2011年高考天津市数学试卷-文科(含详细答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试

天津卷（文科）

第Ⅰ卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（同理１）i 是虚数单位,复数

13i

1i

-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+

【解】()()()()

13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ．

2．设变量,x y ，满足约束条件1,

40,340,x x y x y ≥??

+-≤??-+≤?

则目标函数3z x y =-的最大值为

( )．

A ．4-

B ．0

C ．

4

3

的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ?的区域，直线3y x z =-经过

()2,2A 时，4z =最大．故选D ．

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．

A ．0.5

B ．1

C ．2

D ．4

【解】运算过程依次为：

输入4x =-43?->437x ?=--= 73?>734x =-=43?> 43

1x ?=-=13?<122y ?==?输出2．

故选Ｃ．

4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}

0B x x =∈

20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解】{}

02A B x x x =∈<>R 或，

(){}

{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或

所以A B C = ．

所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>

【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而2

3.6 3.6 3.2>>，

又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>． 所以a c b >>．故选Ｂ．

6．已知双曲线22221x y a b

-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()2

20y px p =>的焦点的

距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．

A ．

B ．

C ．

D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22

p

-=-， 所以4p =．

又因为双曲线22221x y a b

-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()2

20y px p =>的焦点的

距离为4，则

42

p

a +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12b

a

-=-，即2a b =，

所以1,b c ==2c =

7．已知函数()()2sin f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，ππ?-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π

2

x =

时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数

C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数

D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数

【解】由题设得π

π,22

2π6π,

ω?ω

??+=????=??解得13ω=，π3?=．

所以已知函数为()π2sin 33x f x ??

=+ ???

． 其增区间满足π222

332

x k k π

π

ππ-+≤

+≤+，k ∈Z ． 解得5π

6ππ6π2

k x k -

+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -

≤≤，所以5π,π2??-????为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2??-?-????

， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．

8．对实数a 和b ，定义运算“?”：,1

,, 1.

a a

b a b b a b -≤??=?

->?设函数

()()

()221f x x x =-?-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，

则实数c 的取值范围是( )．

A ．(]()1,12,-+∞

B ．(](]2,11,2--

C ．()(],21,2-∞-

D ．[]2,1--

【解】由题设()22,12,

1,12

x x f x x x x ?--≤≤=?-<->?或

画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，(),

2B ，()1,1C --，()1,2D --．

从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．

9．已知集合{}

12A x x =∈-

【解】3．

解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为

3m ．

【解】4．

几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =??+??=．

11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，

2020S =，则10S 的值为 ．

【解】110．

设公差为d ，由题设3120

1216,

2019020.a a d S a d =+=??=+=?解得2d =-，120a =．

()10110451020452110S a d =+=?+?-=．

12．已知22log log 1a b +≥，则39a

b

+的最小值为 ． 【解】18．

因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ?≥

3918a b +≥=≥，

当且仅当39,2,

a b a b ?=?=?即2a b =时，等号成立，所以39a b

+的最小值为18．

13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，

且DF CF ==

::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．

【解】

2

． 因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ?=?==?， 所以12a =

，12BE =，772

AE a ==．

因为CE 与圆相切，由切割线定理，2

177224CE AE BE =?=

?=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，

90ADC ∠=?，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +

的最小值为 ．

【解】5．

解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．

由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．

()2,PA y =- ，()1,PB c y =-

． ()35,34PA PB c y +=-

．

35PA PB += ，

当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34

c

y =时，3PA PB + 有最小值5．

解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得

(

)

5

33332

P A P B

D A D P P C C B D A P C D P

+=-++=+-

． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，

有)13(2

5

3-+=

+λ． 所以2222553(31)(31)42

PA PB DA DP DA DP λλ??+=+-+?-???

即 []

213(25)13(-+=-+=+λλ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 3

1

=时，

所以3PA PB +

有最小值5．

解法3 ．如图，3PB PF =

，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的

中点，则12

QE BF PB ==

，

32PA PB PA PF PE +=+=

， ①

因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -=

．

则

222222

22PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②

（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()13

22

TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，

则22

1PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214

QB a b =++ ，

代入式②得

()()22222

2912221244PB PQ a b PE a b ??+=+++=+++ ??

? ，

于是()22

252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=≥

，

所以3PA PB +

有最小值5．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分13分) 编号分别为1216,,,A A A 的

16名篮球运动员在某次训练比赛

(Ⅰ) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

F

D

(Ⅱ) 从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人， (ⅰ) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果；

(ⅱ) 求这2人得分之和大于50的概率． 【解】(Ⅰ)

(Ⅱ) (ⅰ)得分在区间[)20,30内的运动员编号为 3A ，4A ，5A ， 10A ，11A ，13A ．

从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果为 {}34,A A ， {}35,A A ，{}310,A A ，{}311,A A ，{}313,A A ， {}45,A A ，{}410,A A ，{}411,A A ，{}4,13A A ， {}510,A A ，{}511,A A ，{}513,A A ， {}1011,A A ，{}1013,A A ，

{}1113,A A ．

共15种．

(ⅱ) 记“从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”为事件B ．

这2人得分之和大于50的所有可能结果有{}45,A A ，{}410,A A ，{}411,A A ，

{}510,A A ，{}1011,A A 共5种．

所以()51

153

P B =

=． 16．(本小题满分13分) 在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知B C =，

2b ．

(Ⅰ) 求cos A 的值； (Ⅱ) 求πcos 24A ??

+

??

?

的值．

【解】(Ⅰ) 解法1．由B C =，2b 得2

c b a ==

，

所以22

2

2

2

2

331cos 23a a a b c a A bc +-+-===．

解法2．由B C =

，2b

得c b ==

，π22A B =-．

由正弦定理得

sin sin a b

A B =

，即

2

sin sin 22a A A

π

=??

- ???

，

cos 2A

A =

12A =

，所以sin 2A =

， 2

11

cos 12sin 12233

A A =-=-?=． (Ⅱ) 因为1cos 3A =

，()0,πA ∈

，则sin A = 27cos 22cos 19A A =-=-

，sin 22sin cos 9

A A A ==

所以πππ

cos 2cos 2cos sin 2sin 444

A A A ?

?+

=- ?

?

?

78929218

+??

=--=-

???

． 17．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面

ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=?，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M 为PD 的中点．

(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面； (Ⅱ) 证明：AD PAC ⊥平面；

(Ⅲ) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值． 【解】(Ⅰ) 连接,BD MO ．在平行四边形ABCD 中， 因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点， 又M 为PD 的中点，所以//PB MO ， 因为PB ACM ?平面，MO ACM ?平面，

O M

D

C

B

A

P

N M

D

C

P

所以//PB ACM 平面．

(Ⅱ) 因为45ADC ∠=?，且1AD AC ==，所以90DAC ∠=?．即AD AC ⊥． 又PO ABCD ⊥平面，AD ABCD ?平面，所以PO AD ⊥， 因为AC PO O = ，所以AD PAC ⊥平面．

(Ⅲ) 取DO 的中点N ，连接,MN AN ，所以//MN PO ，1

12

MN PO ==． 由PO ABCD ⊥平面，得MN ABCD ⊥平面， 所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角． 在Rt DAO ?中，1AD =，12AO =

，所以DO =

．从而12AN DO ==． 在Rt ANM ?

中，tan 5MN MAN AN ∠=

==

直线AM 与平面ABCD

18．(本小题满分13分) 设椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，点

(),P a b 满足212PF F F =．

(Ⅰ) 求椭圆的离心率e ；

(Ⅱ) 设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，若直线2PF 与圆(

)(2

2

116x y ++=相

交于M ，N 两点，且5

8

MN AB =

，求椭圆的方程． 【解】(Ⅰ)设()1,0F c -，()2,0F c ． 因为212PF F F =

2c =，222240a ac a c -+-=，

由c e a =

，有24220e e +-=，即2

210e e +-=，1e =-（舍去）或12

e =． 所以椭圆的离心率为1

2e =．

(Ⅱ) 解法1．因为12e =，所以2a

c =，b =．所以椭圆方程为222

3412x y c +=．

直线2

PF 的斜率b

k a c

=

=-

，则直线2PF 的方程为)y x c =-．

,A B

两点的坐标满足方程组)2223412,

.x y c y x c ?+=??

=-?? 消去y 并整理得2

580x cx -=．则10x =，285

x c =

．

于是110,x y =???=??

228,5.

x c y ?=??

??=??

不妨设85A c ?? ? ???

，()

0,B ．

所以165AB c ==．

于是5

28

MN AB c ==．

圆心()1,3-到直线2PF

的距离d =

=

，

因为2

22

42MN d ??+= ?

??

，所以()2232164c c ++=，即2712520c c +-=， 解得26

07

c =-<（舍去），或2c =．于是24a c ==

，b ==． 所以椭圆的方程为

22

11612

x y +=． 19．(本小题满分14分) 已知函数()3

2

2

4361f x x tx t x t =+-+-，其中t ∈R ．

(Ⅰ) 当1t =时，求曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；

(Ⅱ) 当0t ≠时，求()f x 的单调区间；

(Ⅲ) 证明：对任意()0,t ∈+∞，()f x 在区间()0,1内存在零点．

【解】(Ⅰ) 当1t =时，()32

436f x x x x =+-，()00f =，

()2

1266f x x x '=+-，()06f '=-．

所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为6y x =-． (Ⅱ) ()2

2

1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得x t =-或2

t x =

． 因为0t ≠，所以要分为0t <和0t >讨论．

(1) 若0t <,则

2

t

t <-. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调增区间是,2t ?

?-∞ ???，(),t -+∞，单调减区间是,2t t ??- ???

． (2) 若0t >,则2

t

t -<

. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调增区间是(),t -∞-，,2t ??+∞

???，单调减区间是,2t t ??

- ???． (Ⅲ) 由(Ⅱ)可知，当0t >时，()f x 在0,2t ?

? ??

?

内单调递减，在,2t ??

+∞ ???

内单调递增．

需要讨论

2

t

与讨论的区间()0,1的相互位置关系． (1) 当12

t

≥，即2t ≥时，()f x 在()0,1内单调递减，

因为()010f t =->，()2

1643644230f t t =-++≤-?+?+<，

所以对任意[)2,t ∈+∞，()f x 在区间()0,1内存在零点． (2) 当012t <

<，即02t <<时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ??

???

内单调递增．

若(]0,1t ∈，371024t f t t ??=-+-<

?

??

， ()21643643230f t t t t t =-++≥-++=-+>．

所以对任意(]0,1t ∈，()f x 在区间,12t ??

???

内存在零点． 若()1,2t ∈，3377110244t f t t t ??

=-+-<-+<

?

??

， ()010f t =->．

所以对任意对任意(]0,1t ∈，()f x 在区间0,2t ?

? ???

内存在零点． 所以对任意()0,2t ∈，()f x 在区间()0,1内存在零点． 综合以上，对任意()0,t ∈+∞，()f x 在区间()0,1内存在零点． 20．(本小题满分14分) 已知数列{}n a 与{}n b 满足

()1121n

n n n n b a b a +++=-+，()

1

312

n n b -+-=

，n +∈N ，且12a =．

(Ⅰ) 求2a ，3a 的值；

(Ⅱ) 设2121n n n c a a +-=-，n +∈N ，证明{}n c 是等比数列． (Ⅲ) 设n S 为{}n a 的前n 项和，证明：

21212122121

3

n n n n S S S S n a a a a --++++≤- ()n +∈N ． 【解】(Ⅰ) 因为()

1

312

n n b -+-=

，n +∈N ，所以2,1,n n b n ?=?

?為奇數,

為偶數.

又()1121n

n n n n b a b a +++=-+，

当1n =时，1221a a +=-，由12a =，得232

a =-； 当2n =时，2325a a +=，得38a =； (Ⅱ) 对任意n +∈N ,有 21

21222

1n n n a a --+=-+， ①

2221221n n n a a ++=+， ② ②－①得 21212132n n n a a -+--=?．

即 21212132n n n n c a a -+-=-=?， 于是

1

4n n

c c +=， 所以{}n c 是等比数列．

(Ⅲ)解法1．12a =，由(Ⅱ)可得当k +∈N 且2k ≥时，

()()()()2113153752123k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++- (

)352

3

23

2222k -=++++

+

()12121423214

k k ---=+?

=-．

所以，对任意k +∈N ，21212k k a --=． 由式①21212221n n n a a --+=-+得2121

22

k k a -=-．k +∈N ， 所以21

21212112

222

k k k k a a ---??+=+-= ???． 因此，()()()212342122

k k k k

S a a a a a a -=++++++= 于是 21

2122122

k k k k k S S a ---=-=

+． 所以

21212212121212

221222

k k k

k k k k

k k

S S a a ------++=+

- 22212221

k k k k k

-+=--

()

114441k k k k

=-

-

-． 所以，对任意k +∈N ，

21212

12212n n n n

S S S S a a a a --++++ 32121241234212n n n n S S S S S S a a a a a a --??????=++++++ ? ? ???????

()()()22211121111444144441441n n n n

?????? ? ?=--+--++-- ? ? ? ?

---?????? ()()222

111

2141244441441n n n n n ?????? ? ?=-+-+--+ ? ? ?--??????

1114123n n ??

≤-+=- ???

．

解法2．由(Ⅱ)可得 21212132n n n a a -+--=?．

则

21212121

3

2424

n n n n a a +-+-=+?， 设21212n n n a d --=，则11344n n d d +=+，于是()1

1

114

n n d d +-=-， 于是()1

11114n n d d -??

-=- ?

??

，因为12

12

d =

=，所以110d -=， 因而1n d =．即21212n n a --=． 以下同解法1．