二次函数的最值问题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】

典型中考题（有关二次函数的最值）

屠园实验 周前猛

一、选择题

1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )

A. a

B.a=b C a>b D 不能确定

答案：C

2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A 、- 74

B 、3或-3

C 、 2或-3

D 2或-3或-

74

答案：C

∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 7

4

，

2

765

y x 416??=-++

??

?此时 ，它在－2≤x≤l 的最大值是

65

16

，与

题意不符.

当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1 解得m=2 ，此时y=-（x-2）2

+5 ，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.

当x= m 时，由 4=-（x-m ）2

+m 2+1解得 m=3当m=3时y=-（x+3）2+4 .它在－2≤x≤l 4，与题意相符；当m=3 ，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l 在x=1处取得，最综上所述，实数m 的值为2或-3 .

故选C ．

3．已知0≤x≤1

2

，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（）

A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6

答案：C

解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，

且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤1

2，∴当x= 1

2

时，

y取最大值，y

最大=-2（1

2

-2）2+2=-2.5．故选：C．

4、已知关于x的函数.

下列结论：

①存在函数，其图像经过（1,0）点；

②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；

③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

真确的个数是（）

A,1个B、2个 C 3个D、4个

答案：B

分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；

③根据二次函数的增减性，即可作出判断；

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k

≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可

作出判断.

解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，

解得：k=0．运用方程思想；

②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假，如k=1，b5

-=

2a4

，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；

④真，当k=0时，函数无最大、最小值；

k≠0时，y

最=22

4ac-b24k+1

=-

4a8k

，

∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；

当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．

二、填空题：

1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是

答案：12

2、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是

答案：4、4，8

解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0

配方得 S=- (x2-8x)

=- (x-4)2+8

∴当x=4时，S最大=8.

及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.

3、函数2

-≤≤的最大值与最小值分别是y=24x-x（0x4）

答案：2,0

解：2

4x-x最大，即x=2 4x-x最小值为0，当4x-x2取最大值时2

时，2

4x-x最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为0

4、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a 的值为

答案：0

解：二次函数y=x2+2x+a对称轴为x=-1，当0≤x≤1时y随x的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x2+2x+a得a=0.

5、如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC 上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度．

三、解答题：

1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x

⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本； ⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值

⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）

解：（1）()x -150 ⑵

()5.9501502

-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x

而()()2

150160x x y ---=

＝

1040502

++-x x ＝

()184.0502

+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，

而2.00≤x ，

∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）

说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：

若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。 若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。

2、如图，二次函数的图象经过点

D(0，397)，且顶点

C 的横坐

标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. ⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P 的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣h）2+k

∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）

∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k①

又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6

∴A（1，0），B（7，0）

∴0=9a+k②

由①②解得a=，k=﹣

∴二次函数的解析式为：y=（x﹣4）2﹣

（2）∵点A、B关于直线x=4对称

∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值

∴DB与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x轴交于点M

∵PM∥OD，

∴∠BPM=∠BDO，

又∠PBM=∠DBO

∴△BPM∽△BDO

∴

∴

∴点P的坐标为（4，）

（3）由（1）知点C（4，），

又∵AM=3，

∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，

∴∠ACM=60°，

∵AC=BC，

∴∠ACB=120°

①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°

∴QN=3，BN=3，ON=10，

此时点Q（10，），

如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2，）

②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，

此时点Q的坐标是（4，），

经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上

综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC

点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）．

3、如图，抛物线经过(40)(10)(02)

A B C-

，，，，，三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x⊥轴，垂足为M ，是否

存在P点，使得以A ，P，M为顶点的三角形与OAC

△相似？若

存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D ，使得DCA

△的面积最

大，求出点D的坐标．

解：（1）∵该抛物线过点C （0，-2），

∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，

将A（4，0），B（1，0）代入，

得，

解得，

∴此抛物线的解析式为；

（2）存在，

如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，当1＜m＜4时，AM=4-m，，

∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①当时， △APM ∽△ACO ，

即4-m=2 ， 解得m 1=2，m 2=4（舍去）， ∴P （2，1）； ②当时， △APM ∽△CAO ，

即，

解得m 1=4，m 2=5（均不合题意，舍去）， ∴当1＜m ＜4时，P （2，1），

类似地可求出当m>4时，P （5，-2）， 当m<1时，P （-3，-14），

综上所述，符合条件的点P 为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）； （3）如图，设D 点的横坐标为t （0＜t ＜4），则D 点的纵坐标为，

过D 作y 轴的平行线交AC 于E ， 由题意可求得直线AC 的解析式为，

∴E 点的坐标为，

∴

∴

∴当t=2时，△DAC 的面积最大， ∴D （2，1）。

4如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G ，H ，且EG+FH=EF ． （1）求线段EF 的长；

（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x 的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．

5．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．

(1)求证：MN∥AB；

(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．

（1）由题中条件可得△ACE≌△DCB，进而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等边三角形，即可得出结论；（2）可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．

解答

（1）证明：∵△ACD与△BCE是等边三角形，

∴AC=CD，CE=BC，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE与△DCB中，

∵AC=CD

∠ACE=∠BCD

CE=BC

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴∠CAE=∠BDC，

在△ACM与△DCN中，

∵∠CAE=∠BDC

AC=CD

∠ACM=∠DCN

∴△ACM≌△DCN，

∴CM=CN，

又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，

∴△MCN是等边三角形，

∴∠MNC=∠NCB=60°

即MN∥AB；

（2）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，

6、如图，在ABC

?中，∠A90

=°，10

=

BC, ABC

?的面积为25，

点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合)，过点D作DE∥BC，

交AC于点E．设x

DE=以DE为折线将△ADE翻折，所得的DE

A'

?

与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.

（1）．用x表示?ADE的面积;

（2）．求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式；

（3）．求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式；

（4）．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

解:(1) ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

C

B

A

∴△ADE ∽△ABC ∴

2

)(BC

DE S S ABC ADE =??

即241x S ADE =

?

(2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5≤x 时 2

41x S y ADE =

=?

（3）x ≤5﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S △A'DE =S △ADE =241x

∴DE 边上的高AH=AH'=x 21

由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN ∽△A'DE 知

2

DE A'MN A')H A'F A'(=??S S 2

MN A')

5(-=?x S

∴

251043

)5(41222-+-=--=

x x x x y

（4）在函数

2

41x

y =

中

∵0﹤x ≤5 ∴当x=5时y 最大为：425

在函数25

1043

2-+-=x x y 中

当

320

2=-

=a b x 时

y

最大为：325

∵425﹤325

∴当320

=

x 时，y 最大为：325

7、如图，抛物线22

12-+=bx x y 与x 轴交于A 、B 两点，与Y

轴交于C 点， 且A （－1，0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标

（2）判断△ＡＢＣ

（3）点Ｍ（m ，0当ＭＣ+ＭＤ的值最小时，求m 的值

解：（1）将A （－1，0）代入2

12-+=bx x y 得2

3-=b ，所以抛物线的解析式2

32

12-=x y 配方得：8

25)2

3(2

12--=x y ，所以顶点

D ??,23（2）求出AC=5，BC=20，而AB=5 ∴222AB BC AC =+，故△ＡＢＣ为RT △

（3）作点C 关于X 轴的对称点E （2，0），

连接DE 交X 轴于点M ，通过两点式可求得直线DE 的 解析式：212

41+-=x y ，当y =0时，解得x =41

24

∴Ｍ（41

24，0）即m=41

24

8．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （12

，52

）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．

分析：

（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．

（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．

解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，

∴m=4+2=6，∴B（4，6），

∵A（1

2，5

2

）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，

∴5

2=（1

2

）2a+1

2

b+6，6=16a+4b+6

解得a=2，b=-8

∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），

∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），

=-2n2+9n-4，

=-2（n-9

4）2+49

8

，

∵PC＞0，∴当n=9

4时，线段PC最大且为49

8

（3）∵△PAC为直角三角形，

i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．

由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；

ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．

如答图3-1，过点A（1

2，5

2

）作AN⊥x轴于点N，则ON=

1 2，AN=5

2

过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，

∴MN=AN=5

2，∴OM=ON+MN=+5

2

=3，

∴M（3，0）．

设直线AM的解析式为：y=kx+b，

则：1

2k+b=5

2

，3k+b=0，解得k=-1，b=3

∴直线AM的解析式为：y=-x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=1

2

（与点A重合，舍去）

∴C（3，0），即点C、M重合．

当x=3时，y=x+2=5，

∴P

1

（3，5）；

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2-8x+6=2（x-2）2-2，

∴抛物线的对称轴为直线x=2．

如答图3-2，作点A（1

2，5

2

）关于对称轴x=2的对称点C，

则点C在抛物线上，且C（7

2，5

2

）

当x=7

2时，y=x+2=11

2

，

∴P

2（7

2

，11

2

）．

∵点P

1（3，5）、P

2

（7

2

，11

2

）均在线段AB上，

∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，

5）或（7

2，11

2

）。