浙江4月自考常微分方程试题及答案解析试卷及答案解析真题
1
浙江省2018年4月高等教育自学考试
常微分方程试题
课程代码：10002
一、填空题(每空2分，共30分)
1.含有自变量、未知函数及它的导数（或微分）的方程，称为________________方程.
2.已知y=C 1sin x +C 2cos x 是方程y ″+y =0的通解，则满足初始条件y (0)＝2,y ′(0)=3的特解为
y =________________.
3.方程(dx dy )4+y 3+22dx
y d =x 5的阶数为________________. 4.方程dx
dy =p(x)y+Q(x)为齐线性方程.则Q （x ）________________. 5.M(x,y),N(x,y)为x 、y 的连续函数且有连续的一阶偏导数.方程
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
为恰当方程的充要条件是________________.
6.函数f (x,y)在R ：|x-x 0|≤a,|y-y 0|≤b 上连续，且在R 上关于y 满足利普希茨条件，则方程
dx
dy =f (x,y)存在唯一解y=?(x)，定义于区间|x-x 0|≤h 上，连续且满足初始条件φ(x 0)=y 0,这里h=min(a,
M b ),M=________________. 7.方程dx
dy =x+y 过点(0,1)的第二次近似解为y 2=________________. 8.设x 1(t),x 2(t)是非齐线性方程
22dt x d +a 1dt
dx +a 2x=f (t) 的两个线性无关解，则齐线性方程
22dt x d +a 1dt
dx +a 2x=0 的一个非零解为________________.
9.常系数齐线性方程
y ″+2y ′+y=0
的通解为________________.
10.微分方程x ″=2x ′的通解为________________.
11.线性非齐方程的初值问题
x '''+3x ″+2x=f(t)
x(1)=2, x ′(1)=3, x ″(1)=4
2
可化为如下线性微分方程组的初值问题.
?????????????????????????????????????????????????????????????--=??????????'''432111302100010321321321＝）（
）（）（ ＋ x x x x x x x x x 12.A 是2×2常数矩阵，有特征值-1，其对应特征向量为??
????21，则线性方程组X ′=AX 有一
解为________________.
13.A 是一个n ×n 常数矩阵，则矩阵指数exp A =________________.
14.方程组???????+=+=2y -x dt
dy y 2x dt dx 的零奇点类型是________________.
15.对非线性方程???????=++=-y dt
dy y x -x dt dx 22 零解的稳定性态，判定为________________. 二、计算题(每小题8分，共56分)
16.求解方程4x 2y dx
dy x =－. 17.求解方程02xydy )dx 3y x e (22x
=++.
18.求解方程x ″+x ′－2x=8sin2t.
19.用幂级数求解方程
x ″－tx ′－x=0, x(0)=0, x ′(0)=1.
20.已知Φ(t)=??????t t t
e te e 0是方程X ′=??
????1011X 的基解矩阵， 求初值问题X ′=??????1011X +??
????0e -t ，X (0)=??????-11的解? (t). 21.如果矩阵A ＝??
????-4112，试求exp A t.
3 22.利用V(x,y)=ax 2+by 2确定方程组
???????=+=322y y 2x dt
dy xy x dt dx －－－ ,零解的稳定性.
三、证明题(每小题7分，共14分)
23.给定方程x
y sin dx dy =,证当x 0=1,y 0=0时000y )y ,x y(x,??=|x|. 24.设A (t), f (t)分别是区间a ≤t ≤b 上，连续的n ×n 矩阵和n 维列向量，证明方程组 X ′=A (t)x +f (t)，存在n+1个线性无关的解.