河南省中原名校联盟2018-2019学年高二下期期末试题理科数学(含答案)

河南省中原名校联盟2018-2019高二下期期末试题

理科数学

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知i 是虚数单位，则复数242i

z i

-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 设函数()f x 可导，则()()

011lim 3x f f x x

?→-+??等于（ ）

A. ()'1f -

B. ()3'1f

C. ()1

'13

f -

D.

()1

'13

f 3. 下列四个结论：

①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；④在回归方程$0.52y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量$y 增加约0.5个单位.其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④

C. ②③

D. ②④

4. 函数2

1ln 2

y x x =-的单调递减区间为（ ） A. ()1,1-

B. ()0,1

C. ()1,+∞

D. ()0,+∞

5. 在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数()

211,2X N :，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为（ ）（附：()0.6827P X μσμσ-<≤+=） A. 6 B. 7

C. 9

D. 10

6. 由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）

A.

10

3 B. 4

C.

163

D. 6

7. 亚洲月季花会期间，记者在白河湿地公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过南阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过南阳的概率是（ ） A.

115

B.

23

C.

35

D.

45

8. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则()|P B A 等于（ ）

A.

18

B.

14

C.

25

D.

12

9. 已知函数()21sin 42f x x x π??

=

++ ???

，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A. B. C. D.

10. 现有4种不同品牌的小车各2辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆），则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A. 144种

B. 108种

C. 72种

D. 36种

11. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且函数()()2'y x f x =-的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. 函数()f x 有极大值()1f 和极小值()1f -

B. 函数()f x 有极大值()1f 和极小值()2f

C. 函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1f

D. 函数()f x 有极大值()1f -和极小值()2f

12. 已知函数()()()()2ln 02

101

x x x f x x x =?+<≥-+????

，若函数()y f x kx =-有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A. 10,2?

? ???

B. ()1,2

C. 1,12??

???

D. ()2,+∞

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分）

13. 若将函数()5

f x x =表示为()()()()2

5

0125111f x a a x a x a x =+++++???++，其中()

0,1,,5i a i =???为实数，则3a =______.

14. 一次英语测验由50道选择题构成，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7

，则该生在这次测验中的成绩的期望是

______.

15. 在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若

()()2

2132x

x x i -+++是纯虚数，

则实数1x =±；④若()()2

2

12230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >?->；⑦复数z 满足

2

2z z =；⑧复数z 为实数z z ?=.其中正确命题的是______.（填序号）

16. 如图所示，由直线x a =，()10x a a =+>，2

y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形

的面积之间， 即

()

1

2

221a a

a x dx a +<<+?

，类比之，

*

n N ?∈，

111111

122121

A n n n n n n ++???+<<++???+

+++-恒成立，则实数A =______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（1）求证：当2a >

（2）证明：2，5不可能是同一个等差数列中的三项.

18. 为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在

[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布

直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.

()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=

++++ （1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；

（2）从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量x ，求x 的分布列和期望.

19. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2

22

2n n n n

a a S a -+=，且0n a >，*n N ∈.

（1）求1a ，2a ，3a ；

（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.

20.（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？ （2）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有几种？

（3）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有几种？

21. 已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--.

（1）当4a =时，求曲线()y f x =在()()

1,1f 处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围. 22. 已知函数()()

2ln 1f x x =+，()2

1

1

g x a x =+-. （1）求()f x 的极值点；

（2）求方程()()f x g x =的根的个数.

理数试题评分参考

一、选择题 1-5：ACDBB 6-10：CCCAC

11-12：AC

二、填空题

13. 10 14. 105 15. ⑧ 16. ln 2 三、解答题 17. 解：（1

）∵

2

2a =+()()2224a a a a ≤+++-=，

（当且仅当22a a +=-时取等号）

<（其他证法，如分析法酌情给分）

（2）假设2

5是同一个等差数列中的三项，分别设为m a ，n a ，p a ，

则m n a a d m n -=

=-253m p a a d m p m p m p ---===---为有理数，

所以，假设不成立，即2

，5不可能是同一个等差数列中的三项. 18. 解析：（1）

依题意得()

2

28012202820 3.333 2.70640403248

K ??-?=≈>???.

有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.

（2）从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中抽人数分别为2、3、2. 依题意随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.

()3

4374

035C P X C ===，()21433718135C C P X C ===，

()12433712235C C P X C ===，()33371

335

C P X C ===，

()012335

3535357

E x =?+?+?+?=.

19. 解析：（1）当

1n =时，211111

22

2

a a a S a

-+==，得1

1a =-

，又0n a >，

故11

a =-

同理2a =

，3a . （2）猜想

n

a =.

证明：当1n =时，由（1）可知，11a =- 假设()

*n k k N =∈时，k a =

2211111222222k

k k k k k k k k a a a a a S S a a +++++????-+-+=

-=- ? ?

????

，

所以2

1120k k a +++-=，又0n a >，得1k a +=

，

所以当1n k =+时猜想也成立. 综上可知，猜想对一切*n N ∈恒成立.

20. 解：（1）当甲在最左端时，有5

5120A =（种）排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有114

14442496A A A =?=（种）排法，共计12096216+=（种）排法.

（2）36

根据题意，分3步进行分析：

①、产品A 与产品B 相邻，将AB 看成一个整体，考虑AB 之间的顺序，有2

22A =种情况， ②、将AB 与剩余的2件产品全排列，有3

36A =种情况，

③、产品A 与产品C 不相邻，C 有3个空位可选，即有3种情况，

（3）法一：用a ，b ，c 表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，则可以枚举出下列10种：ln 2.

每一种排法中的三个a ，两个b 可以交换位置，故总的排法为32

3210120A A =种.

法二：分两步进行：（1）先将3个歌舞进行全排，其排法有3

3A 种；（2）将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A 种.若两歌舞之间有两个其他节目时插法有1

2

2

222C A A 种.所以由

计数原理可得节目的排法共有()

33122

332222120A A C A A +=（种）.

21. 解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞.当4a =时，

()()()1ln 41f x x x x =+--，()1

'ln 3f x x x

=+-，()'12f =-，()10f =，

曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为220x y +-=.

（Ⅱ）当()1,x ∈+∞时，()0f x >等价于()

1ln 01

a x x x --

>+.

令()()

1ln 1

a x g x x x -=-

+，则 ()()()()

222

2111211'x a x g x a

x x x x +-+=-=++，()10g =， （i ）当2a ≤，()1,x ∈+∞时，()2

2

211210x a x x x +-+≥-+>，故()'0g x >，()g x 在()1,x ∈+∞上

单调递增，因此()0g x >； （ii ）当2a >时，令()'0g x =得

11x a =-

21x a =-+

由21x >和121x x =得11x <，故当()21,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()21,x x ∈单调递减，因此()0g x <. 综上，a 的取值范围是(],2-∞.

22. 解：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，由()2

2'01

x

f x x =

=+，得0x =， ()f x 在(),0-∞内为减函数，在()0,+∞内为增函数，

故()f x 仅有一个极小值()00f =. （2）令()()()()

22

1

ln 11

h x f x g x x a x =-=+-

--， ()()()2222222211'21111x x h x x x x x x ??

??=+=+??++--??

. 当()()0,11,x ∈+∞U 时，()'0h x ≥， 当()(),11,0x ∈-∞--U 时，()'0h x <.

因此，()h x 在(),1-∞-，()1,0-上时，()h x 单调递减， 在()0,1，()1,+∞上时，()h x 单调递增.

又()h x 为偶函数，当()1,1x ∈-时，()h x 的极小值为()01h a =-. 当1x -→-时，()h x →-∞，当1x +→-时，()h x →+∞， 当x →-∞时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞. 由根的存在性定理知，方程在(),1-∞-和()1,+∞一定有根， 故()()f x g x =的根的情况为：

当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根； 当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根. 当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根.