2020高中数学回归课本校本教材23-数学归纳法

高中数学回归课本校本教材23

——献给2009年赣马高级中学高三考生

数学归纳法和放缩法 （一）基础知识

1. 数学归纳法公理：

如果（1）当n 取第一个值0n （例如01,2n =等）时结论正确；（2）假设当n k =（*k N ∈，且0k n ≥）时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确．那么，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．

注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；

（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；

（3）运用数学归纳法证明时，一定要严格按照要求格式书写．

2. 数学归纳法公理来源于游戏:在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．

3.数学归纳法适用：（Ⅰ）数学归纳法证明不等式；（Ⅱ）数学归纳法与数列

4. 放缩法求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 注：常用放缩的结论：（1）1

111111(2)1(1)(1)1k k

k k k k k k k k

-=<<=-≥++-- （2）2)

k ≥ （二）基本计算 1. 放缩法

（1）先求和后放缩：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()1n n a a f n +-=）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．如：数列1

{

}(21)(21)

n n -+的前n 项的和为n B ，

求证：12n B < 解：

1111

()(21)(21)22121n n n n =--+-+，所以

111111111

(1)2335212122(21)2

n B n n n =-+-

-=-<-++ （2）先放缩再求和：

放缩后成等差数列，再求和：如：已知各项均为正数的数列{}n a 的前

n

项和为

n

S ,且2

2n

n n a a S +=. 求证：

???：(1)2n n n S += 因为1n n +n S

(

2n n ++

2+

222

222n S S >

+++

= 放缩后成等比数列，再求和． 放缩后为差比数列，再求和 如：已知数列{}n a 满足：11=a ，1

(1)(1,2,3)2n n n n a

a n +=+

=．求证：111

32

n n n n a a +-+>≥- 证明：因为1(1)2n n n

n

a a +=+

，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即1

02n n n n

n

a

a a +-=

>，即n n a a >+1．所

以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即1

22n n n n n n n a

a a +-=

≥，累加得：121

12

122

2n n n a a ---≥+++

．令21

12

1

22

2n n n S --=+++，所以1

1212

22

2n n n S -=

+++

，相减得：11111

112222

22n n n S --=++++

-，所以122n n S +=-，所以132n n a +≥-，故得11

32

n n n a a ++>≥-． 放缩后为裂项相消，再求和2

2n n n b n n

+=

++，求证： ,2,1,32221=+<++

22,1,2,2n n n b n n n +=

+>=+，所以122n b b b n +++>.又因为222

2,1,2,22

n n n b n n n n n +=

+=+-=++，所以

121111

1122[()()()]1324

2n b b b n n n ++

+=+-+-+

+-+=22

232312

n n n n +--<+++. 2．数学归纳法如何续写1n k =+的表达式：

如：“*(1)(2)()213(21),n n n n n n n N ++???+=???????-∈”时，从“n k =”变到 “1n k =+”时，左边应增乘的因式是 (21)(2

2)

1

k k k +++

如：证明“(1)(2)

()212(21)n n n n n n +++=???

?-”（n N +∈），从 “1n k n k ==+到”时，左边应增添的式子是__ __。2(21)k +

如：已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111

12()234

124

2n n n n

-

+-++

=+++

-++时，

若已假设(2n k k =≥为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 2+=k n 时等式成立，k 为偶数时，其后继偶数应是k+2。

如：111

11234

21n

n ++++

+

≤-：当1n k =+，左边1

1

11

1(1)()2

212

2

1k

k k k +=+++

+++

≤+--（11

122

2k k k +++

）1

212

k k k k =+?=+=右 3. 数学归纳法证明的关键是由n k =推证1n k =+。 （1）分析法、比较法（作差、作商）补充证明

如：已知*

001a b n n >>>∈N ，，，．用数学归纳法证明：()

22

n

n n

a b a b ++≥. 【证明】（1）当n =2时，左边－右边＝()()

2

2

22

0a b a b

a b ++--=≥，不等式成立. （2）假设当n =k （*,1k k ∈>N ）

，不等式成立，即()

22

k

k k

a b a b ++≥.因为*001a b k k >>>∈N ，，，，所以11()()()()0k k k k k k a b a b ab a b a b +++-+=--≥，

于是1

1k k k k a

b a b ab ++++≥. 当n =k +1时，()()

1

11112

2

2224

k k

k k k k k k

a b

a b

a b a b a b a b a b ab +++++++++++++??==≤ 1

11111k k k k k k a

b a b a b ++++++++++=≤.即当n =k +1时，

不等式也成立.综合（1），（2）知，对于*001a b n n >>>∈N ，，，，

不等式()

22

n

n n

a b a b ++≥总成立.

（2）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有正整数问题都是用数学归纳法证明；

如：已知()12

1,2,3,n n n n n

a A A A n =++

+=，当n ≥2时，求证：⑴11n n a a n -+=

；⑵123111

1

(1)(1)(1)(1)

n

a a a a ++++13n <-： 由（1）得

1111n n n n a a a na ---+=，即1111n n n a a na --+=，所以234123

123111

1(1)(1)(1)(1)234n a a a a a a a a a a +?+?+??+

=??

…1

(1)n n

a n a ++ 11

(1)!(1)!n a n n +=

=

++)A A A (112111+++++++n n n n 11!(1)!n n =

++-…1112!1!+++ 11

(1)(1)(2)

n n n n ≤++---…1212+

+? 1111(

)()112n n n n =-+++--- (1)

(1)22

+-+n

1

3-

=． 如：数列{}1

,n n b b n =，123n n S b b b b =++++，6(2)(1)(21)

n n

S n n n >

≥++；

证法1: 当1215

21,44

n n S b b ==+=+=时612454,(1)(21)35545n n n ==>++?而

故2n =时成立；213,n n b n

≥=>时由 111

(1)1n n n n =-++

1231111111(1)()()()223341n n S b b b b n n =+++

+>-+-+-++-+1111n n n =-=++6216121n n +>>+得61(1)(21)

n n n

S n n n ∴>>+++

证法2：ⅰ212152,144n S b b ==+=+

=时；61242(1)(21)355n n n n ===++?故时不等式成立； ⅱ假设(2)n k k =≥时，6(1)(21)

k k S k k >++成立 21161681

(1)(21)(1)(1)(21)

k k k k k k S S b k k k k k ++++=+=

+=

+++++

26816(1)(1)(21)(2)(23)k k k k k k k +++-++++ 23(681)(2)(23)6(1)(21)

(1)(21)(2)(23)

k k k k k k k k k k ++++-++=++++

322

1640250(1)(21)(2)(23)

k k k

k k k k ++=

>++++16(1)(2)(23)K k S k k ++∴>++成立根据ⅰ）ⅱ），可知62,(1)(21)n n S n n N n n *>≥∈++对于都成立 2k 项