绝对值常考题型分析

绝对值常考题型分析

1. 理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性

2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

知识梳理

一、知识结构框图：

数

二、绝对值的意义：

(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

也可以写成：

()

()

() ||0

a a

a a

a a

?

??

=?

?

-

??

当为正数

当为0

当为负数

说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例题精讲

【题目】已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）

【选项】A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b

【答案】A

【解析】| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a

分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

此题的求解使用了数形结合思想。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【题目】已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++

的值（ ）

【选项】A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号

【答案】C

【解析】由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：

所以

分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【题目】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

【答案】（1）6和-2或-6和2；（2）12和4或-12和-4

【解析】分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。

0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，

（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：

若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6

若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6

（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：

若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12

若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12

此题的解答使用了分类讨论的思想。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【题目】方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）

【选项】A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个

【解析】分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【题目】已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．

()()()()()()

1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 【解析】分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b －2|=|a －1|=0，解得：a=1,b=2 于是()()()()()()

1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++L

201020081861641421?++?+?+?K 200920082009

11200912008141313121212009

2008143132121=-=-++-+-+=?++?+?+=

K K 绝对值的非负性，是处理绝对值问题时，常常需要想到的。

在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可

以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

【题目】观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ .

（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为

（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ______.

（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为

【答案】（1）相等；（2）|(1)||1|x x --=+；（3）5；3≤x ≤2；（4）x<-4或x>-1

【解析】分析：点B 表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置。那么点

A 呢？因为x 可以表示任意有理数，所以点A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A 与

B 两点间的距离呢？

结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。

当x<-1时，距离为-x-1, 当-10，距离为x+1 综上，我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为1+x

2-x 即x 与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与2之间的距离。

)3(3--=+x x 即x 与-3的差的绝对值，

它也可以表示数轴上x 与-3之间的距离。 如图，x 在数轴上的位置有三种可能：

图1 图2 图3

图2符合题意 同理1+x 表示数轴上x 与-1之间的距离，4+x 表示数轴上x 与-4之间的距离。本题

即求，当x 是什么数时x 与-1之间的距离加上x 与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。

说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，B A - 表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】4

习题演练

【题目】若20012

2002x =则|||1||2||3||4||5||6|x x x x x x x +-+-+-+-+-+-=_____ 【答案】1122002

【解析】|||1||2||3||4||5||6|x x x x x x x +-+-+-+-+-+-

123456x x x x x x x =+-+-+-+-+-+-

115122002

x =-= 【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【题目】数14

||2003a -是（ ）

【选项】A 正数 B 负数 C 非正数 D 零

【答案】C 【解析】利用14

14||||0,02003a a ≥-≤知

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【题目】使代数式|3|||

4x x x -的值为正整数的X 值是（ ）

【选项】A 正数 B 负数 C 零 D 不存在

【答案】D

【解析】首先x 不为0；

若x>0，则|3||||3

|

1

442x x x x x x --==不为正整数；

若x<0，则|3|||

|3|

41444x x x x x

x x x -+-===-不为正整数. 故使代数式|3|||

4x x x -的值为正整数的X 值不存在。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【题目】已知a,b,c 都是负数，并且||||||0x a y b z c -+-+-=，则xyz 是（

）

【选项】A 负数 B 非负数 C 正数 D 非正数

【答案】A

【解析】由绝对值的非负性，|x-a|=0,|y-b|=0,|z-c|=0

故x=a,y=b,z=c ，xyz=abc 为负数。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【题目】1,10,,a c a b c <--≤≤<<已知

|||||1|_______,

_______

a b c b c a c ++-----则的最小值是最大值是 【答案】2，-1

【解析】()()()|||||1|=a b c b c a c 1-3c-1a b c b c a c ++------+++-+--= 10c -≤≤，故312-1c --最大为，最小为

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【题目】|2||3|6x x -++=方程的解的个数（ ）

【选项】A 1 B 2 C 3 D 4

【答案】B

【解析】分三种情况讨论，可得x 的两个解

57,

- 【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【题目】||20,|

1||2|||a a a b b b +=-+-=如果则_____

【答案】3

【解析】2b a =-，于是可以分类讨论：

若a>0，则b<0，|||1||2||1||2|||a a a a b b b b

-+-=--+- 11|1||2|322

=-+--=； 若a<0，则b>0，|||1||2||1||2|||a a a a b b b b

-+-=-+-- 11|1||2|322

=--+-= 【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【题目】如果

2002200220020,0,0,

()()()||||||

a b c a b c a b c a b c a b c +->-+>-++>-+=则（） 【选项】A.1 B.-1 C.0 D.3

【答案】A 【解析】||||||

a b c a b c ,,均为1或-1，于是200220022002(),(),()||||||a b c a b c 均为1.即可得答案。 【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【题目】If a,b,c,d are rational numbers ，||9,||16a b c d -≤-≤and

||25,||||________a b c d then b a d c --+=---=

【答案】-7

【解析】近年来，每年希望杯都会有英语题。这需要学生对于一些数学名词的英语要了解，比如rational numbers 是实数的意思。

另外还需要知道||||||x y x y -≤+（画出数轴，分析可得）

于是()()25a b c d ||||25a b c d =---≤-+-≤，

于是||9,||16a b c d -=-=,||||7b a d c ---=-

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【题目】已知a,b,c 都是整数，||||||m a b b c a c =++-+-,那么

【选项】A .m 一定是奇数.

B.m 一定是偶数.

C.仅当a,b,c 同奇或同偶时，m 是偶数.

D.m 的奇偶性不能确定 .

【答案】B

【解析】若a,b 奇偶性相同，则||||b c a c --，奇偶性相同，||||||a b b c a c +-+-，都为偶数，m 为偶数。

若a,b 奇偶性不同，则||||b c a c --，奇偶性不同，||||||a b b c a c +-+-，都为奇数，m 为偶数。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【题目】2|3|(2)0,m n -++=如果则方程31_________.mx x n +=+的解是 【答案】38

x =-

【解析】2|3|(2)0m n -++=，由平方和绝对值的非负性，可得3,2m n ==-,解方程即可得。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【题目】||)(1)0__________.x x x +-<不等式（的解是

【答案】x>1

【解析】（1）当x>0时；

原不等式可化为：2x(1-x)<0，解得：x>1

（2）x=0时；

原不等式没有解.

（3）x<0时；

(-x+x)(1-x)<0,0(1-x)<0,故原不等式没有解.

综上所述，原不等式的解为：x>1.

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【题目】|1||1|x x ++-的最小值是_____

【答案】2

【解析】利用数形结合可得。

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2

【题目】||1,||1,|||1||24|,x y u x y y y x ≤≤=++++--已知且

__________.u 则的最大值和最小值的和是

【答案】10

【解析】|y+1|=1+y

|2y-x-4|=|(2y-x)-4|=4-(2y-x)

(1)x+y>=0,u=x+y+1+y+4-(2y-x)=2x+5

(2)x+y<0,u=-(x+y)+1+y+4-(2y-x)

=-2y+5

故最大值7，最小值3.

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【题目】彼此不相等的有理数a,b,c 在数轴上对应的点分别为A,B,C,如果||||||a b b c a c -+-=-那么A,B,C,位置关系是____________.

【答案】B 在A ，C 之间

【解析】数形结合分析可得

【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4

【题目】某公共汽车运营线路AB 段上有A,B,C,D 四个汽车站，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A,B,C,D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

【答案】CD上

【解析】设A，B，C，D在数轴上面表示的数为a,b,c,d，则路程总和为|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|

|x-a|+|x-b|最小值在AB上取到；

|x-c|+|x-d|最小值在CD上取到。

故选址在CD上|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|取到最小值。【知识点】和绝对值有关的问题

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】4