2009年全国初中数学联赛

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

．设1a =，则32312612a a a +--=（）

A ．24

B ．25

C ．10

D ．12

【解析】

A ．由()2

17a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---

()2261212621224a a a a =+-=+-=

2．在ABC △中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7AB =，8AC =，则BC =（） A

． B ．10 C D ．

【解析】

C ．做A ∠的角平分线交BC 边于

D ．于是7

AB BD AC DC ==．不妨设7,8BD x DC x ==，由

BAD BAC △∽△，有BD AB AB BC =，即77715x x

=，于是x =，15BC x ==

3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【解析】

C ．原问题等价于函数23y x =-与函数[]2y x =的图像的交点个数问题．观察出交点个数为3个．方程的解分别为2,3x x =-=，另一个位于2，3之间．

4．设正方形ABCD 的中点为点O ，在以五个数A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）

A ．314

B ．37

C ．12

D ．47

【解析】

B ．不妨设三角形边长为1，则三角形的面积有两种，一种是1

，形如ABO △，有4个；一种是1

，形如ABD △，有4个．于是对于这8个三角形，先选出任意一个，再选出其余7个三角形中面积和它相等的三角形（共3个）中的一个，概率为3

．

5．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ∠=（）

A B ．23 C ．13 D

【解析】 D ．取BC 中点F ，连接AF ，则CBE BAF ∠=∠，

于是sin sin CBE BAF ∠=∠==

．

6．设n 是大于1909的正整数，使得

1909

2009n n

--为完全平方数的n 的个数是（）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【解析】 B ．由1909100120092009n n n -=-+--，而100

2009n -可能取整数2,5,4,10,25,50,100．

若10012009n --为完全平方数，则有1002,5,10,502009n

=-．于是这样的n 有4个．

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()

11a b --

的最小值是．

【解析】

3-．2,1a b ab t +==-，又由0?≥知2t 1≤≤．于是()()()

222222111a b a b a b --=+-+ 24t =-．于是当1t =时代数式有最小值3-．

2．设D 是ABC △ 的边AB 上的一点，作DE BC ∥交AC 于点E ，作DF AC ∥交BC 于点F ，已知

ADE △、DBF △的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为．

【解析】

ADE BDF △∽△，相似比为AD

．观察到DEF △的面积等于m 和n 的等比中项，

所以所求答案为．

3．如果实数a ，b 满足条件221a b +=，221221a b a b a -+++=-，则a b += ．

【解析】 1-．分情况讨论，可得221221a b a b a -+++=-或22

(12)21a b a b a --+++=-．如果是第

一种，则222b b a +=-，消去a 可得2230b b --=，可得1b =-或3

．经检验，1,0

b a =-=符合，所求结果为1-；如果是第二种，则224a b b a -=-．因为去绝对值符号的时候有120a b -+≤，即21a b +≥，而10b +≥，则设法凑出含有1b +的形式．因为2240a a b b +--=，所以

2222114()22

a a

b b a b +--++=，即22238(1)4a a b a +=+≤，所以8a ≥或0a ≤，因此只能有0a =，和第一种情况是同一个解．

4．已知a ，b

是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对()a b ，共有对．【解析】 7．显然两个根式的值都是有理数（否则把它平方即可发现）．穷举，可能是1+1，

112+

， 1122+，1144+，11

+，考虑顺序，共7种．

第二试（A ）

一、（本题满分20分）

已知二次函数()2

0y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．

⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．

⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．

【解析】

⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，

，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，

所以OA OB OC OD ?=?则12

1x x c OA OB OD OC c c

===．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，

． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，

所以点C 的坐标为()01-，

，即1c =-．

又

12AB x x =-

所以122ABC S AB OC =

?=△

，解得b =±

二、（本题满分25分）

设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是ADC △、BDC △的内心，3AC =，4BC =，求12I I ．

I 2

I 1

E D

I 1

I 2

【解析】作1I E AB ⊥于E ，2I F AB ⊥于F ．

在直角三角形ABC 中，3AC =，4

BC =，5AB ．

又CD AB ⊥，由射影定理可得29

AC AD AB =

=，

故165BD AB AD =-=

，125

CD =．因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以()113

I E AD CD AC =+-=．连接1DI 、2DI ，则1DI 、2DI 分别是ADC ∠和BDC ∠的平分线，所以112245I DC I DA I DC I DB ∠=∠=∠=∠= ，故1290I DI ∠= ，

所以12I D I D ⊥

，11

5sin sin 45I E DI ADI ===∠ ．同量，可求得245I F =

，2DI =．

所以12I I

三、（本题满分25分）

已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：

32a b c ++= ① 1

b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②

【解析】

证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-??

++++= ???

，即

()()()2

8b c a c a b a b c bc

+-+-+-+

=，

即()()()2

440b c a c a b a b c bc

+-+-+--+-+

=，

即

()()()2

0b c a c a b a b c bc ca ab

----+-+

=，

即

()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab

-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a a b c a b c a b c a b c abc

-+----++++=????，即()22220b c a ab a b c abc

-+??--+=??，即()()220b c a c a b abc

-+??--=??，即()()()

0b c a c a b c a b abc

-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．

证法2：结合①式，由②式可得

3223223221

a b c bc ca ab ---++=，变形，得()

222

1102424

a b c abc -++=

③ 又由①式得()21024a b c ++=，即()222

10242a b c ab bc ca ++=-++，

代入③式，得()1

10242102424ab bc ca abc --++=????，

即()164096abc ab bc ca =++-．

()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+?-=，所以16a =或16b =或16c =．

结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．

第二试（B ）

一、（本题满分20分）

已知二次函数()2

0y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．

⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．

⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．

【解析】

⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，

，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，

所以OA OB OC OD ?=?则12

1x x c OA OB OD OC c c

===．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，

所以点D 为定点，它的坐标为()01，

． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，

所以点C 的坐标为()01-，

，即1c =-．

又

12AB x x =-

所以122ABC S AB OC =

?=△

，解得b =±

二、（本题满分25分）

已知ABC △中，90ACB ∠= ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．

F P E

P F M

C A

【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．

又因为CH AB ⊥，所以

9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠ ，因此CQ NC =．

又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠ ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．

又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．

因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．

三、（本题满分25分）

已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：

32a b c ++= ① 1

b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②

【解析】

证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-??

++++= ???

，即()()()2

8b c a c a b a b c bc

ca ab

+-+-+-+

=，

即

()()()2

440b c a c a b a b c bc

+-+-+--+

=，

即

()()()2

0b c a c a b a b c bc ca ab

----+-+

=，

即

()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab

-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a a b c a b c a b c a b c abc

-+----++++=????，即()22220b c a ab a b c abc

-+??--+=??，即()()220b c a c a b abc

-+??--=??，即()()()

0b c a c a b c a b abc

-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．

证法2：结合①式，由②式可得

3223223221

a b c bc ca ab ---++=，变形，得()

222

1102424

a b c abc -++=

③ 又由①式得()21024a b c ++=，即()222

10242a b c ab bc ca ++=-++，

代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=????，即()164096abc ab bc ca =++-．

()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+?-=，所以16a =或16b =或16c =．

结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．

第二试（C ）

一、（本题满分20分）

已知二次函数()2

0y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．

⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．

⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．

【解析】

⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，

，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，

所以OA OB OC OD ?=?则12

1x x c OA OB OD OC c c

===．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，

． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，

所以点C 的坐标为()01-，

，即1c =-．

又12AB x x =-

所以122ABC S AB OC =

?=△，

解得b =±

二、（本题满分25分）

已知ABC △中，90ACB ∠= ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．

F P E

P F M

【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．

又因为CH AB ⊥，所以

9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠ ，因此CQ NC =．

又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠ ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．

又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．

因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．

三、（本题满分25分）

已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：

32a b c ++= ① 1

b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②

【解析】

解法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc

ca ab +-+-+-??

++++= ???，

即()()()2

8b c a c a b a b c bc

ca ab

+-+-+-+

=，

即

()()()2

440b c a c a b a b c bc

+-+-+--+

=，

即

()()()2

0b c a c a b a b c bc ca ab

----+-+

=，

即

()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab

-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a a b c a b c a b c a b c abc

-+----++++=????，即()22220b c a ab a b c abc

-+??--+=??，即()()220b c a c a b abc

-+??--=??，即()()()

0b c a c a b c a b abc

-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．

90 ．

解法2：结合①式，由②式可得

3223223221

a b c bc ca ab ---++=，变形，得()222

1102424

a b c abc -++=

③ 又由①式得()21024a b c ++=，即()222

10242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()1

10242102424ab bc ca abc --++=????，

即()164096abc ab bc ca =++-．

()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+?-=，所以16a =或16b =或16c =．

结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．

90 ．