三角函数基本概念
三角函数基本概念
1、角的有关概念
(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角.
(3)若α与β是终边相同的角,则β可用α表示为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}(或{β|β=α+2kπ,k∈Z}).
(4)终边相同角
2、象限角
3、弧度与角度的互化
(1)弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示.
(2)角α的弧度数:如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么l=rα,角α
的弧度数的绝对值是|α|=l
r .
(3)角度与弧度的换算①1°=
π180
rad
(4)弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,又l=rα,则扇形的面积为
S=1
2
lr=
1
2
|α|·r2 .
4.任意角的三角函数
三角函数正弦余弦正切
定义
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么
y叫做的正弦,记作sin x叫做的余弦,记作cos
x
y
叫做的正切,记作tanα
三角函数正弦余弦正切
各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负
各象限符号口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦
5、角函数线
设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα),其中cosα=OM,sinα=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tanα=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
6、对任意角的理解
(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”,把“0°~90°的角”等同于“第一象限的角”.其实锐角的
集合是{α|0°<α<90°},第一象限角的集合为{α|k·360°<α 例1:-870°的终边在第几象限 ( ) A .一 B .二 C .三 D .四 解: 因-870°=-2×360°-150°,-150°是第三象限角.故选C 。 例2.已知角α的终边经过点(3,-1),则角α的最小正值是 ( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6 D.3π4 解:∵sin α=-12=-12,且α的终边在第四象限, ∴α=11 6 π. 例3.若sin α<0且tan α>0,则α是 ( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 解:由sin α<0,知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上, 由tan α>0,知α在第一或第三象限,因此α在第三象限.选C 。 例4.若点P 在2π 3角的终边上,且P 的坐标为(-1,y ),则y 等于________. 解:因tan 2π 3=-3=-y ,∴y = 3. 例5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________,面积为________. 解:弧长l =3π,圆心角α=34π,由弧长公式l =α·r 得r =l α=3π34π =4,面积S =1 2lr =6π. 例6:(1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α的终边落在何处?(2)写出终边在直线y =3x 上的角的集合. 解:(1)由α是第三象限的角得π+2k π<α<3π2+2k π?-3π2-2k π<-α<-π-2k π,即π 2+2k π<-α<π+2k π(k ∈Z). ∴角-α的终边在第二象限;由π+2k π<α<3π 2+2k π得2π+4k π<2α<3π+4k π(k ∈Z). ∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴. (2)在(0,π)内终边在直线y =3x 上的角是π3,∴终边在直线y =3x 上的角的集合为{α|α=π 3+k π,k ∈Z}. 例7:若角β的终边与60°角的终边相同,则在0°~360°范围内,终边与角β 3的终边相同的角为 ________. 解:∵β=k·360°+60°,k∈Z,∴β 3=k·120°+20°,k∈Z.又0°≤ β 3<360°,∴0°≤k·120°+20°<360°, k∈Z, ∴-1 6≤k< 17 6,∴k=0,1,2.此时得 β 3分别为20°,140°,260°.故在0°~360°范围内,与角 β 3的终边 相同的角为20°,140°,260°. 三角函数基本概念练习题 1、将分针拨慢15分钟,则分针转过的弧度数是() A.B.C.D. 2、若角α、β的终边相同,则αβ -的终边在() A.x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上 C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上 3、在﹣360°~0°范围内与角1250°终边相同的角是() A.﹣210°B.﹣150°C.﹣190°D.﹣170° 4、已知sinθ?tanθ<0,那么角θ是() A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角5、下列命题正确的是() A.第一象限角是锐角B.钝角是第二象限角C.终边相同的角一定相等D.不相等的角,它们终边不相同 6、把﹣1125°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z=)的形式是() A.﹣﹣6πB.﹣6πC.﹣﹣8πD.﹣8π 7、角α=2,则α所在象限角为() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8、已知扇形的面积为2 cm2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为() A.2 B.4 C.6 D.8 9、下列说法中,正确的是() A.第二象限的角是钝角 B.第三象限的角必大于第二象限的角 C.﹣831°是第二象限角 D.﹣95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角 10、已知α的终边在第一象限,则角的终边在() A .第一象限 B .第二象限 C .第一或第三象限 D .第一或第四象限 11、已知集合ππ,24k M x x k ??==+∈??? ?Z ,ππ,42k P x x k ??==+∈???? Z ,则( ). A.M P = B.M P C.M P D.M P =? 12、已知扇形的半径为12 cm ,弧长为18 cm ,则扇形圆心角的弧度数是 ( ) A.23 B.32 C.23π D.32π 13、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 ( ) A.π3 B.2π3 C. 3 D .2 14、在直角坐标系中,一动点从点A (1,0)出发,沿单位圆(圆心在坐标原点半径为1的圆)圆周按逆时针方向运动π弧长,到达点B ,则点B 的坐标为( ) A .(﹣, ) B .(﹣ ,﹣) C .(﹣,﹣ ) D .(﹣ ,) 15、已知扇形的周长为8cm ,则该扇形的面积S 值最大时圆心角的大小为( ) A .4弧度 B .3弧度 C .2弧度 D .1弧度 16、若角α和角β的终边关于x 轴对称,则角α可以用角β表示为( ) A .2kπ+β (k∈Z) B .2kπ﹣β (k∈Z) C .kπ+β (k∈Z) D .kπ﹣β (k∈Z) 17、如果α在第三象限,则 一定不在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 18、已知α终边上的一点P 坐标是(sin2,﹣cos2),则α的一个弧度数为( ) A .π+2 B . +2 C . ﹣2 D .2﹣ 19、已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A .120° B .150° C .180° D .240° 10、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么此圆心角所夹扇形的面积为( ) A . B . C . D .tan1 20、(2014春?夏津县校级期末)一个半径为R 的扇形,它的周长为4R ,则这个扇形所含弓形的面积为( ) A . B . C . D .R 2﹣sin1?cos1?R 2 二、任意角三角函数求法 1、三角函数的定义中,当P (x ,y )是单位圆上的点时有sin α=y , cos α=x ,tan α=y x ,但是若不是单位圆时,如圆的半径为r , 则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x . 2、若已知角α的终边上有异于原点的点的坐标A (x ,y ),求角α的三角函数值时,则应先求|OA | =r ,然后再利用定义sin α=y r , cos α=x r ,tan α=y x 求解. 3、同角三角函数的关系:(1)平方关系:1cos sin 22=+αα (2)商数关系:αα αcos sin tan = 常考模型一:已知一三角函数值,求另外两个三角函数值 例8:(1)已知 3 1 sin =α ,求 ααtan ,cos 的值; 解:sin cos tan cos α ααα===± (2)已知 2 1 cos -=α ,且α 在第三象限,求 ααtan ,sin 的值; 解:sin sin tan cos α ααα==== (3)已知 2tan -=α ,且α 在第二象限,求 ααcos ,sin 的值。 解:tan ;1,2;sin y x y x ααα= ∴=-=∴== === 例9:已知角α的终边经过点P (m ,-3),且cos α=-4 5,则m 等于 ( ) A .-114 B.11 4 C .-4 D .4 解:由题意可知,cos α=m m 2+9 =- 4 5,又m <0,解得m =-4. 例10:角θ的终边上有一点(a ,a ),a ∈R 且a ≠0,则sin θ的值是 ( ) A.22 B .-22 C.22或-2 2 D .1 解:由已知得r =a 2+a 2=2|a |,sin θ=a r = a 2|a |=????? 22(a >0),-22(a <0) 所以sin θ的值是22或-2 2. 常考模型二:已知正切值,求齐次分式的值 齐次分式:分子分母的正余弦次数相同, (1) 2222 22sin cos sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos sin cos a b a b c a b c c d αααααααααααααα+++?++或者 (1) 平方关系:1cos sin 2 2=+αα (2)商数关系:αα αcos sin tan = 例11:已知2tan =α,求: (1)ααααcos sin cos sin -+ (2) ααα222sin cos 32 sin -+ (3)2cos sin sin 2++ααα 解:(1)tan 1 3tan 1 αα+==-原式 (2)2222222 sin 2sin +2cos 3tan +2 ==143cos sin 3tan ααααααα +=---原式 (3)2222222 sin sin cos 2sin 2cos 3tan tan 216 =sin cos tan 15 αααααααααα+++++==++原式 任意角三角函数求法 练习题 1、设α角属于第二象限,且2cos 2cos α α-=,则 2 α 角属于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2、已知3 cos 5 α=-,α是第二象限角,那么tan α的值等于( )。 A 43 B 43- C 34 D 3 4- 3、已知4 sin 5α= ,并且α是第二象限的角,那么tan α的值等于( ) A. 43- B. 34 - C. 43 D. 34 4、已知角α的终边与单位圆的交点P ??? ? ??23,x ,则tan α= ( ) A. 3 B .±3 C.33 D .±3 3 5、(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.(2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 6、已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ =-25 5,则y = . 7、已知2 1 tan -=α,则1cos 2cos sin 22--ααα=( ) A . B . C . D .﹣2 8、若sin θcos θ=,则tan θ+的值是( ) A .﹣2 B .2 C .±2 D . 9、已知sinα+cosα=(0<α<π),则tanα=( ) A . B . C . D . 或 10、若的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .6 11、α∈[0,2π],且+=sinα﹣cosα,则α∈( ) A .[0,] B .[ ,π] C .[π, ] D .[ ,2π] 12、化简+ (π<θ< )( ) A .1 B .﹣1 C .sin θ D .﹣ 13、在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A ,点A 在第二象限,且点A 的 横坐标与纵坐标之比为﹣,则ααα αα2 22cos 2sin cos sin 2cos +-的值为( ) A .﹣ B . C . D .﹣ 14已知tan θ+ =2,则sin θ+cos θ等于( ) A .2 B . C .﹣ D .± 15、锐角△ABC 中,sinA 和cosB 的大小关系是( ) A .sinA=cosB B .sinA <cosB C .sinA >cosB D .不能确定 16、已知角α的终边过点P (﹣4m ,3m )(m <0),则2sin α+cos α的值是( ) A .1 B . C .﹣ D .﹣1 17、若 (k ∈Z ),则sinα,cosα,tanα的大小关系为( ) A .tanα>sinα>cosα B .tanα>cosα>sinα C .tanα<sinα<cosα D .tanα<cosα< sinα 18、已知sin θ=,cos θ= ,若θ为第二象限角,则下列结论正确的是( ) A . B .a=1 C .a=1或a= D .a= 19、设α是第二象限角,p (x ,4)为其终边上的一点,且cos α=x ,则sin α=( ) A . B .﹣ C . D .﹣ 20、如果cos α= 有意义,那么m 的取值范围是( ) A .m <4 B .m=4 C .m >4 D .m ≠4 21、已知a=sin2,b=cos2,c=tan2.则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >c >a D .c >a >b 22、已知角α的终边在函数y=2x (x >0)的图象上,则1﹣2sin αcos α﹣3cos 2α的值( ) A .﹣ B .± C .﹣2 D .±2 23、已知α是第二象限角,化简 1sin 1sin 1sin 1sin αα αα +--+ ) A 2tan α- B 2tan α C tan α D tan α- 24、已知tan 2α=,求下列各式的值: (1)4sin cos 3sin 5cos αα αα -+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα-?--; (3)2231 sin cos 42 αα+;(4)sin cos αα?。 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB , 三角函数的概念、基本关系式及诱导公式 一、角的相关概念 1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________ 2、终边位置的不同形成__________,__________,____________ 例如:第一象限角的集合________________ 终边在y 轴上角的集合_________________ 终边在x 轴上角的集合_________________ 3、终边相同的角的集合________________ 4、注意第一象限角、锐角的不同,钝角与第二象限角的不同 5、已知α是第二象限的角,则 2 α是第几象限的角? 二、弧度制与角度制: 1、弧度制的定义:圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度(1rad ) 2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1= 弧度制与角度制的换算_________________________________ 3、扇形的弧长、面积公式 ____________________________________________ 例1、已知一扇形周长为)0(>C C ,当扇形中心角为多少弧度时,它的面积最大? 例2、扇形中心角为 120,则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________ 三、任意角的三角函数: 1、定义:设α是一个任意角,α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点,则 )(022y x r r OP +=>=则 r y = αsin r x =αcos x y =αtan y r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________ 2、三角函数的符号___________________________ 3、特殊角的三角函数值: ___________________________________________________________ 四、单位圆与三角函数线: 1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线 2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60° 在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再 三角函数基本概念 1.角的有关概念 (1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角.(2)从终边位置来看,可分为象限角和轴线角. (3)若α与β是终边相同的角,则β可用α表示为S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }(或{β|β=α+2k π,k ∈Z }). 2.象限角 3.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad 表示. (2)角α的弧度数:如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么l =rα,角α的弧度数的绝对值是|α| = l r . (3)角度与弧度的换算①1°=π 180rad ;②1 rad =?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l ,圆心角大小为α(rad),半径为r ,又l =rα,则扇形的面积为 S =12lr =12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么 y 叫做的正弦,记作sin x 叫做的余弦,记作cos x y 叫做的正切,记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P ,过P 作PM 垂直于x 轴于M ,则点M 是点P 在x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P 的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα),其中cosα=OM ,sinα=MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ,则tanα=AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦(sin) 余弦(cos) 正切(tan或t g) 余切(cot或ct g) 正割(sec) 余割(csc) 表格参考资料来源:现代汉语词典[1]. 函数关系 倒数关系:①;②;③ 商数关系:①;②. 平方关系:①;②;③. 诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及的三角函数值之间的关系: 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限[2].即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( ) 三角函数的概念、性质和图象 复习要求(以下内容摘自《考纲》) 1. 理解弧度的意义,并能正确进行弧度和角度的换算. 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义.会求y =A sin(ωx +?)的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,能运用上述三角公式化简三角函数式,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式. 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y =A sin(ωx +?)的简图,并能解决与正弦曲线有关的实际问题. 4.正弦函数、余弦函数的对称轴,对称点的求法。 5.形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式,求最大、最小值的总题。 6.同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+,求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7.已知正切值,求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的 8 正弦定理:)R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 余弦定理:A ab c b a cos 2222-+=,…ab a c b A 2cos 2 22-+= 可归纳为表9-1. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一,三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、 第一章直角三角形的边角关系 2. 30°,45°,60°角的三角函数值 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义。 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些统计活动,解决了一些简单的现实问题,感受到了数据收集和处理的必要性和作用,获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本节课教学目标如下: 知识与技能: 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理,进一步体会三角函数的意义。 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 过程与方法: 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现的能力。 情感态度与价值观: 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 教学重点: 能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算;能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 教学难点:三角函数值的应用 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、 A C B b a c 小结与拓展、作业布置。 第一环节 复习巩固 活动内容:如图所示 在 Rt △ABC 中,∠C=90°。 (1)a 、b 、c 三者之间的关系是 , ∠A+∠B= 。 (2)sinA= ,cosA= , tanA= 。 sinB= ,cosB= ,tanB= 。 (3)若A=30°,则 c a = 。 活动目的:复习巩固上一节课的内容 第二环节 活动探究 活动内容: [问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度. 我们组设计的方案如下: 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点,30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB 的长度,BE 的长度,因为DE=AB ,所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°的正切值,在上图中,tan30°中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案
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