BE ∴=+==
在Rt ADE ∆中，
90A ∠=︒，30E ∠=︒，AE =
tan 6AD AE E ∴=∠==． 故答案为6；
（2）如图，延长AB 与DC 相交于点E ．
135ABC BCD ∠=∠=︒， 45EBC ECB ∴∠=∠=︒， BE CE ∴=，90E ∠=︒．
设BE CE x ==，则BC =，9AE x =+，3DE x =+． 在Rt ADE ∆中，90E ∠=︒，
1
tan 2
A =，
∴
12DE AE =，即31
92
x x +=+， 3x ∴=．
经检验3x =是所列方程的解，且符合题意，
BC ∴=12AE =，6DE =，
AD ∴=
【点评】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键．
【例6】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 和点
D ，已知:2BD CD =
（1）求ADC ∠的度数；
（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15︒的值（结果保留根号）．
【解答】解：（1）连接AD ，如图．
设2BD k =，则CD =．
DE 垂直平分AB ， 2AD BD k ∴==． 在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，
cos CD ADC AD ∴∠=
==
， 30ADC ∴∠=︒；
（2）AD BD =， B DAB ∴∠=∠．
30ADC ∠=︒，B DAB ADC ∠+∠=∠， 15B DAB ∴∠=∠=︒． 在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，
∴AC k ．
在Rt ABC ∆中
90C ∠=︒，
∴tan 2
AC B BC ===-
∴tan152︒=-
【点评】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条 件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．
知识点2 解直角三角形综合
题型2 解直角三角形综合
【例7】如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路1l 成30︒角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
【解答】解：过B 点作1BE l ⊥，交1l 于E ，CD 于F ，2l 于G ．
在Rt ABE ∆中，1
sin302010BE AB km =︒=⨯=，
在Rt BCF ∆中，cos3010BF BC =÷︒=，
201sin30CF BF =︒==，
(30DF CD CF km =-=，
在Rt DFG ∆中，1sin30(30(152FG DF km =︒=⨯=，
(25EG BE BF FG km ∴=++=+．
故两高速公路间的距离为(25km +．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题 转化为数学问题加以计算．
【例8】如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离75OA =厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB AO ⊥，37AOB ACB ∠=∠=︒，且支架长OB 与桌面宽BC 的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC ．（参考数据sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈
【解答】解：延长CB 交AO 于点D ．
CD OA ∴⊥，
设BC x =，则75OB x =-，
在Rt OBD ∆中，cos OD OB AOB =∠，sin BD OB AOB =∠， (75)cos370.8(75)600.8OD x x x ∴=-︒=-=-，
(75)sin370.6(75)450.6BD x x x =-︒=-=-， 在Rt ACD ∆中，tan AD DC ACB =∠，
(450.6)tan370.75(0.445)0.333.75AD x x x x ∴=+-︒=+=+， 75AD OD OA +==，
0.333.75600.875x x ∴++-=， 解得37.5x =． 37.5BC ∴=；
故小桌板桌面的宽度BC 约为37.5cm ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．
【例9】如图， 望湖公园装有新型路灯， 路灯设备由灯柱AC 与支架BD 共同组成 （点C 处装有安全监控， 点D 处装有照明灯） ，AC 与地面垂直，BC 为 1.5 米，BD 为 2 米，AB 为 7 米，60CBD ∠=︒，某一时刻， 太阳光与地面的夹角为37︒，求此时路灯设备整体在地面上的影长为多少？
（参 考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75)︒≈
【解答】解： 如图， 过点D 作光线的平行线， 交地面于点G ，交射线AC 于点F ，过点D 作 DE AF ⊥于点E ，
在Rt DBE ∆中， 60CBD ∠=︒， 30BDE ∴∠=︒， 2BD =，
sin301BE BD ∴=︒=，cos30DE BD =︒， 在Rt FED ∆中， 37AGF ∠=︒， 37EDF ∴∠=︒，
tan37EF ED ∴=︒=， 7AB =，
718AF AB BE EF ∴=++=++=． 33874
+>，
∴此时的影长为AG ．
在Rt AFG ∆中，32
tan373
AF AG ==︒
答： 此刻路灯设备在地面上的影长为32
(3
米 ．
【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数、三角形内角和定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
第11关 解直角三角形（题册部分）
【课后练1】如图，在Rt ABC ∆中，设a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，90C ∠=︒，8b =，
A ∠
的平分线AD =
B ∠，a ，c 的值．
【解答】解：
90C ∠=︒，8b =，A ∠
的平分线AD
cos AC CAD AD ∴∠=
==
30CAD ∴∠=︒， 60CAB ∴∠=︒， 30B ∴∠=︒，
216c b ∴==
，tan30b a =
==︒，
即30B ∠=︒
，a =16c =．
【课后练2】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点E 和点D ，且2BD AC =． （1）求B ∠的度数．
（2）求tan BAC ∠（结果保留根号）．
【解答】解：（1）连接AD ．
DE 垂直平分线段AB ， DA DB ∴=， B DAB ∴∠=∠， 2BD AC =， 2AD AC ∴=， 90C ∠=︒， 30ADC ∴∠=︒，
ADC DAB B ∠=∠+∠， 15B ∴∠=︒．
（2）设AC a =，则2AD BD a ==
，CD =
，2BC a =+，
tan 2BC BAC AC ∴∠=
=
【课后练3】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，5AC =，3cos 5C =
，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；
（2）求ABC ∆的面积．
【解答】解：（1）AD BC ⊥，
90ADC ADB ∴∠=∠=︒． 在Rt ACD ∆中，5AC =，3cos 5
C =， cos 3C
D AC C ∴==， 4AD AC ∴=-=．
（2）45B ∠=︒，90ADB ∠=︒，
9045BAD B ∴∠=︒-∠=︒，
B BAD ∴∠=∠，
4BD AD ∴==， 114(43)1422
ABC S AD BC ∆∴==⨯⨯+=．
【课后练4】如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH 上，除D 点外，其他顶点均在矩形EFGH 的边上．50AB cm =，40BC cm =，55BAE ∠=︒，求EF 的长．参考数据：sin550.82︒=，cos550.57︒=，tan55 1.43︒=．
【解答】解：在直角三角形ABE 中，50AB cm =，55BAE ∠=︒，
sin 50sin55500.8241BE AB BAE ∴=∠=︒=⨯=．
ABCD 是矩形，
55CBF BAE ∴∠=∠=︒，
∴在直角三角形BCF 中，40BC cm =，55CBF ∠=︒，
cos 40cos55400.5722.8BF BC CBF ∴=∠=︒=⨯=．
4122.863.8EF BE BF ∴=+=+=．
所以EF 的长为63.8cm ．
【课后练5】某片绿地形状如图所示，其中AB BC ⊥，CD AD ⊥，60A ∠=︒，200AB m =，
100CD m =，求AD 、BC 的长．（精确到1m 1.732)≈
【解答】解：如图，延长AD ，交BC 的延长线于点E ，
在Rt ABE ∆中，
200AB m =，60A ∠=︒，
tan BE AB A ∴==，
400cos60AB AE m =
=︒
， 在Rt CDE ∆中，
100CD m =，9030CED A ∠=︒-∠=︒，
2200CE CD m ∴==，
tan CD DE CED
==∠，
400227AD AE DE m ∴=-=-≈，
200146BC BE CE m =-=-≈．
答：AD 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．
【课后练6】如图，河的两岸1l 与2l 相互平行，A 、B 是1l 上的两点，C 、D 是2l 上的两点，某人在点A 处测得90CAB ∠=︒，30DAB ∠=︒，再沿AB 方向前进20米到达点E （点E 在线段AB 上），测得60DEB ∠=︒，求C 、D 两点间的距离．
【解答】解：过点D 作1l 的垂线，垂足为F ，
60DEB ∠=︒，30DAB ∠=︒，
30ADE DEB DAB ∴∠=∠-∠=︒，
ADE ∴∆为等腰三角形，
20DE AE ∴==，
在Rt DEF ∆中，1cos6020102
EF DE =︒=⨯=， DF AF ⊥，
90DFB ∴∠=︒，
//AC DF ∴，
由已知12//l l ，
//CD AF ∴，
∴四边形ACDF 为矩形，30CD AF AE EF ==+=，
答：C 、D 两点间的距离为30m ．
初中数学专题解直角三角形专项练习(含答案)
解直角三角形专项练习(含答案) 一、 填空题： 1. （广东03/6）若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. （陕西03/12）在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝21 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 60cos 4522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. （宁夏03/19）在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米， 那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米。 5. （上海闵行区03/14）已知等腰三角形的周长为20，某一内角 的余弦值为 3 2，那么该等腰三角形的腰长等于 。 6. （黑龙江03/10）如图：某同学用一个有60°角的直角三角板 估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米，3取1.732） 7. （四川03/3）如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且 BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. （上海03/13）正方形ABCD 的边长为1。如果将线段BD 绕着点 B 旋转后，点D 落在B C 延长线上的点 D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. （四川03/8）在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. （黄冈03/9）在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. （扬州03/11）为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得 楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为（ ） E D C B A 四川03/3 D A B C α
2020年九年级数学中考复习题型 解直角三角形(带答案)
解直角三角形 题型一 利用勾股定理求面积 例 1.在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ∆的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．10 【解析】根据勾股定理得到225AD AE DE =+=，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【答案】解：在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =， 225AD AE DE ∴=+=， 四边形ABCD 是正方形， ∴正方形ABCD 的面积22525AD ===， 故选：B ． 变式训练1.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( ) A ．24 B ．56 C ．121 D ．100 【解析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知： E F G S S S =+ A B C D S S S S =+++ 100=； 即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100； 故选：D ．
题型二 勾股定理逆定理的应用 例2-1.在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( ) A ．4a =，5b =，6c = B ．::5:12:13a b c = C ．2a =，3b =，5c = D ．4a =，5b =，3c = 【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【答案】解：A .222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B .设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C .(22)(+23)(=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D .222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A ． 例2-2.如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC ∠=︒． （1）连结AC ，求AC 的长； （2）求ADC ∠的度数； （3）求出四边形ABCD 的面积 【解析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据三角形的面积公式解答即可．
初中数学解直角三角形题型大全
第11关 解直角三角形（讲义部分） 知识点1 解直角三角形 1.已知一边一角 （1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠ο ,sin A c a =A c B c b cos sin == （2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠ο ,tan B a b =A a c sin = 2.已知两边 （1）已知两直角边b a ,，解法：由b a A = tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠οA b A a c cos sin = = （2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由 c a A =sin 求出A ∠，,90A B ∠-=∠ο A c B c b cos sin == 解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念. 题型1 解直角三角形 【例1】如图，AD 是ABC ?的中线，1 tan 3 B =，cos C =，AC = （1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值． 【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ， cos C = Q ， 45C ∴∠=?， 在Rt ACE ?中，cos 1CE AC C ==g ， 1AE CE ∴==， 在Rt ABE ?中，1tan 3B =，即1 3 AE BE =， 33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=； （2）AD Q 是ABC ?的中线， 1 22 CD BC ∴==， 1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥Q ，DE AE =， 45ADC ∴∠=?， sin ADC ∴∠．
中考数学考点分类复习——解直角三角形
2021中考数学考点分类复习——解直角三角形 一、选择题 1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA= 5 12 ，则sinA=（ ） A ．1213 B 、512 C 、135 D 、513 2．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m ，250 m ，200 m ；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ） A.甲的最高 B.乙的最低 C.丙的最低 D.乙的最高 3.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA =5 13 ，则cos A 的值为( ) A. 5 12 B. 8 13 C. 2 3 D. 1213 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的正弦值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c= sin a A B ．c=cos a A C ．c=a ·tanA D ．以上都不是 6．在△ABC 中，若tanA=1，sinB= 2 2 ，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 7．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ）
A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 8. 某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45∘，再往摩天轮的方向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60∘．问摩天轮的高度AB 约是（）米（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73） A.120 B.117 C.118 D.119 9. 如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图（其中ABCD是矩形）．设∠ADO=α，彩电后背AD与前沿BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（） A.(60+100sinα)cm B.(60+100cosα)cm C.(60+100tanα)cm D.(60−100sinα)cm 10.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°.将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△AˈBCˈ.此时恰好点C在AˈCˈ上，AˈB交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为
中考数学关于解直角三角形的18道经典题
中考数学关于解直角三角形的18道经典题 1、如图，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°， 此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 解：延长CD 交AB 于G ，则CG=12（千米）依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米） 在Rt △PCD 中： PC=3，∠P=60° CD=PC ·tan ∠P =3×tan60° =33 ∴12-CD=12-33≈6.8（千米） 答：这座山的高约为6.8千米. 2、如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据: 414.12≈,732.13≈). 答案：(10分)解：过Ｂ作BE ⊥AD 于E 在Rt △ABE 中,∠BAE= 60, ∴∠ABE= 30 ∴AE ＝2 1 ＡＢ31032021=⨯= ∴BE ()() 303103202 2 2 2 =-= -= AE AB ∴在Rt △BEF 中, ∠Ｆ＝ 45, ∴EF ＝BE ＝30 ∴ＡＦ＝ＥＦ－ＡＥ＝３０－310 ∵732.13=， ∴AF ＝12.68≈13 3、施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两 棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． 参考数据 cos20° ≈0.94， sin20° ≈0.34， sin18° ≈0.31， cos18°≈0.95 A B 12千米P C D G 60°
解直角三角形的应用题型
解直角三角形的应用题型 直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。下面列举一些常见的直角三角形应用题型。 1. 求斜边长 已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。 例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。 解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。 2. 求角度 已知直角三角形两个角度，求第三个角度。由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。 例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。 解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。 3. 求高
已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。 例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。 解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。 4. 求面积 已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。 例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。 解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。 以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。
解直角三角形经典题型应用题
解直角三角形经典题型应用题 1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？ 解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到： $x^2 + 3^2 = 2^2$ 化简得： $x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$ 由于x是高度，因此应该为正数。但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！ 2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？ 解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{h}{50}$ 化简得： $h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx
28.87$ 因此，这个高楼的高度约为28.87米。 3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？ 解：设河宽为w，根据三角函数，得到： $tan(45) = \frac{w}{20}$ 化简得： $w = 20\times tan(45) = 20$ 因此，河宽为20米。 4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？ 解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。又根据三角函数，得到： $tan(30) = \frac{3x}{y}$ $tan(60) = \frac{2x}{y}$
初中数学解直角三角形的计算题目
初中数学解直角三角形的计算题目直角三角形是初中数学中的一个重要概念，解直角三角形的计算题 目是培养学生计算能力和几何思维逻辑的一种训练方式。本文将以实 例的形式，逐步介绍解直角三角形计算题目的步骤和方法。 【实例一】 已知一个直角三角形，其中直角边长为3cm，斜边长为5cm，求另 一直角边的长度。 解答： 根据勾股定理，直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。设 另一直角边的长度为x，则有： x^2 + 3^2 = 5^2 x^2 + 9 = 25 x^2 = 16 x = 4 所以，另一直角边的长度为4cm。 【实例二】 已知一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为7cm和24cm，求斜边的长度。 解答：
同样利用勾股定理，设斜边的长度为x，则有： 7^2 + 24^2 = x^2 49 + 576 = x^2 625 = x^2 x = 25 所以，斜边的长度为25cm。 【实例三】 已知一个直角三角形，其中斜边的长度为10cm，另一直角边的长度为6cm，求直角边的长度。 解答： 根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。设另一直角边的长度为x，则有： 6^2 + x^2 = 10^2 36 + x^2 = 100 x^2 = 64 x = 8 所以，另一直角边的长度为8cm。 通过以上三个实例，我们可以总结出解直角三角形计算题目的一般步骤：
Step 1: 根据题目给出的已知条件，确定直角边、斜边的长度。 Step 2: 利用勾股定理，建立方程，求解另一直角边或斜边的长度。 Step 3: 根据方程求解的结果，得出答案。 在解直角三角形计算题目中，我们主要应用了勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方。这是因为直角三角形中，直角边与斜边的关系是固定的，通过勾股定理我们可以方便地求解未知边的长度。 此外，还可以在解题过程中运用一些几何知识，如三角形的内角和为180度等，来辅助解题。 通过反复练习解直角三角形计算题目，可以提高学生的计算能力、思维逻辑和几何观察能力，有利于培养学生的数学素养和解决实际问题的能力。 总之，在解直角三角形计算题目时，我们需要注意题目给出的已知条件，运用勾股定理建立方程，并通过求解方程得出结果。同时，灵活运用几何知识，培养学生的数学思维和解题能力。
初中数学解直角三角形的应用题型大全
第12关 解直角三角形的应用（讲义部分） 知识点1 坡角、坡度 题型1 坡角、坡度 【例1】如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，求AC 的长度． 【解答】解：过点B 作BD AC ⊥于D ， 根据题意得：23060()AD cm =?=，18354()BD cm =?=， Q 斜坡BC 的坡度1:5i =， :1:5BD CD ∴=， 5554270()CD BD cm ∴==?=， 27060210()AC CD AD cm ∴=-=-=． AC ∴的长度是210cm ． 答：AC 的长度为210cm ． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题，难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数 形结合思想的应用与辅助线的作法． 【例2】在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横 截面为等腰梯形，如图，//AD BC ，坝高10m ，迎水坡面AB 的坡度5 3 i = ，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行 修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度5 6 i =． （1）求原方案中此大坝迎水坡AB 的长（结果保留根号）； （2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7m ，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米？
【解答】解：（1）过点B 作BF AD ⊥于F ． 在Rt ABF ?中，5 3 BF i AF = =Q ，且10BF m =． 6AF m ∴=，AB =． 答：此大坝迎水坡AB 的长是； （2）过点E 作EG AD ⊥于G ． 在Rt AEG ?中，Q 5 6 EG i AG ==，且10EG BF m == 12AG m ∴=， 6AF m =Q ， 6BE GF AG AF m ∴==-=， 如图，延长EC 至点M ，AD 至点N ，连接MN ， Q 方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．ABE CMND S S ?=梯形， ∴11 ()22 BE EG MC ND EG = +g g g 即BE MC ND =+． 6 2. 7 3.3()DN BE MC m =-=-=． 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3m ． 【点评】本题考查直角三角形应用，（1）过点B 作BF AD ⊥于F ，在直角三角形ABF 中从而 解得AF ，AB 的长度；（2）作辅助线，由ABE CMND S S ?=梯形，解方程组得到ND ． 【例3】如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=?，在距A 点10米处有一建筑物HQ ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=?，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下HD 长的人行道，问人行道HD 的长度是( )米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： 1.414≈ 1.732)≈ A ．2.7 B ．3.4 C ．2.5 D ．3.1 【解答】解：根据题意可知： 90CBA ∠=?，45CAB ∠=?， 45ACB ∴∠=?， 10AB CB ∴==， 10AH =， 设DH x =，则10AD AH DH x =-=-，
2019-2020年九年级数学中考专题练习 解直角三角形50题(含答案)
2019-2020年九年级数学中考专题练习解直角三角形50题（含答案） 一、选择题： 1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑 物的高CD为( ) A.20米 B.10 米 C.15 米 D.5 米 2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（） A. B. C. D. 3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（） A.45° B.1 C. D.无法 确定 4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（） A.sinA的值越大，梯子越陡 B.cosA的值越大，梯子越陡 C.tanA的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与∠A的函数值无关 5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（） A.大于 B.小于 C.大于 D.小于 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D.
7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能， 准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（） A.2m B.2m C.(2﹣2)m D.(2﹣2)m 8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测 得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上， 则A，B之间的距离是( ) A.10海里 B.(10－10)海里 C.10海里 D.(10－10)海里 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（） A. B. C. D. 10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上 铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（） A.米2 B.米2 C.（4+）米2 D.（4+4tanθ）米2 11.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（） Ａ.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（） A.0.4 B. C.0.6
初中数学解直角三角形练习
初中数学解直角三角形练习 一、选择题 1．△ABC 中，AB=AC ，且AB=10，BC=12，则sin ∠ABC=（ ） A ． B ． C ． D ． 2．在Rt △ABC 中∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，c ＝3a ，tanA 的值为（ ） A ．13 B ．24 C ．2 D ．3 3．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ） A ．cos43°＞cos16°＞sin30° B ．cos16°＞sin30°＞cos43° C ．cos16°＞cos43°＞sin30° D ．cos43°＞sin30°＞cos16° 4．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切函数值（ ） A ．缩小为原来的12 B ．不变 C ．扩大为原来的2倍 D ．扩大为原来的4倍 5．在下列直角三角形中不能求解的是（ ） A ．已知斜边，一锐角 B ．已知两边 C ．已知两角 D ．已知一直角边，一锐角 6.等腰ABC 的底角是30，底边长为23，则ABC 的周长为（ ）A ． 423+ B ． 436+ C ． 63 D ．1?03 7.若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60° 8.在平面直角坐标系中，已知点()0,0O 、()2,0A ，点P 是线段OA 的中点，将OA 绕点O 逆时针旋转30，记点P 的对应点为点Q ，则点Q 的坐标是（ ）． A ．3122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．13,22⎛-- ⎝⎭ C ．3122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．13,22⎛ ⎝⎭ 二．填空题：
初中数学解直角三角形习题
解直角三角形练习题 一、填空题 1、如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则sin （900 - α）＝_____________. 2、32 可用锐角的余弦表示成__________. 3、在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，若AC ＝4， BD ＝7，则sinA ＝ ， tanB ＝ . 4、若α为锐角，tan α＝2 1，则sin α＝ ，cos α＝ . 5、当x ＝ 时，x x x x cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900 ） 6、求值：=︒⨯︒45cos 2 260sin 21 . 7、如图：一棵大树的一段BC 被风吹断，顶端着地与地面成 300角，顶端着地处C 与大树底端相距4米，则原来大树高 为_________米. 8、已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦值为_______. 9、如图：有一个直角梯形零件ABCD 、AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10cm ，∠D ＝120°，则该零件另一腰AB 的长是__________cm. 10、已知：tanx=2 ，则sinx+2cosx 2sinx －cosx ＝____________. 二、选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是（ ） A. 1515 B. 13 C. 14 D. 154 2、已知△ABC 中，∠C=90°，tanA ·tan 50°＝1，那么∠A 的度数是（ ） A. 50° B. 40° C. ( 150 )° D. (140 )° 3、已知∠A+∠B=90°,且cosA =15 ，则cosB 的值为( )
(黄金题型)初中数学专项练习《解直角三角形》100道选择题包含答案
初中数学专项练习《解直角三角形》100道选择 题包含答案 （时间：60分钟满分：100分） 班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、选择题(共100题) 1、如图，为了测量河对岸l 1 上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在 河这边沿着与AB平行的直线l 2 上取C、D两点，测得∠ACB=15°， ∠ACD=45°，若l 1、l 2 之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（） A.50m B.25m C.（50﹣）m D.（50﹣25 ）m 2、如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA=（） A. B. C. D. 3、已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（） A.α=β； B.α＋β=90°； C.α－β=90°； D.β－ α=90°． 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（）
A. B. C. D. 5、在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（） A. B. C. D. 6、在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A= ,则∠B的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 7、小明沿着与地面成30°角的坡面向下走了2米,那么他下降了( ) A.1米 B. 米 C.2 米 D. 米 8、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，cosA=，则AC等于（) A.36 B. C.4 D. 9、若将30°、45°、60°的三角函数值填入表中，则从表中任意取一个值，是的概率为（） α30°45°60° sinα cosα tanα A. B. C. D. 10、河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（）
初中数学专项练习《解直角三角形》100道选择题包含答案
初中数学专项练习《解直角三角形》100道选择题包含答案 一、选择题(共100题) 1、如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（） A.8° B.10° C.12° D.15° 2、如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为（） A.（50 +152）米 B.（52 +150）米 C.（50 +150） 米 D.（52 +152）米 3、由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形，已知一个直角三角形中：①两条边的长度，②两个锐角的度数，③一个锐角的度数和一条边的长度．利用上述条件中的一个，能解这个直角三角形的是（） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AB＝10，则直角边BC的长是 （） A.10sin40° B. 10cos40° C.10tan40° D. 5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）
A. B. C. D. 6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（） A.2 B. C. D.1 7、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则cosA的值是（） A. B. C. D. 8、等腰三角形两边长为3和6，则周长为（） A.12 B.15 C.12或15 D.无法确定 9、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（） A. B. C. D.
初中数学专项练习《解直角三角形》100道计算题包含答案(全国通用)
初中数学专项练习《解直角三角形》100道计算题包含答案 一、计算题(共100题) 1、先化简再求值：其中. 2、计算：|﹣|+ ﹣4sin45°﹣． 3、先化简，再求值：，其中a=2sin60°+3tan45°． 4、计算 5、先化简，再求值： ÷（﹣x﹣3），其中x=sin45°﹣4cos60°． 6、先化简再求值：÷（a﹣），其中a＝2cos30°+1，b＝tan45°． 7、计算：| ﹣2|+3tan30°+（）﹣1﹣（3﹣π）0﹣． 8、计算：． 9、计算：|﹣2|+2﹣1﹣cos60°﹣（1﹣）0． 10、计算：2cos230°﹣sin30°+ ． 11、计算：（﹣）﹣1+3tan30°﹣+（﹣1）2016． 12、计算： 13、计算：4sin45°+3tan230°- .
14、计算：﹣4cos45°+（）﹣1+|﹣2|． 15、计算：4cos30°+（π﹣1）0﹣+| ﹣2|． 16、先化简，再求值：（﹣）÷ ，其中x=2sin30°+2 cos45°． 17、计算: 18、计算：-2|+ 3 tan 30 ° - 2 cos 45 ° ． 19、计算：. 20、先化简，再求值：，其中． 21、计算：（π﹣3.14）0﹣| sin60°﹣4|+（）﹣1． 22、计算： 23、计算：2sin45°+| |﹣（π﹣2016）0+（）﹣2． 24、先化简，再求值：，其中. 25、计算：3tan30°﹣（﹣）﹣1+20190+| ﹣2|． 26、计算：|﹣2 |+（﹣1）0﹣4sin60°﹣（﹣2）2. 27、计算：20150﹣3tan30°+（﹣）﹣2﹣| ﹣2|． 28、计算：
(全优)初中数学专项练习《解直角三角形》100道选择题包含答案
初中数学专项练习《解直角三角形》 100道选择题包含答案 一、选择题(共100题) 1、在直角坐标平面内有一点P（3，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是（） A.tanα= B.cotα= C.sinα= D.cosα= 2、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，则BC的长为（） A.2 B.6 C.8 D.10 3、如图，在矩形ABCD中，AD=3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（） A.3 B.2 C.3 D.6 4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（） A. B. C. D. 5、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）
A.∠ C=∠ A+∠ B B. a： b： c=3：4：5 C.∠ C=∠ A-∠ B D.∠ A：∠ B：∠ C=3：4：5 6、如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优 弧上一点，则∠OBC的余弦值为( ) A. B. C. D. 7、如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶 端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（）. A.3.4m B.4.7 m C.5.1m D.6.8m 8、如图,Rt△ABC中.∠BAC=90°，AB=1，AC= .点D,E分别是边BC.AC上 的动点，则DA+DE的最小值为（） A. B. C. D.
9、国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为 的山坡的平台上（如图），测得米， 米，米，则铁塔的高度约为（）（参考数据： ） A.7.6米 B.27.5米 C.30.5米 D.58.5米 10、的值等于（） A. B.2 C. D. 11、已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x 轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（） A.（） B.（） C.（，- ） D.（3，-3 ） 12、如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开.再一次折叠纸片,使点A落在EF上,得到折痕BM,同时,得到线段BN,若,则BM的长为（）