量子力学讲义III.中心势场中的粒子
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III.中心势场中的粒子
1.经典力学中，角动量。量子力学中，轨道角动量算符是否仍有呢？
解：算符与的矢量积中，不出现有不对易因子，的项。例如，
，而
，
由于，，故
其他两个分量和也有类似的结果。
因而，在量子力学中仍有。
2. 质量为的粒子在中心力场
（1）
中运动，证明存在束缚态的条件为，再进一步证明在附近存在无限条束缚态能级。
证明：当势能取式（ 1）时，根据维里定理，在任何束缚态中，有下列平均值关系，
，（2）
所以
（3）
由于，而束缚态，所以存在束缚态的条件为
（4）
在这个条件下，式（ 3）还可以写成
（5）
如能构造一个波包，其径向分布几率集中在附近的范围内，而且，则
（6）
只要足够大，就可以小于任意指定正数，这样就得到无限多条密集在附近的能级。
另外，波包的构成必须受测不准关系的制约，
（7）
由于束缚定态，所以
（8）
（9）
由于必须小于，如，则对于足够大的，上式将给出，不能成为束缚态；反之，如，对于
足够大的，式（9）中的第二项起主要作用，将给出，而且当，，各能级密集在附近
3. 粒子在中心势场中运动，处于能量本征态
（1）
如果已经归一化，则势能平均值等于
（2）
试证明：如为单调上升函数，即，则对于任意给定的距离，均有
（3）
证明：由于是单调上升的，显然对于粒子的任何状态，总可以找到某个，使得
（4）
而且，当时，；当时，。因此，如，式（3）显然成立。如，则
但因
（5）
所以仍得
4. 对于氢原子的基态，求，，验证测不准关系。
解：氢原子基态波函数为
(1)
宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所有
（2）
由于各向同性，呈球对称分布，显然有
（3）
容易算出
（4）
（5）
因此
（6）
（7）
（8）
测不准关系的普遍结论是
（9）
显然式 (8)和(9)是一致的，而且很接近式（9）规定的下限。
5. 以表示轨道角动量。证明：在的任何一个本征态下，和的平均值为 0。
证明：设为的本征态，属于本征值，则
(1)
利用基本对易式
（2）
在态下求平均值，即得
（3）
类似的，将对易式
在态下求平均值，可证。
注意，在证明中只利用了角动量的基本对易式，并没有得到算符和波函数的具体构造式。因此，所得结论适用于任何一种角动
量，即：在角动量的任何一个直角坐标分量的本征态下，的另外两个分量的平均值均为 0。
6. 两个角动量耦合。当和给定时，相互独立的状态数为个。
(1) 以上结论是怎样得出的？
(2) 以为例，列出合成角动量量子数 j及 m的可能取值及相应状态数，验证之。
解：（ 1）当给定时，可能有个取值。当给定时，可能有个取值。因而
共有个，它们组成正交归一的完全系，时非耦合表象的基矢。
可由它们线性叠加为
因而，当和给定时，相互独立的的数目也是个。
（2）时，a 可取值为时，可取值为。
可取值为：。由，故
当，对应个；
当，，对应个；
当，对应个；
对应数目总共正是个。
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