量子力学曾谨言习题解答第五章

第五章： 对称性及守恒定律

［１］证明力学量A

?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2

22

H H A

A dt

d -=

（H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A

? 不显含t ，有

]?,?[1H A

i dt

A d

=

（１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量

]?,?[1H A

i

的平均值，则有： ]?],?,?[[1]?],?,?[1

[

1222

H H A H H A i i dt

A d -==

（２） 此式遍乘2 即得待证式。

［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。

（证明）设A

?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有：

???=

τ

τψψ

d A A ?*

将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）

???-≡=

τ

τψψd A

H H

A i

H A i dt

A d )????(*1]?,?[1

（１） 今ψ代表H

?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H

=? （E 为本征值） （２） 又因为H

?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ

d A H

d A H

??????=)?

(*)?()~

(?* （３）

（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：

τψψτψψd A H i

d H A i

dt

A d )?

(*)?(1)?(?*1??????

-=

???

???-=

τψψ

τψψd A

i

E d A i

E ?**?* 因*E E =，而0=dt

A d

［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H

+=μ

。

（１） 证明

V r p p r dt

d ??-=? μ/)(2

。

（２） 证明：对于定态 V r T ??=2

（证明）（１）z y x p z p y p x

p r ??????++=?

，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r

d t d

?=?

)],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p

p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21,??????[2

22z y x V p p p

p z p y p x

z y x z y x +++++=μ

)],,(,[21],??????[2

2

2z y x V zp yp xp p p p p z p y p x

z y x z y x z y x +++++++=μ

（２）

分动量算符仅与一个座标有关，例如x

i p x ??

= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式

可简化成：

]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r

μ

μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x

z y x +++

],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[2122

2

V p z V p y V p x

p p z

p p y p p x z y x z z y y x x ++++

+

=

μ

μ

μ

（３）

前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：

x x x x p x p

p x p p x ?????]?,??[23

2-= x x x x x x p x p

p x p p x p p x ???????????22

23-+-= x x x x x p p x p

p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p

i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x

x x x x x x =-=-= x

V x i ??=?? （５）

将（４）（５）代入（３），得：

}{)???(]?,??[222z

V z y V y x V x i p p p i H p r z y x ??+??+??+++=? μ

}?{2V r p

i ??+=

μ

代入（１），证得题给公式：

V r p p r dt

d ??-=?

μ

2?)( （６）

（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ?的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r A

??? ?= 则0)??(*2

=??-=?=????

V r p d p r p r dt

d

τ

μ

τψψ （７）

但动能平均值 μ

τψμ

ψ

τ

22?*

2

2p

d p T =

≡

???

由前式 V r T ???=

2

1

［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：

（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=

（３）T V n Cr V n 2,==

（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数

（若是无理式，也可展开成级数）：

∑=

i j k

k

j i

i j k

z y x C

z y x V ),,( （１）

此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：

n k j i =++ （定数）

ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

根据前一题的结论：

V r

T ??=?2 （２） 现在试行计算本题条件下V r ??

的式子及其定态下平均值。

z

V z

y V y x V x V r ??+??+??=??

∑??+??+??=k

j i i j k z y x C z

z

y

y x

x )(

∑∑∑---++=1

1

1

k j i i j k k j i

i j k k

j

i i j k z

y x kC z z y x jC y z y x iC x

∑++=i j k

k

j

i

i j k z y x C k j i )(

),,(z y x nV =

这个关系在数学分析中称Euler 的齐次式定理。再利用（２）即得：

V n T =2 （３）

本证明的条件只要V r ??不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接

用于几种特例，并另用（２）式加以验证。

（１）谐振子：)(2

2

32221z y x V ωωωμ++=

直接看出2=n ，根据（３）式知道

V T 22=，即 V T =

也可以根据前一题的结论，即（２）式直接来验证前一结论

z

V z

y

V y

x

V x

V r ??+??+??=??

z z y y x x 321μωμωμω?+?+?= V z y x 2)(232221=++=ωωωμ

V V r 2=??

，由（３）式可知V T =

（２）库仑场 2

2

2

1z

y x V ++=

直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2

但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：

z

V z

y V y x V x V r ??+??+??=??

2

/32

2

2

2

/32

2

2

2

/32

2

2

)

()

()

(z y x z

z z y x y

y z y x x

x ++-?

+++-?

+++-?=

V z

y x -=++-

=2

2

2

1 V V r -=??

代入（２）式，亦得到 V T -=2

（３）场22

22)(),,(n

n

z y x C Cr

z y x V ++==

直接看出Ｖ是z y x ,,的n 次齐次式，故由（３）式得：

V n T =2

仍根据（２）式来验证：

z

V z

y V y x V x V r ??+??+??=??

)2()

(2

)2()

(2

1

2

2

221

2

2

22y z y x n y x z y x n x n

n ?++?

+?++?=--

)2()(2

1

2

2

22z z y x n z n

?++?

+-

V n z y x n n

=++=22

22)(

由（２）得 V n T =2，结果相同。

本小题对于n 为正、负都相适，但对库仑场的奇点0=r 除外。

［５］证明，对于一维波包：

)(1

2

px xp x

dt d +=

μ

（解）一维波包的态中，势能不存在故 μ

2??2

x p

H

= （自由波包）

依据力学量平均值时间导数公式：

]2?,?[1]?,?[12

2

2

2

μ

x p

x

i H x

i x

dt d

==

]?,?[212

2x p x i

μ=

（２）

但 22

2222????]?,?[x p p x p x

x x x -= )????????()????????(x p p x p x p x p x p x p p x x

x x x x x x x x -+-= )????????()????????(x x p p x p x p x p x p x p p x

x x x x x x x x -+-+ x p x p x p p x p x p x p p x x

x x x x x x x x ?]?,?[???]?,?[]?,?[???]?,?[?+++= （３） 因 i p x

x =]?,?[ )????(2]?,?[22x p p x

i p x x x x += （４） 代入（２）式，得到待证的一式。

［６］求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。

（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表

象的力学算符)(?t A

应满足：

]?,?[1?H A

i

dt

A d =

（１）

又对于自由粒子，有μ

2??2p H

=（p

? 不随时间t 变化） 令)(?)(?t x t A

=为海氏表象座标算符；代入（１）

]2?),(?[1)(?2μ

p t x

i

dt

t x d =

]?),(?[21)(?2p t x

i

dt

t x d μ=

（２） 但 x p p x p t x

????]?),(?[222-= x p p p x p p x p p p x ????????????-+-=

p i p x p p p x

?2]?,?[??]?,?[ =+= （３） 代入（２），得： μ

μp

i

p

i dt

t x d ?21?2)(?=

=

积分得 C t p

t x

+=μ

?)(?

将初始条件0=t 时，)0(?)(?x t x

=代入得)0(x C =，因而得到一维座标的海氏表象是： )0(??)(?x

t p

t x

+=μ

［７］求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。 （解）用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：

2

?21?2

22x p H

μωμ+= （１）

解法同于前题，有关坐标)(?t x

的运动方程式是：

]2

)(?2)(?),(?[1)(?2

22t x

t p t x

i

dt

t x d μωμ

+

=

（２）

将等式右方化简，用前一题的化简方法：

μ

μω

μμωμ

)(?]?,?[2]?,?[21]2

,?[12

2

2

2

22

t p

x x

i

p x

i

x p

x

i

=+=

+

?

)(?1

)(?t p

dt

t x d μ

=

（３） 但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p ?与t 有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：

]2

)

(2)(?),(?[1)(?2

22t x t p t p

i dt

t p d μωμ

+

=

化简右方

}????{2]2

)

(),

([1222

2

2

p x x p

hi

t x t p hi

-=

μωμω =

}?????????{22

p x x x p x x x p

hi

--μω

=

)(?]}?,?[??]?,?{[2222

t x x p x x x p

hi

μωμω

-=- )(?)(?2

t x

dt

t p d μω-=⑷ 将⑶对时间求一阶导数,并与⑷式结合,得算符)(?t x 的微分方程式: 0)(?)(?2

2

=+t x

dt

t x d ω ⑸ 这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率ω，它的解是：

t B t A t x

ωωsin ?cos ?)(?+= ⑹ A

?，B ?待定算符，将它求导，并利用⑶： )sin ?cos ?()(?t A t B t p

ωωμω-= ⑺ 将t=0代入：x(0)=A P （0）=μωB ，最后得解：

t p

t x t x

ω

μω

ωsin )0(?1

cos )0(?)(?+= ⑻ )sin )0(cos )0()(t x t p t p ωμωω-= ⑼

在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中：

x

i p

x x ??== )0(??)0(? c.f.P .Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley

[8] 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：

/][/?21?,2

j

j

i j i i i

i i

r r V p

m H

-+=∑∑

< ⑴ 证明：总动量∑

=i

i

p p

?? 为守恒。 ⑵ [证明]：待证一试是矢量算符，可以证明其x 分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒

条件这要求： 0]?,?[=H p

x ⑶ /)](/?21,?[]?,?[,2

j j

i i

i

i i i

ix x r r V p

m p

H p

-+=∑∑∑ =/)](/,?[]?21,?[,2

j j

i i i

ix i

i i

i

ix r r V p p

m p

-+∑∑∑∑ =])???(21)???(21,???[2

222

12121i 21?+++?+++??+iy iy ix i

y y x i

x x x p p p

m p p p

m p p p + ]/)(//)(/ /)(/,???[3221i 21?+-?-+-??+j i x x x r r V r r V r r V p p p

⑷ 最后一式的第一个对易式中，因为：

0]?,?[2

=jy ix p p

， 0]?,?[2

=jy iz p p ，0]?,?[=jz ix p p 故整个 0]?21,?[2

=∑∑i

i i

i

ix p

m p

至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式

∑∑<---=

-j

i j i j i j i j i

j j

i i z z y y x x

V r r V ,,),,(/][/

=

)},,(),,({2

1,j i j i j i j

i j i j i j i

z z y y x x V z z y y x x

V ---+---∑

又⑷式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同座标的座标算符和

动量算符永远能够对易，⑷式又能简化成：

]),,(?,?[]?,?[∑∑---=j

j

i j i j i i

ix x z z y y x x V p H p =∑

∑---+---i

i

j i j i j j i j i j i j

ix z z y y x x V z z y y x x V p

)}],,(?),,(?{2

1,?[⑹

再运用对易式（第四章11题）

i

i i i

i ix x x V i

x F x i x F p

??=

??

=)()](,[)](,?[

代入上式得：

])],,(?

[2

1,?[)],,(?

[2

1,?[]?,?[∑∑∑∑---+---=i

i

i j i j i j j

ix

j i j i j i j

ix

x z z y y x x V p

z z y y x x V p

H p

=022=??-??∑∑

∑

∑

i

i

j

i

x V i x V i

满足⑶式，故⑵式得征。

[9] 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量∑=

i

l L ?

?

为守恒。

[证明]与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能)(j i r r V

-，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能：

][?21?,2

j j

i i i i

r r V p

H

-+=∑μ ⑴

要考察合力矩是否守恒，可以计算]?

,?[H L 的分量看其是否等于零。

]][?21),([]?,?

[,2

∑∑∑

-+-=i

j j

i i i

i i

iy i iz i x r r

V p

p z p y H L

μ

)]

)(,,(),,()[()])(???()???()[(212

2222

2iy i ix i j i j i j i i

j i j i j i j

iy i iz i

iy i iz i iz iy ix iz iy ix i iy i iz i i

p z p y z z y y x x V z z y y x x V p z p y

p z p y p p p p p p

p z p y ---------+-++-++-=

∑∑∑

μ

]

)()[()]??()??()??()??()??()??[(212

2

2

2

2

2

2

2

22

22

∑∑∑

-+-+-+-+-+-+-+-=

i

j

iy i iy i zi ix i ix i

iz iy i iy i iz iy i iy i iz ix iy i iy i ix iz i iz iz i iz i iy iy iz i i iz i ix ix iz i i

V p z p z V p Vy V p y

p p z p z p p z p z p p p z p z p

p y p

p y p y p

p p y p y p

p

p y μ⑶

最后一式中，因为

0],[],[],[],[2

2

2

2

====iy iz ix iz iz iz iy ix p p p p p p p p 因而⑶可以化简：

]}

,[],{[}],?[000?]?,[0{[21]?,?[2

2∑∑∑

++

+++++=i

j

iy i i iz

iy i iz i ix iy i i

x p V z V y p

p z p p p

y H L μ

用对易关系：

]}[][{

}22{21]?,?[V z y i V y z i p p p ip H L i i

i i

i

j

iy iz i

iz iy i

i

x

??-

??+

-=∑

∑∑

μ

∑??-??=

j

i i

i

i

i

y z z V

y

i

,}{ ⑷

最后一式第一求和式用了y iy iy ip p p 2],[2

=等，第二求和式用了：x

f i x f p x ??= )](,[

见课本上册P111，最后的结果可用势能梯度[内力]表示，因内力合矩为零，故有

0]?,?

[,,∑

∑

=?=

??=j

i i i j

i i x f r i

V r i

H

L

同理可证 0]?,?[=H L y 0]?,?[=H L z 因此L ?

是个守恒量。

……………………………………………………………………………………………………… [10]证明：对经典力学体系，若A ，B 为守恒量，则{A ，B}即泊松括号也为守恒量，但不一

定是新的守恒量，对于量子体系若A

?，B ?是守恒量，则}?,?{B A 也是守恒量，但不一定是新的守恒量。

[证明]先证第一总分，设q i 为广义坐标，p i 为广义动量，A{ q i ，p i }和B{ q i ，p i }是任意

力学量, i=1,2,3,…ε为坐标或动量编号，s 自由度，则经典Poisson 括号是：（前半题证明c.f.Goldstein ：Clessical Mechanlcs ）

i

i i

i

i

q B p A p B

q

A B A ????-

????≡

∑},{

在经典力学中，力学量A 随时间守恒的条件是

0},{=i i q p A dt

d

或写作：0=????-

????+

??=∑t

p p A t

q q

A t

A dt

dA i i i

i

i

将哈密顿正则方程式组：

i

i p H dt

dq ??=

i

i q H dt

dp ??-

=

代入前一式得

0},{=+??=

????-

????+

??=

∑H A t

A q H p A p H

q

A t

A dt

dA i

i i

i

i

因此，若力学量A ，B 不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是：

0},{=H A ⑵ 0},{=H B ⑶

假定以上两条件都适合，我们来考察{A ，B}是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立：

0}},,{{=H H A ⑷

为了考察前一式，可令：}},{,},{,{H A B H B A I -≡ ⑸ 将此式用泊松括号的定义展开得：

∑∑????-

??????

??-

??

??≡

k

K

K K K i

i

i i

i q H p B p H q B q p A p q A I }{

}{

∑∑????-

????????-????-

i

i

i i

i k

K

K K K q H p A p H q A q p B

p q B

}{

}{

仔细地展开前一式的各项，将发现全部有关H 的二阶导数都抵消，只留下H 的一阶导数的项，化简形式如下： ∑??+??=

i

i

i

q H B A G p H B A F I })

,()

,({ ⑹

式中F ，G 都含A 和B 的导数，为了确定这两个待定系数，可令H 等于特殊函数i p (这不失普遍性，F 与H 无关)，代入⑸式后有

}

,{},

{},

{}},{,{}},{,{B A q q A B q B A p A B p B A I i

i

i

i i ??=

??-??=-=

前式中},{i p B 的值可在⑴中，作替代A —>B ，B —>i p 得到，},{i p A 求法类似。再在⑹式中，令H=i p ，得：I=F （A ，B ）因而得： },{),(B A q B A F i

??=

同理令H=i q 得：},{),(B A p B A G i

??-

=

将所得的F 和G 代入⑹，并将这结果再和⑸等同起来，得到： {A ，{B ，H}}—{B ，{A ，H}}

}},,{{}}

,{}

,{{

H B A q H B A p p H B A q i

i

i

i

i

=????-

????=

∑

这个式子说明：如果（2），（3）满足，（4）式就成立即{A,B}守恒。

在量子力学体系情形，B A

?,?守恒的条件是 0]?,?[=H A

0]?,?[=H B 再考察 ]?,????[]?]?,?[[H A B B A H B A

I -== ]?,??[]?,??[H A B H B A

-= 将此式加减A H B H B A

??????+后得到： A B H A H B B H A H B A H B A

?]?,?[]?,?[??]?,?[]?,?[?]?]?,?[[+++= 若A

?，B ?是守恒量，前一式等号右方0]?,?[=H A ，0]?,?[=H B ，左方0]?]?,?[[=H B A 所以]?,?[B A

也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，若B A ?,?是守恒量，则H B A ?,?,?有共同本征态，在此态中测得B A ?,?的值为确定值A 0和B 0（初始时刻的值），]?,?[B A

的值为0。 [11]粒子系处在下列外场中，指出哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称， 是守恒量。 ⑴自由粒子

⑵无限的均匀柱对称场 ⑶无限均匀平面场 ⑷中心力场 ⑸均匀交变场 ⑹椭球场

[解]要判断哪些力学量守恒,需要将力学量P H l p

?,?,?,? [宇称量]等表示成适宜的形式,再考察]?,?[H A

等是否是零,但A ?是该力学量,若该交换式是零就说明A ?是个守恒量,下面各种场的分析中, l p ?,? 的分量或其平方, P H

?,?等逐个立式考虑, ⑴[自由粒子] 0?=V

μ

2??2p H =

[a] 0)]???(21,?[]?,?[2

22=++=z y x x x p p p

p H p μ

同理 0]?,?[=H p

y 0]?,?[=H p z [b] 0)????(21)]???(21),????([]?,?[2

22=-=++-=y z x y z y x y x x p p p p

p p p p z p y i H l μ

μ 同理0]?,?[=H l y 0]?,?[=H l z

[c]设P ?为宇称，对任意波涵数),(t r

ψ ),()}(

2{???2

22

22

22

t r z

y

x

P H P

ψμψ??

+

??

+

??

-=

),())

()

()

((

22

2

2

2

2

2

2

t r z y x

--??

+

-??

+

-??

-

=ψμ

),(??),(?t r P H t r H ψψ=-=

P H H P

????= 或 0]?,?[=H P 此外H 不显含时间，故总的说P H l p

?,?,?,?守恒。 ⑵[无限均匀柱对称场]

柱对称场若用柱面座标),,(z R ?表示势能时,形式为V(R),是对称的哈氏算符,凡以z 轴为对称轴的柱面上各点，势能V(R)相同。

)(})

(1)]([

1

{

22

22

22

2

R V z R

R

R

R

R H +??

+

??

+

????

-

=?

μ

[a]动量算符 )s i n (c o s

??

????-

??=R

R i p

x ，

)c o s (s i n ??

????+

??=R

R

i

p

y ，

z

i p

z ??= ?

直截代入相应的对易式，得：

0]?,?[≠H p

x 0]?,?[≠H p y 0]?,?[=H p z [b]角动量分量 }c o s c o s s i n {?z

R R z R z i l x ??

+??-??-=????

}c o s s i n c o s {?z R R z R z i l y ??

-??-??=????

?

??

=i l z ?

直截代入相应的交换式，得：

0]?,?[≠H l x 0]?,?[≠H l y 0]?,?[=H l z

[c] ),()}?(?21{),()}?(?21{?),(??22t r r V p t r r V p P t r H P --+=+=ψμ

ψμψ 柱面对称性的表示式)()(r V r V

-=

故前式成为 ),(??),(??t r P H t r H P ψψ= 0]?,?[=H P

此外H

?也不显含时间t ，总的说来P H l p z z ?,?,?,?四力学量守恒。Z 是柱面对称轴方向的座标。 ⑶[无限均匀的平面场]

均匀平面场在一平面内势能不为零,并且处处相等,而与该点的座标无关,记作0V .

2

202?)??(21??21?V p p V p H y x ++=+=μ

μ [a] ]?)??(21,?[]?,?[0

2

2V p p p H p y x x x ++=μ

0)]?,?()??(21,?[0

2

2=++=V p p p p

x y x x μ

同理0]?,?[=H p

y [b]角动量l ?

系沿着z 轴,故0?=x l ,0?=y l , x y z p y p x

l ?????-= 0]?,?[=H l x 0]?,?[=H l y

]?)??(21,????[]?,?[0

2

2V p p p y p x H l y x x y z ++-=μ

0)????(21=-=

y x x y p p i p p

i μ

0]?

,?[=H l z

[c] ),,(})(2{???02

2

222t y x V y

x P H P ψμψ+??+??-= ψψμP H

t y x V y x ??),,(}))

()

((

2{02

2

2

2

2

=--+-??

+

-??

-

=

0]?,?[=H P

H

?不显含t,总起来说P H l p z ?,?,?,? 守恒. 本题和三维自由场类似,差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒. ⑷[中心力场]

这种场的势能V(r),哈氏算符

)(}?

)(1{2222

2

22

r V r l r r r r H +-??

??

-

=

μ ⑴

动量算符如下: }sin sin cos cos cos {sin ??θ?θ

?θ?

θ??

-

??

+

??=

??=r r

r i x i p

x

}sin cos sin cos sin {sin ??

θ?

θ

?θ?

θ??

-

??

+

??=??=r r

r

i

y

i p

y ⑵

}sin {cos ?θ

θθ??-

??=??=r

r

i

z

i p

z

由于x

??等不能与H

?中所含V(r)对易,因而各分量x p ?等都不和H ?对易,即0]?,?[≠H p x 等式成立，

}sin 1

)(sin sin 1

)(1{

?2

22

2

2

2

2

2

2

?

θθ

θ

θ

θ??

-

????

-

????-=r r r

r

r

r

p

)(

2

22

22

22

z

y

x

??

+

??

+

??

-= 和V （r ）对易，也不与H

?对易。即0]?,?[2≠H p [b]角动量算符是：

}cos {sin ?

??θθ???

+??=ctg i l x

}sin {cos ???θθ???

-??-=ctg i l y

?

??-=i l z ?

}sin 1)(sin sin 1{?2

2

22?

θθθθθ??+????-=i

l ⑶ l ? 及其分量仅与角度),(?θ有关，与r 无关，因而x l ?等和2

?l 和势能V

（r ）对易直接看出：（见课本113页）

0]?,?[2

=l l z

直接代入能证：0]?,?[2=l l x 0]?,?[2

=l l y

0}}?1)(1{

2,{]?,?[2

2

2

2

2

2

=-

????-

??-=l r

r

r

r

r

i H

l z

μ

?

同理关于x l ?，y l ?。

0}}?1)(1{2,{],?[2

22222

22=-????-=l r

r r r r l H l μ

[c]中心力场是球对称势场，即在同一球面上势能相等（等势面球形）)()(r V r V

=- 对任意波函数),(t r

ψ，有

),()}(2?{?),()(??2t r r V p P t r r H P ψμ

ψ+= ),(??),()}(2?{),()}(2?{22t r P H t r r V p t r r V p

ψψμ

ψμ=-+=--+=，

0]?,?[=H P

中心力场的守恒量是P H l l ?

,?,?,?2 。

⑸[均匀交变场]

这种势场可以是三维的，但既是均匀的，则势能不应依赖于座标，而只依赖于时间，例如写成标量场形式

t V V ωcos 0=

这样，在每一个指定时间t 就是一个空间中的均匀场，其性质就和三维自由粒子场相仿。P H l k ?,?,?,? 守恒量。

但若这种场是矢量场，例如一个电场沿z 轴，随时间作交变，这样对称性要减低。

k t V V

?=ωcos 0（k 沿z 轴单位矢） 则守恒量是P H l p p

x y x ?,?,?,?,?

⑹[椭球场]

这种势场的对称性,在于场的等势面是一群椭球面,因而势场写作:

222)()()()(c

z b y a x r V ++=

这可以用直角坐标形式的算符来讨论:

})()(){()(2?2222

2

22

22

2

c z b y a x z

y x H +++??+??+??-=μ 动量算符是：x

i p x ??= ? ，y

i p

y ??= ? ，z

i p

z ??= ?

另两个轮换对称。

由于直角坐标与其共轭动量不对易，即i

x p

x =]?,?[等

}])()(

){(

)(

2,[]?,?[22

2

2

22

22

22

c z b y

a

x z

y

x

x

i H p

x +++??

+

??

+

??

-

??=μ

一式中0]?,?[2≠x p

x ，所以动量不守恒，同理 }])()(){()(2),([]?,?[2222

2

22222c z b y a x z

y x y z z y i H l x +++??+??+??-??-??=μ 此式之中x l ?与T

?，V ?两部分都不能够对易，因而角动量也不守恒。 椭球形势场中粒子的守恒只会有H

?和P ?两种。 c.f.D.特哈尔：量子力学习题集：§3。31题p154—p 。160。 [12]对于平面转子（转动惯量I ），设：??ψ2

sin )0,(A = （1） 试求),(t ?ψ

[解]平面转子的定位坐标是转角?，这种坐标相当于球面极坐标中r=常数，2

π

θ=，=?自

变量的情形。

首先推出哈氏算符，在经典力学中，若刚体对旋转轴转动惯量I ，角动量（相当于x l ?）x

l ?和动量T 的关系是T=

2

21x l I

，转子的势能是零，又在球面极座标中导得?

??=

i l z ，故转子

哈氏算符：2

22

2??

??-=I H

⑴

根据本章§5.1的⑵状态的波函数采用海森伯表象时记作)0,(r

?，采用薛定谔表象时是

)0,(r

ψ,则二者有函数变换关系是：

)0,(),(/?

r e t r t H i ψ?-= ⑵

本题是该公式的典型用法的示例，本题情形，所用变换算符不显含时间，根据⑴式有：

2

22//??

??

-=I t i t H

i e

e

⑶

将⑶式运算于题给的海森伯表象波函数

)22cos 1()()2(!1)

2

2cos 1(

),(),(22

2/2

2??

?

??ψ?

-??=

-==∑

∝

=??n n n I

t i I it n e

t t r

注意到：

?π???

2sin 2)2cos(22cos -=+=??

???2cos 22cos 2

2

2-=??

?

π???

2cos )4()2cos(2

2cos 222n

n

n

n n -=+=??

2

2cos )2(!12

1

)22cos 1()2(!1),(0

?

??ψn n n n I it n I it n t --=--=

∑

∑

∝

=∝

=)

4(}2cos 1{2

12

2cos })2(!1{2120

----------=?--=

-∝

=∑

??

I

it n n e I it n

⑷还是非归一化的波函，要将),(t r

ψ归一化，应乘常数

π

34。

[13]证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性，即设惯系K ＇以速度v 相对于惯性系K （沿x 轴正方向）运动时，空间任何一点，两座标系中的坐标满足：

x=x ＇+vt ＇ y=y ＇ z=z ＇

t ＇=t ⑴

势能在K ＇K 两坐标系中的表示式有下列关系

V ＇（x ＇,t ＇）=V ＇(x-vt,t)=V(x,t) ⑵ 证明若在K ＇中薛定谔方程式是

ψμψ''+'

??

-

='

?'?)2(2

2

2

V x t i

则在K ＇中：ψμψ)2(2

22

V x

t

i

+??

-

=??

其中：),(),()

2(2

t vt x e

t x t v

x v i -'?=-

ψψ

⑶

[证明]从伽利略变换定义可知，在⑴式中当t=0时，x=x ＇，t=t ＇，因此在时刻t=0一点的波函数),(t x ψ与),(t x '''ψ相重合，这个关系和§5.1⑵的海森伯，薛定谔表象变换:

)0,(),(/?r e

t r t H

i

ψ?-=

为普遍起见,我们假设K,K ＇间的变换用一未知的么正算符),(?t x U

表示。关于这一点也可以用变换前后的几率相等来解释2

2

),()

,(t x t x ''=ψψ。

),(),(?),(t x t x U

t x ψψ=''' ⑷ 逆变换 ),(),(?),(1

t x t x U

t x '''=-ψψ ⑸

从⑴知道：

x

x

x x x ??=

???

'

??=

'

??

x

v

t

x

t x t

t t t ??+??=

??'??+

??'??=

'

?? ⑹

已知在K ＇描写态的波函数),(t x '''ψ满足：

),(),(),(22

2t x t x V t x x t i '''''+''''

??

-

='

?'?ψψμψ

⑺

将⑷和⑹的关系代入；并注意势能V （x,t ）是变换的不变量