高中数学排列与组合的知识点总结

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

排列组合公式/排列组合计算公式

排列P------和顺序有关

组合C-------不牵涉到顺序的问题

排列分顺序，组合不分

例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列"

把5本书分给3个人，有几种分法"组合"

1.排列及计算公式

从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号pn，m表示.

pn，m=nn-1n-2……n-m+1=n!/n-m!规定0!=1.

2.组合及计算公式

从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

cn，m表示.

cn，m=pn，m/m!=n!/n-m!*m!;cn，m=cn，n-m;

3.其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn，r/r=n!/rn-r!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为

n!/n1!*n2!*...*nk!.

k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为cm+k-1，m.

排列Pnmn为下标，m为上标

Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标

=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n

组合Cnmn为下标，m为上标

Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标=1;Cn1n为下标1为上标

=n;Cnm=Cnn-m

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*n-1*n-2..n-r+1;

因为从n到n-r+1个数为n-n-r+1=r

举例：

Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数?

A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计

算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可

以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种

可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P3，9=9*8*7，从9倒数3个的乘积

Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组

合成多少个“三国联盟”?

A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要

求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C3，

9=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1设有3名学生和4个课外小组.1每名学生都只参加一个课外小组;2每名学生都

只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?

解1由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的

人数，因此共有种不同方法.

2由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法.

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算.

例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种?

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴符合题意的不同排法共有9种.

点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.

例3判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.

1高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信?②每两人互握了一次手，共握了多少次手?

2高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?

3有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积?

4有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?

分析1①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题.其他类似分析.

1①是排列问题，共用了封信;②是组合问题，共需握手次.

2①是排列问题，共有种不同的选法;②是组合问题，共有种不同的选法.

3①是排列问题，共有种不同的商;②是组合问题，共有种不同的积.

4①是排列问题，共有种不同的选法;②是组合问题，共有种不同的选法.

例4证明.

证明左式