2020-2021学年重庆市育才中学校高一上学期半期数学试题(解析版)

2020-2021学年重庆市育才中学校高一上学期半期数学试题

一、单选题

1．已知命题2:,210p x R x ?∈+>，则p ?是（） A ．2

,210x R x ?∈+≤ B ．2,210x R x ?∈+> C ．2,210x R x ?∈+< D ．2

,210x R x ?∈+≤

【答案】D

【分析】根据命题的否定的定义判断．

【详解】命题2

:,210p x R x ?∈+>的否定是：2

,210x R x ?∈+≤. 故选：D ． 2．若A ={

}{}

22|4,|4y y x B x y x =-==-，则（）

A ．A =

B B ．A B ??=

C ．A ?B

D ．B ?A

【答案】C

【分析】先化简集合A,B ,再判断集合之间的关系. 【详解】2y 4x =-的定义域为[-2,2]，易知u=24x -的值域为[0,4]

故2y 4x =

-的值域为[0,2]

即A =[0,2] ，B =[-2,2] ，易得A B ?，故选: C

【点睛】本题考查了用描述法表示集合，考查了集合的化简与集合间的关系；集合常用的表示方法有列举法，描述法，图示法. 集合{()x y f x =}表示函数()y f x =的定义域，集合{()y y f x =}表示函数()y f x =的值域,属于基础题. 3．函数(

)

y x x =-的图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后令y =0，结合图象分析求解. 【详解】因为函数(

)

y x x =-定义域为R ，且

()()()(

)

()()3

f x x x x x f x --=---=--=-，所以函数是奇函数，故排除C ，

由()

()()3

2112x

y x x x x x =-=-+，令y =0得x =-1，x =0，x =1，当01x <<时，

0y <，当1x >时，0y >，排除AD 故选：B

【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性和零点的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.

4．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则()21f x +的定义域为（） A ．[]0,2 B ．11,22??-????

C ．[]1,1-

D ．[]1,5

【答案】B

【分析】根据0212x ≤+≤可解得结果.

【详解】因为函数()f x 的定义域为[]0,2，所以02x ≤≤，由()21f x +有意义可知，0212x ≤+≤，解得1122

x -≤≤，所以函数()21f x +的定义域为11,22??

-???

?. 故选：B.

【点睛】本题考查了抽象函数的定义域的求法，属于基础题. 5．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y x x = B ．3y x =-

C ．1y x =+

D ．1

y x

【答案】A

【分析】根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.

【详解】A .显然该函数2

x x y x x x

x ?==?-

2y x 为增函数，

0x <时，2y x =- 为增函数，且22x x >-该函数在R 上为增函数，即该选项A 正确；

B .3

y x =-，为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意；

C .1y x =+为一次函数，不是奇函数，不符合题意；

D .1y x

=为反比例函数，为奇函数，在区间(),0-∞以及()0,∞+上都是减函数，不符

合题意；故选：A .

【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，定义是解决该类题目的基本方法熟记基本函数的相关性质是解题基础，是基础题.

6．若函数()f x 满足(32)98f x x +=+，则()f x 的解析式是（） A ．()98f x x =+ B ．()=32f x x +

C ．()=34f x x --

D ．()=32f x x +或()=34f x x --

【答案】B

【分析】设32,t x =+得2

3t x -=，再求()f t ，即得()f x 的解析式. 【详解】设2

32,3

t t x x -=+∴=，

所以2

()983(2+8=323

t f t t t -=?+=-+）所以()=32f x x +. 故选：B.

【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．函数()2

f x x x =

-+的值域为（） A ．(]0,1 B ．10,2?? ???

C ．()0,1

D ．10,2?? ???

【答案】A

【分析】将分母配方，利用2

(1)11x -+≥可得结果.

【详解】因为()21

22f x x x =-+2

1(1)1

x =-+，且2(1)11x -+≥，所以()(0,1]f x ∈，即()2

f x x x =-+的值域为(0,1]. 故选：A

【点睛】本题考查了求函数的值域，属于基础题.

8．若函数()y f x =在区间I 上是增函数，且函数()f x y x

在区间I 上是减函数，

则称函数()f x 是区间I 上的“H 函数”．对于命题：①函数(

)f x x =-+()0,1上的“H 函数”； ②函数()2

21x

g x x

-是()0,1上的“H 函数”．下列判断正确的是（） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为假命题, ②为真命题 D ．①为真命题, ②为假命题

【答案】D

【解析】对于命题①

：令t =,

函数()f x x =-+可换元为2

2y t t =-+

∵t =

在(0,1)上是增函数，函数y=-t 2+2t 在(0,1)上是增函数，∴在(0,1)上()f x 是

增函数；()1G x =

在(0,1)上是减函数，∴

函数()f x x =-+是(0,1)上的“H 函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数

222

()11x g x x x x

--是

（0，1）上的增函数，2

()1

()1g x H x x x =

=- 是(0,1)上的增函数，故命题②是假命题；故选D ．

二、多选题

9．下列不等式，其中正确的是（） A ．3322(,R)a b a b ab a b +≥+∈ B ．()2

32x x x R +>∈

．2

()11

f x x x =+≥- D ．222(1)a b a b +≥--

【答案】BD

【分析】结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．

【详解】解：332222222()()()()()()a b a b ab a a b b b a a b a b a b a b +--=-+-=--=-+，

2()0a b -，+a b 的符号不定，所以33+a b 与22a b ab +的大小不定，A 错误； 2223(1)220x x x -+=-+>，故232x x +>，B 正确； 22

22()1111

f x x x x x =+

=-++--，当210x -<时，()0f x <，故C 错误． 2222222(1)(1)0a b a b a b +-++=-++，故222(1)a b a b +--，D 正确；故选：BD ．

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

10．已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（） A ．函数y x α=的图象过原点 B ．函数y x α=是偶函数 C ．函数y x α=是单调减函数 D ．函数y x α=的值域为R 【答案】AD

【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】由于幂函数y x α

=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.

()0,0，满足3y x =，A 选项正确.

3y x =是奇函数，所以B 选项错误. 3y x =在R 上递增，所以C 选项错误. 3y x =值域为R ，所以D 选项正确.

故选：AD

【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题. 11．已知函数3

()2

bx f x ax +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，则,a b 的取值可以是（）

A ．1a =，3

b >

B ． 012a b <≤=，

C ．=-12a b =，

D ．1

=12

a b =，

【答案】ABD

【分析】将函数解析式变形为23()2b

b a f x ax a

++，结合反比例函数的性质可得22a -≤-，230b a

-<，可得,a b 的关系，分析选项可得答案. 【详解】由题意知，不等式20ax +≠对任意的(2,)x ∈-+∞恒成立.

①当0a =时，3()22

b f x x =+在区间(2,)-+∞上单调递增，则02b

>，解得0b >；

②当0a >时，由20ax +≠，可得2x a ≠-，则2

-≤-，解得01a <≤，

则22(2)333()222b b b ax bx b a a a f x ax ax ax a

++--

+===++++，由于该函数在区间(2,)-+∞上单调递增，230b a ∴-<，3

b a ∴>， A.当1a =时，3322b a >=合乎题意；B.当01a <≤时，3

b a =>恒成立，合乎题意；

D.当12a =时，3

b a =>恒成立，合乎题意；

③当0a <时，则20a

->，函数()y f x =在2

x a =-没有定义，C 选项不合乎题意.

故选：ABD.

【点睛】本题考查分式函数在某区间的单调性，考查反比例函数的性质，属于基础题.

12．已知函数()21

x x f x -=+，下面说法正确的有（）

A ．()f x 的图像关于原点对称

B ．()f x 的图像关于y 轴对称

C ．()f x 的值域为()1,1-

D ．12,x x R ?∈，且12x x ≠，()()

1212

0f x f x x x -<-

【答案】AC

【分析】依次判断每个选项：判断奇偶性得出A 正确，B 错误；利用换元法求()f x 的值域，可得出C 正确；判断函数单调递增可得出D 正确，进而可得出答案.

【详解】对于选项A ，()2121

x x f x -=+，定义域为R ，则2112()()2112x x

x x

f x f x -----===-++，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故A 正确；

对于选项B ，计算()2111213f -=

=+，()()1

12111312

f f --==-≠+，故()f x 的图象不关于y 轴对称，故B 错误；

对于选项C ，212()12112x x x

f x -==-

++，令(),112,x

t t ∈+=+∞，2()1y f x t ==-，易知(,2

1)11t

∈，故()f x 的值域为(1,1)-，故C 正确；对于选项D ，212()12112x x x

f x -==-

++，令(),112,x

t t ∈+=+∞，2()1y f x t ==-，函数12x t =+在R 上单调递增，且2

1y t

在()1,t ∈+∞上单调递增，根据复合函数的单调性，可知2

()112x

f x =-

+在R 上单调递增，故12,x x ?R ∈，且12x x ≠，()()

1212

0f x f x x x -<-不成立，故D 错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用，属于中档题.

三、填空题

．计算2

(8)--? _______.

【答案】

【分析】利用指数的运算法则求解即可. 【详解】

原式2118

42333

?=??=.

故答案为：

. 【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题. 14．函数(

)f x =________．

【答案】[

)3,+∞

【分析】求出函数()y f x =的定义域，然后利用复合函数法可求出函数

(

)f x =.

【详解】令2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，函数(

)f x =

(][),13,-∞-+∞.

内层函数223u x x =--的减区间为(],1-∞-，增区间为[

)3,+∞.

外层函数y =

[)0,+∞上为增函数，

由复合函数法可知，函数(

)f x =[)3,+∞.

故答案为[

)3,+∞.

【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

15．已知函数(23)1,1,(),1

a x x f x a x -+?=?

【分析】首先根据单调性得到23001231a a a a -

【详解】由题意得23001231

a a a a -

，解得3

14a ≤<.

所以实数a 的取值范围是3

[,1)4

. 故答案为：3[,1)4

【点睛】本题考查分段函数和函数的单调性，熟练掌握初等函数的单调性为解题的关键，属于中档题.

16．设函数()x f x e =-函数()g x mx =，若对于[]10,1x ?∈，总[]21,2x ?∈，使得()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】1,2?

?-∞-

???

【分析】首先判断函数()f x 的单调性，依题意只需()()12min min f x g x >，再对参数m 分三种情况讨论，即可求出参数的取值范围；

【详解】解：因为x

y e =、y =

42y x =-在定义域上单

调递减，所以根据复合函数的单调性可得y =

()x f x e =-在定义域[]0,1上单调递增，所以

()()

001min f x f e ===-

对于[]10,1x ?∈，总[]21,2x ?∈，使得()()12f x g x >恒成立，则只需()()12min min f x g x >

因为()g x mx =，[]

1,2x ∈，当0m =时()0g x =，而()1min f x =-，不符合题意；

当0m >时，()g x mx =，在[]

1,2x ∈上单调递增，则()()min 1g x g m ==，所以1

m <-矛盾，舍去；

当0m <时，()g x mx =，在[]

1,2x ∈上单调递减，则()()min 22g x g m ==，所以

210m m <-??

解得1

2m <- 故m 的取值范围为1,2??-∞- ??

故答案为：1,2?

?-∞-

???

【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]

,,y g x x c d =∈

（1）若[]1,x a b ?∈，[]

2,x c d ?∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ?∈，[]

2,x c d ?∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]

1,x a b ?∈，[]

2,x c d ?∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；

（4）若[]1,x a b ?∈，[]

2,x c d ?∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．

四、解答题

17．若集合124x

A x ??

=>???

，{},B x x m m R =≤∈，试写出：（1）A B R =的一个充要条件；（2）A

B R =的一个必要不充分条件.

【答案】（1）2m ≥-；（2）3m ≥-. 【分析】（1）首先求出集合A ，再根据集合A B R =，求出参数m 的取值范围，

（2）由（1）即可求出A

B R =的一个必要不充分条件；

【详解】解：因为集合124x

A x ?

???

，{},B x x m m R =≤∈ 所以集合{}

2A x x =>-，{}

,B x x m m R =≤∈，（1）若A B R =，则2m ≥-，

故A

B R =的一个充要条件是2m ≥-.

（2）由（1）知A B R =的充要条件是2m ≥-，

所以A

B R =的一个必要不充分条件可以是3m ≥-.（答案不唯一）

18．若0x >，0y >，22x y +=. （1）求xy 的最大值. （2）求

x y

+的最小值. 【答案】（1）

；（2）4.

【分析】（1）由基本不等式可得22x y =+≥，运算即可得解；

（2）转化条件为

124142y

x x y x y ??

=++ ???

+，由基本不等式即可得解.

【详解】（1）由题意，22x y =+≥，

1≤即1

xy ≤，当且仅当21x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为

；

（2）由题意，

1211414(2)24222221y x y

x x y x x y x y y x y ??????

++=+++=++ ? ? ?????+=??

24≥=，当且仅当4y x

x y

=即21x y ==时，等号成立，所以

x y

+的最小值为4. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19．已知关于x 的不等式220x ax -+<的解集为{}

2x b x <<. （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式

ax b

x -≤-. 【答案】（1）31

a b =??=?；（2）1,22??

-????.

【分析】（1）由题意可知x b =，2是方程220x ax -+=的两个根.利用韦达定理即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可知

x x -≤-，再写出不等式的等价形式，即可解得；【详解】解：（1）由题意可知x b =，2是方程220x ax -+=的两个根.

由韦达定理可得23

221

b a a b b +==?????==??，所以不等式2320x x -+<的解集为

{}|12x x <<符合题意.

（2）由（1）可知

3112x x -≤-，即31

102x x --≤-，即()31202

x x x ---≤-，(21)(2)0x x ∴+-≤且2x ≠，

∴原不等式的解集为1,22??

????

. 20．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.

（1）求函数()v x 的表达式；

（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =?可以达到最大，并求出最大值.

【答案】(1) 60,030

()1

70,302103

x v x x x ≤≤??

=?-+≤≤??;(2) 当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675

【分析】(1)根据题意可知, ()v x 为分段函数,且当030x ≤≤时()60v x =,再根据当30x =与210x =时()v x 的值,设()v x ax b =+代入求解即可.

(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出()()f x x v x =?的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可.

【详解】(1)由题意可知, 当030x ≤≤时()60v x =,当210x =时, ()0v x =,又当

30210x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设()v x ax b =+,所以

02106030a b a b =+??

=+?,解得1370a b ?

???=? ,故当30210x ≤≤时,1()703v x x =-+. 故60,030

()1

70,302103

x v x x x ≤≤??

=?-+≤≤??. (2)由题, 260,030

()()170,302103

x x f x x v x x x x ≤≤??

=?=?-+≤≤??,故

当030x ≤≤时,()f x 最大值为(30)1800f =.

当30210x ≤≤时, 2

1703()f x x x -

+=开口向下且对称轴为70

105123x =-

=???- ???

,故此时()f x 最大值为2

(105)1051703

1053675f -?+?==.

综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675

【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再根据二次函数性质求最值,属于中档题. 21．已知定义在R 上的函数()f x 对任意,x y R ∈都有等式

()()()1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.

（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；

（2）若()34f =，关于x

不等式)3f t f +>有解，求t 的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2

）()

1-+∞.

【分析】（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，先得到()211f x x ->，再作差得到

()()21f x f x -，判断其正负，根据单调性的定义，即可求出结果；

（2）先由()34f =，根据题中条件，得到()12f =

，将原不等式化为

)

(1)f

t f >，根据（1

1t >，

令[])2,2y x =

∈-，求出其最大值，即可得出结果.

【详解】（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，所以()211f x x ->，又()()()21211f x f x f x x =+--，

所以()()()212110f x f x f x x -=-->，即()()21f x f x >. 故函数()f x 在R 上单调递增.

（2）因为(3)(1)(2)1(1)1(1)(1)13(1)24f f f f f f f =+-=-++-=-=，所以()12f =，

原不等式等价于

)

12(1)f

t f

t f +-=>=，

1t >

1t >-有解，

因此只需max

1t >-，

令[])2,2y x =

∈-，

则24y =+()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，

所以()

max

48y

=+=，所以max y =

因此1t -<1t >-

故t 的取值范围为()

1-+∞. 【点睛】关键点点睛：

求解本题第二问的关键在于根据（1）中判断的函数单调性，将问题转为不等式

1t >能成立的问题，利用分离参数的方法，分离出参数，再构造函

数，通过求函数最值，即可求解. 22．已知函数()2

3f x x m x =+-.

（1）当0m =时，求函数()y f x =的单调递减区间；

（2）当01m <≤时，若对任意的[),x m ∈+∞，不等式()()12f x m f x m --≤-恒成立，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）单调递减区间为：3,2?

?-∞-

???和30,2??

???

；（2）2??-+??. 【分析】（1）当0m =时，将()f x 表示为分段函数的形式，结合二次函数的性质求得

()f x 的单调递减区间.

（2）将不等式()()12f x m f x m --≤-恒成立转化为

24613(1)0x x m x m -+-+-+≥在[),x m ∈+∞上恒成立，由此构造函数()g x ，将

()g x 表示为分段函数的形式，结合()g x 的最小值，由此求得m 的取值范围. 【详解】（1）因为0m =，所以()22

23,0

33,0x x x f x x x x x x ?-≥=-=?+

，

因为函数()2

3f x x x =-的对称轴为32x =

，开口向上；所以当3

x <<时，函数()2

3f x x x =-单调递减；当32x >

时，函数()2

3f x x x =-单调递增；又函数()2

3f x x x =+的对称轴为32x =-，开口向上；所以当302

x -<<时，函数

()23f x x x =+单调递增；当3

2x <-时，函数()23f x x x =+单调递减；因此，函数

()y f x =的单调递减区间为：3,2?

?-∞- ??

?和30,2?? ???；

（2）由题意，不等式()()12f x m f x m --≤-可化为

22(1)3126x x m x x m ----≤--，

即2

4613(1)0x x m x m -+-+-+≥在[),x m ∈+∞上恒成立，令

2()4613(1)g x x x m x m =-+-+-+，则只需min ()0g x ≥即可；因为01m <≤，所

以112m <+≤，因此

2792,1

()4613(1)34,1

x x m m x m g x x x m x m x x m x m ?-++≤≤+=-+-+-+=?-+->+?，

当1m x m +≤≤时，函数2

()792g x x x m =-++开口向上，对称轴为：7

x m =

>+，所以函数()g x 在[]

,1m m +上单调递减；当1x m >+时，函数2

()34g x x x m =-+-开

口向上，对称轴为1

x m =

<+；所以函数()g x 在[)1,m ++∞上单调递增；因此2

min ()(m 1)44g x g m m =+=+-，

由min ()0g x ≥得2440m m +-≥，解得2m ≥-+2m ≤--01m <≤，

所以21m -+≤≤.即实数m 的取值范围为2??-+??.

【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解. 23．求正实数A 的最大值，使得对于任意实数x 、y 、z ，不等式

()2

4442220x y z x yz xy z xyz A xy yz zx +++++-++≥成立.

【答案】见解析

【详解】当x y z ==时，不等式变形为()44

69x A x x R ≥?∈，

即23

A ≤

. 下面证明：A 的最大值为23

. 对于x 、y 、z R ∈，

()()2

44423

x y z xyz x y z xy yz zx +++++≥

++，即(

)()()2

444

332x y z

xyz x y z xy yz zx +++++≥++.

又444222222

x y z x y y z z x ++≥++，则只需证明：

(

)

()()2

222222332x y y z z x xyz x y z xy yz zx +++++≥++，

即()2

x y y z z x xyz x y z ++≥++.

因()()()222

0xy yz yz zx zx xy -+-+-≥，所以，结论成立.