第四章 数学单元测试

第四章单元测试

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)

1. 集合M＝{x|x＝sin nπ

3，n∈Z}，N＝{x|x＝cos

nπ

2，n∈N}，则M∩N等于

( )

A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{0} D．?答案 C

解析∵M＝{x|x＝sin nπ

3，n∈Z}＝{－

3

2，0，

3

2}，

N＝{－1,0,1}，

∴M∩N＝{0}．应选C.

2．已知α∈(π

2，π)，sinα＝

3

5，则tan(α＋

π

4)等于( )

A.1

7B．7

C．－1

7D．－7

答案 A

解析∵α∈(π

2，π)，∴tanα＝－

3

4.

∴tan(α＋π

4)＝

－

3

4＋1

1＋

3

4

＝

1

7.

3. 已知函数f(x)＝sin(πx－π

2)－1，则下列命题准确的是( )

A．f(x)是周期为1的奇函数

B．f(x)是周期为2的偶函数

C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数答案 B

解析 f (x )＝－cosπx －1，周期为2，且为偶函数，故选B.

4．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π

3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为

( )

A ．1，π

3 B ．1，－π

3 C ．2，π

3 D ．2，－π

3

答案 D

解析 由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π

3＋π

3)＋φ＝π.

∴φ＝－π

3.故选D.

5．函数y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π

3)的一条对称轴为

( )

A ．x ＝π

3 B ．x ＝π

6 C ．x ＝－π

3 D ．x ＝－5π

6

答案 C

解析 y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π

3) ＝2sin(x －π6)＋sin[π2－(x ＋π

3)] ＝2sin(x －π6)＋sin(π6－x )＝sin(x －π

6)． 方法一 把选项代入验证．

方法二 由x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π＋2

3π(k ∈Z )．

当k ＝－1时，x ＝－π

3.

6．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是

( )

A ．h ＝8cos π

6t ＋10 B ．h ＝－8cos π

3t ＋10 C ．h ＝－8sin π

6t ＋10 D ．h ＝－8cos π

6t ＋10

答案 D

解析 排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.故选D. 7．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋a

sin x (0

A ．有最大值而无最小值

B ．有最小值而无最大值

C ．有最大值且有最小值

D ．既无最大值也无最小值 答案 B

解析 令t ＝sin x ，则函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0

t ，t ∈(0,1]的值域，又a >0，所以y ＝1＋a

t ，t ∈(0,1]是一个减函数．故选B.

8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为

( ) A.150

7 min B.157 h C ．21.5 min D ．2.15 h

答案 A

解析 如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ， 乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°， DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°

＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝

514 h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝514×60＝150

7

min. 9．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形

答案 B

解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .

有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．故选B.

10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π

6)|对x ∈R 恒成立，且f (π

2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是

( )

A ．[k π－π3，k π＋π

6](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π

2](k ∈Z ) C ．[k π＋π6，k π＋2π

3](k ∈Z ) D ．[k π－π

2，k π](k ∈Z ) 答案 C

解析 因为当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以f (π6)＝sin(π

3＋φ)＝±1，可得φ

＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f (π

2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin(2x －5π

6)，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，所以x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，故选C.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)

11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.

答案 －3

5

解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ

＝－

3

5. 12．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 答案 π

2

解析 法一：f (x )＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝1＋cos 4x －cos 2x ＝1＋cos 2x (cos 2x －1)＝1－cos 2

x ·sin 2

x ＝1－14sin 22x ＝1－14(1－cos4x 2

)＝78＋1

8cos4x .

法二：f (x )＝(sin 2x )2＋cos 2x ＝(1－cos2x 2)2＋1＋cos2x 2

＝34＋14cos 22x ＝78＋1

8cos4x .

13．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p ∥q ，则角A 的大小为________．

答案 30°

解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－1

2.因为0°

2(180°－120°)＝30°.

14．若1＋tanα

1－tanα

＝2 012，则

1

cos2α＋tan2α＝________.

答案 2 012

解析

1

cos2α＋tan2α＝

1

cos2α＋

sin2α

cos2α＝

(sinα＋cosα)2

cos2α－sin2α

＝sinα＋cosα

cosα－sinα

＝

tanα＋1

1－tanα

＝2 012.

15．在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝2AB，则BD＝________.

答案2＋ 5

解析如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题可知BD＝1

3a，CD＝

2

3a，所

以根据余弦定理可得b2＝(2)2＋(2

3a)

2－2×2×

2

3a cos45°，c

2＝(2)2＋(

1

3a)

2－

2×2×1

3a cos135°，由题意知b＝2c，可解得a＝6＋35，所以BD＝

1

3a＝2＋ 5.

16．下面有五个命题：

①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.

②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ

2，k∈Z}．

③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．

④把函数y＝3sin(2x＋π

3)的图像向右平移

π

6得到y＝3sin2x的图像．

⑤函数y＝sin(x－π

2)在[0，π]上是减函数．

其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)

答案①④

解析考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π.

②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．

③由y＝sin x在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sin x与y＝x图像只有一个交点．

④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π

6个单位得 y ＝3sin[2(x －π6)＋π

3]＝3sin2x .

⑤y ＝sin(x －π

2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4

cos2x ，求f (x )的定义域，

判断它的奇偶性，并求其值域．

解析 由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π

4，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π2＋π

4，k ∈Z }． 因为f (x )的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝6cos 4(－x )＋5sin 2(－x )－4

cos (－2x )

＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )，

所以f (x )是偶函数． 当x ≠k π2＋π

4，k ∈Z 时，

f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x

＝3cos 2x －1，

所以f (x )的值域为{y |－1≤y <12或1

2

18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(π

2－2x )．求： (1)f (π

4)的值；

(2)f (x )的最小正周期和最小值； (3)f (x )的单调递增区间．

答案 (1)1 (2)π，－ 2 (3)????

??

－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )

解析 (1)f (π4)＝2sin π4cos π4＋sin(π2－2×π

4) ＝2×22×2

2＋0＝1.

(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2(22sin2x ＋2

2cos2x ) ＝2(sin2x cos π4＋cos2x sin π4)＝2sin(2x ＋π

4)． 所以最小正周期为π，最小值为－ 2. (3)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π

2＋2k π(k ∈Z )，

可得－3π8＋k π≤x ≤π

8＋k π(k ∈Z )．

所以函数的单调递增区间为????

??

－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .

(1)求cos A 的值； (2)求cos(2A ＋π

4)的值． 答案 (1)1

3 (2)－8＋7218

解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝3

2a . 所以cos A ＝b 2

＋c 2

－a 2

2bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a

＝1

3.

(2)因为cos A ＝1

3，A ∈(0，π)，所以

sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－7

9. 故sin2A ＝2sin A cos A ＝42

9.

所以cos(2A ＋π4)＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π

4

＝(－79)×22－429×2

2＝－8＋7218.

20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2.

(1)求角B 的大小；

(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值． 答案 (1)π

3 (2) 3

解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1

2. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π

3.

(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.

∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3

4ac ≤ 3.

∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.

21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC

→＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4. (1)求bc 的最大值及θ的取值范围．

(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π

4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值． 解析 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·

cos θ＝8. 又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8

cos θ≤16. ∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π

3.

(2)f (θ)＝23sin 2(π

4＋θ)＋2cos 2θ－ 3 ＝3·[1－cos(π

2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π

6)＋1. ∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π

6. ∴12≤sin(2θ＋π

6)≤1.

当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×1

2＋1＝2； 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π

6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.

22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π

4)． (1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π

4]上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f (α)＝3

5，求m 的值． 解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12.

又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－2

2，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋1

2∈[0，1＋22]．

(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝

1

2[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋1

2，

由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝4

5，

cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－3

5.

所以35＝12[45＋(1＋m )35]＋1

2，得m ＝－2.

1．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则 ( ) A ．E ∩F ＝E B ．E ∪F ＝E C ．E ＝F D ．E ∩F ＝?

答案 A

2．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π

3对称的是 ( ) A ．y ＝sin(2x －π

3)

B ．y ＝sin(2x －π

6)

C ．y ＝sin(2x ＋π

6) D ．y ＝sin(x 2＋π

6) 答案 B

解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π

3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B.

3．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示，则(OA →＋OB →)·AB

→＝

( )

A ．6

B ．4

C ．－4

D ．－6

答案 A

解析 由tan(π4x －π2)＝0，得π4x －π

2＝k π(k ∈Z )， x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知A (2,0)， 由tan(π4x －π2)＝1，得π4x －π2＝π

4＋k π(k ∈Z )， ∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可知B (3,1)， ∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.

4．(本小题满分12分)如图(a )，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.

(1)设计一个方案，用测量的数据和相关公式写出计算OE 的步骤； (2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b )所示，θ＝π

6，求塔顶E 到公路的距离．

解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝a ，由正弦定理，得OA ＝a sin (π－β)sin (β－φ)＝a sin β

sin (β－φ)；第二步：求OE ，在Rt △EOA

中，∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝

a sin βtan θ

sin (β－φ)

.

(2)由图像易得a ＝3，β＝π3，φ＝π6，又θ＝π

6，则 OE ＝

3sin π3tan π6

sin (π3－π6)

＝ 3. 过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝π

6，则OB ＝AB ＝a ＝3，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝π3，则OF ＝OB sin π3＝3×32＝3

2，又在Rt △EOF 中，OE ＝3，所以EF ＝OE 2＋OF 2＝

(3)2＋(32)2＝21

2.

5．(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.

(1)若点P 的坐标为(12，3

2)，求f (θ)的值；

(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：???

x ＋y ≥1，

x ≤1，

y ≤1

上的一个动点，试确定角θ的

取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．

答案 (1)2 (2)0≤θ≤π

2，f (θ)最大值2，最小值1

解析 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得???

??

sin θ＝3

2，

cos θ＝12.于是f (θ)＝3

sin θ＋cos θ＝3×32＋1

2＝2.

(2)

作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.

又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，且π6≤θ＋π6≤2π

3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π

3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2； 当θ＋π6＝π

6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.