微积分初步形成性考核册答案解析
微积分初步形成性考核作业（一）
————函数，极限和连续
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是 ．
解：0
20)2ln({
>-≠-x x ， 2
3{
>≠x x 所以函数)
2ln(1
)(-=
x x f 的定义域是),3()3,2(+∞?
2．函数x
x f -=
51)(的定义域是 ．
解：05>-x ，5 所以函数x x f -= 51)(的定义域是)5,(-∞ 3．函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ． 解：?????≥->+≠+04020)2ln(2x x x ，?? ? ??≤≤-->-≠2 221 x x x 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++= 的定义域是]2,1()1,2(-?-- 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ． 解：72)1(2 +-=-x x x f 6)1(6122 2 +-=++-=x x x 所以=)(x f 62 +x 5．函数???>≤+=0e 02)(2x x x x f x ，则=)0(f ． 解：=)0(f 2202 =+ 6．函数x x x f 2)1(2 -=-，则=)(x f ． 解：x x x f 2)1(2 -=-1)1(1122 2 +-=-+-=x x x ，=)(x f 12 +x 7．函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ． 解：因为当01=+x ，即1-=x 时函数无意义 所以函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是1-=x 8．=∞ →x x x 1 sin lim ． 解：=∞ →x x x 1 sin lim 11 1sin lim =∞→x x x 9．若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 解： 因为24 sin 44sin lim 4sin 4sin lim 00===→→k kx kx x x k kx x x x 所以2=k 10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 解：因为23 33lim 33lim 00===→→k x x sim k kx x sim x x 所以2 3 = k 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 解：因为y e e e e x y x x x x =+=+= -----2 2)()( 所以函数2 e e x x y +=-是偶函数。故应选B 2．设函数x x y sin 2 =，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 解：因为y x x x x x y -=-=--=-sin )sin()()(2 2 所以函数x x y sin 2 =是奇函数。故应选A 3．函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于（ ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 解：因为)(222222)()()(x f x x x f x x x x -=+-=+?-=----- 所以函数2 22)(x x x x f -+=是奇函数 从而函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D 4．下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 解：应选C 5．函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 解：?? ?>+≠+0504x x ，???->-≠5 4 x x ，所以应选D 6．函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是（ ）． A ． ),1(+∞ B ．),1()1,0(+∞? C ．),2()2,0(+∞? D ．),2()2,1(+∞? 解：?? ?>-≠-010)1ln(x x ，???>≠1 2 x x ， 函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是),2()2,1(+∞?，故应选D 7．设1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 解：1)1(2 -=+x x f ]2)1)[(1()1)(1(-++=-+=x x x x )2()(-=x x x f ，故应选C 8．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． A ．2 )()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2 ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= 解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ． x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x 解：因为0)1ln(lim 0 =+→x x ，所以当0→x 时，)1ln(x +为无穷小量，所以应选C 10．当=k （ ）时，函数? ??=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 解：因为1)1(lim )(lim 2 =+=→→x x f x x ，k f =)0( 若函数???=≠+=0,0 ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则)(lim )0(0x f f x →=，因此1=k 。故应选B 11．当=k （ ）时，函数???=≠+=0, ,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：3)2(lim )(lim )0(0 =+===→→x x x e x f f k ，所以应选D 12．函数2 33 )(2+--= x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 解：当2,1==x x 时分母为零，因此2,1==x x 是间断点，故应选A 三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈计算极限4 2 3lim 222-+-→x x x x ． 解：423lim 222-+-→x x x x 41 21lim )2)(2()2)(1(lim 22=+-=-+--=→→x x x x x x x x 2．计算极限1 65lim 221--+→x x x x 解：165lim 221--+→x x x x 27 16lim )1)(1()6)(1(lim 11=++=-++-=→→x x x x x x x x 3．3 29lim 223---→x x x x 解：329lim 2 23---→x x x x 23 4613lim )3)(1()3)(3(lim 33==++=-+-+=→→x x x x x x x x 4．计算极限4 58 6lim 224+-+-→x x x x x 解：4586lim 2 24+-+-→x x x x x 3 2 12lim )4)(1()4)(2(lim 44=--=----=→→x x x x x x x x 5．计算极限6 586lim 222+-+-→x x x x x ． 解：6586lim 2 22+-+-→x x x x x 23 4 lim )3)(2()4)(2(lim 22=--=----=→→x x x x x x x x 6．计算极限x x x 1 1lim --→． 解：x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211 11 lim -=+--=→x x 7．计算极限x x x 4sin 1 1lim --→ 解：x x x 4sin 11lim --→) 11(4sin ) 11)(11(lim 0+-+---=→x x x x x 81 ) 11(44sin 1lim 41)11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 8．计算极限2 44sin lim -+→x x x ． 解：2 44sin lim -+→x x x ) 24)(24()24(4sin lim ++-+++=→x x x x x 16)24(44[lim 4)24(4sin lim 00=++=++=→→x x x sim x x x x x 微积分初步形成性考核作业（二） ————导数、微分及应用 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是 ． 解：x x f 21)(= '，斜率2 1 )1(= '=f k 2．曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 解：x e x f =')( ，斜率1)0(0 =='=e f k 所以曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是：1+=x y 3．曲线2 1-=x y 在点)1,1(处的切线方程是 ． 解：2321--='x y ，斜率2 12 11 2 3 1-=-='==-=x x x y k 所以曲线2 1 -=x y 在点)1,1(处的切线方程是：)1(2 1 1-- =-x y ，即：032=-+y x 4．=')2 (x ． 解：=')2(x x x x x 22 ln 2 2ln 212 = ? 5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ．解：6)3)(2)(1()0(-=---='y 6．已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．解：3ln 33)(2x x x f +='，)3(f '3ln 2727+= 7．已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．解：x x f 1)(='，21)(x x f -='' 8．若x x x f -=e )(，则='')0(f ． 解：x x xe e x f ---=')(，x x x x x xe e xe e e x f -----+-=---=''2)()(， ='')0(f 2- 9．函数 的单调增加区间是 ． 解：0)1(6≥-='x y ，1≥x ，所以函数 的单调增加区间是),1[+∞ 10．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 解：02)(≥='ax x f ，而0>x ，所以0≥a 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数2 )1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 2．满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ C ）． A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 4．设，则（ B ）． A ． B ． C ． D ． 5．．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 6．曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（ C ）． A ．4 e B ．2 e C ．4 2e D ．2 7．若x x x f cos )(=，则='')(x f （ C ）． A ．x x x sin cos + B ．x x x sin cos - C ．x x x cos sin 2-- D ．x x x cos sin 2+ 8．若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ C ）． A ．2 3cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 9．下列结论中（ B ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 11．下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x 12.下列结论正确的有（ A ）． A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点 C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点 D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈设x x y 12 e =，求y '． 解：x x x x e xe x e x xe y 11212 12)1(2-=-+='x e x 1 )12(-= 2．设x x y 3 cos 4sin +=，求y '. 解：x x x y sin cos 34cos 42 -=' 3．设x y x 1 e 1 + =+，求y '. 解：21 11 21x e x y x - += '+ 4．设x x x y cos ln +=，求y '. 解：x x x x x y tan 2 3cos sin 23-=-+= ' 5．设)(x y y =是由方程42 2 =-+xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分：0)(22=+-+xdy ydx ydy xdx xdx ydx xdy ydy 22-=- dx x y x y dy --= 22 6．设)(x y y =是由方程122 2 =++xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边对122 2 =++xy y x 求导，得：0)(222='++'+y x y y y x 0='++'+y x y y y x ，)()(y x y y x +-='+，1-='y dx dx y dy -='= 7．设)(x y y =是由方程4e e 2 =++x x y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分，得：02=+++xdx dy xe dx e dx e y y x dx x e e dy xe y x y )2(++-=，dx xe x e e dy y y x 2++- = 8．设1e )cos(=++y y x ，求y d ． 解：两边对1e )cos(=++y y x 求导，得： 0)sin()1(='++'+-y e y y x y 0)sin()sin(='++'-+-y e y y x y y x )sin()]sin([y x y y x e y +='+- ) sin() sin(y x e y x y y +-+= ' dx y x e y x dx y dy y ) sin() sin(+-+= '= 微积分初步形成性考核作业（三） ———不定积分，极值应用问题 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．若)(x f 的一个原函数为2 ln x ，则=)(x f 2 ln 2x x x c -+ 。 2．若)(x f 的一个原函数为x x 2e --，则=')(x f 24x e -- 。 3．若?+=c x x x f x e d )(，则=)(x f ()1x x e + ． 4．若?+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f 2cos2x ． 5．若c x x x x f +=? ln d )(，则=')(x f 1 x ． 6．若 ?+=c x x x f 2cos d )(，则=')(x f 4cos2x - ． 7．=? -x x d e d 2 2 x e dx - ． 8．='? x x d )(sin sin x c + ． 9．若 ?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x f d )32( ()1 232F x c -+ ． 10．若?+=c x F x x f )(d )(，则?=-x x xf d )1(2 ()2 112 F x c --+ ． 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1．下列等式成立的是（ ）． A ． )(d )(d d x f x x f x =? B ．)(d )(x f x x f ='? C ．)(d )(d x f x x f =? D ．)()(d x f x f =? 解：应选A 2．若 c x x x f x +=?22e d )(，则=)(x f （ ）. A. )1(e 22x x x + B. x x 22e 2 C. x x 2e 2 D. x x 2e 解：两边同时求导，得：x x e x xe x f 22222)(+==)1(e 22x x x +，所以应选A 3．若)0()(>+ =x x x x f ，则='?x x f d )(（ ）. A. c x x ++ B. c x x ++2 C. c x x ++23 2 23 D. c x x ++23 23 2 21 解：应选A 4．以下计算正确的是（ ） A ．3ln 3d d 3x x x = B ．)1(d 1d 22 x x x +=+ C ． x x x d d = D ．)1 d(d ln x x x = 解：应选A 5．=''? x x f x d )(（ ） A. c x f x f x +-')()( B. c x f x +')( C. c x f x +')(2 12 D. c x f x +'+)()1( 解：= ''?x x f x d )(??+-'='-'='c x f x f x dx x f x f x x f xd )()()()()(，所以应选A 6．? -x a x d d 2=（ ） ． A ．x a 2- B ．x a a x d ln 22-- C ．x a x d 2- D ．c x a x +-d 2 解：应选C 7．如果等式?+-=- - C x x f x x 1 1e d e )(，则=)(x f （ ） A.x 1- B. 21x - C. x 1 D. 21x 解：两边求导，得：211 1)(x e e x f x x ? -=- -，所以2 1)(x x f -=，故应选B 三、计算题（每小题7分，共35分） 1．? +-x x x x x d sin 33 解：? +-x x x x x d sin 33???+-=xdx dx x dx x sin 1 3 c x x x +--=cos 3 2 ln 323 2．x x d )12(10 ? - 解：x x d )12(10 ? -c x x d x +-+?=--= +?11010 )12(1 10121)12()12(21 c x +-= 11)12(22 1 3． x x x d 1sin 2 ? 解： x x x d 1 sin 2 ? c x x d x +=-=?1cos )1(1sin 4．? x x x d 2sin 解：?x x x d 2sin ??--=-=)2cos 2cos (2 1 2cos 21xdx x x x xd c x x x ++-=2sin 4 1 2cos 21 5．? -x xe x d 解：?-x xe x d c e xe dx e xe xde x x x x x +--=--=-=-----? ?)( 四、极值应用题（每小题12分，共24分） 1． 设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解：设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为x -60厘米，以x -60厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则 体积V 为： )60(2x x V -=π，即：3260x x V ππ-= 23120x x dx dV ππ-=，令0=dx dV ，得： 0=x （不合题意，舍去） ，40=x ，这时2060=-x 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体的体积最大。 2． 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设矩形的长为x 米，则矩形的宽为 x 216 米，从而所用建筑材料为： x x L 21632?+=，即：x x L 648 2+= 26482x dx dL -=，令0=dx dL 得：18=x （取正值），这时12216 =x 由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省 五、证明题（本题5分） 函数x e x x f -=)(在（)0,∞-是单调增加的． 证明：因为x e x f -='1)(，当∈x （)0,∞-时，x e x f -='1)(0> 所以函数x e x x f -=)(在（)0,∞-是单调增加的． 微积分初步形成性考核作业（四） ———定积分及应用、微分方程 一、填空题（每小题2分，共20分） 1． .______d )2cos (sin 1 1 2=-? -x x x x 解：3222cos sin d )2cos (sin 10 2 112111 12-=-=-=-????---dx x dx x xdx x x x x x 2． .______d )cos 4(22 5 =+-?-x x x x π π 解： ???- - -+-=+-22 2 2 5 22 5 cos )4(d )cos 4(π ππ πππxdx dx x x x x x x 2sin 2cos 220 20 ===?π π x xdx 3．已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x ，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是 。 解：由 c x dx x +=? 2332得所求的曲线方程由c x y +=23 3 2 确定 因为曲线过)5,4(，所以c +?=23 4325，解得：31 -=c 因此所求的曲线方程为3 1 3223 -=x y 4．若=+-? -dx x x )235(1 1 3 ． 解： = +-? -dx x x )235(1 1 3 442)35(1 11 1 1 3==+-??? --dx dx dx x x 5．由定积分的几何意义知， x x a a d 022? -= 。 解：由定积分的几何意义知， x x a a d 0 22? -就等于圆222a y x =+在第Ⅰ象限的面积，即 圆2 2 2 a y x =+面积的4 1 ，因此x x a a d 022?-241a π= 6．=+?e 12 d )1ln(d d x x x . 解：=+?e 1 2d )1ln(d d x x x 0 7． x x d e 0 2? ∞ -= ． 解：x x d e 0 2?∞-0 2020 221lim )2(lim 21lim b x b b x b b x b e x d e dx e -∞→-∞→-∞→==?? 21)1(lim 212=-=-∞→b b e 8．微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . 解：由y y ='得 y dx dy =，dx y dy =，两边同时积分，得c x y +=ln 因为1)0(=y ，所以c +=01ln ，所以0=c 从而x y =ln ，因此微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x e y = 9．微分方程03=+'y y 的通解为 . 解：03=+'y y ， 03=+y dx dy ，03=+dx y dy ，13ln c x y =+ x c y 3ln 1-=，x c e y 31-=，即x c e e y 31-?= 所以微分方程03=+'y y 的通解为x ce y 3-= 10．微分方程x y xy y sin 4)(7) 4(3=+''的阶数为 ． 解：微分方程x y xy y sin 4)(7) 4(3 =+''的阶数为4阶 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）． A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．22 +=x y D ．12 +=x y 2．若 ?+1 d )2(x k x = 2，则k =（ A ） ． A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 1 3．下列定积分中积分值为0的是（ A ）． A ．x x x d 2 e e 1 1?--- B ．x x x d 2 e e 1 1?--+ C ．x x x d )cos (3?-+ππ D ． x x x d )sin (2?- +π π 4．设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=? a a x x f -d )(（ D ） A ．? -d )(2 a x x f B ．?0 -d )(a x x f C ．?a x x f 0 d )( D ． 0 5． =?x x d sin 22 -π π（ D ） ． A ．0 B ．π C ．2 π D ．2 6．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ． ? +∞ d e x x B ．?+∞ -0 d e x x C ． ? ∞ +1 d 1 x x D ．?∞+1d 1x x 7．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ． ? ∞ +0 d in x x s B ．? ∞ +-0 2d e x x C ． ? ∞ +1 d 1 x x D ．?∞+1d 1x x 8．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2 B ．x xy y y e 2 =+' C ．y y x y e ='+'' D ．x y y x y x ln e sin ='-'' 9．微分方程0='y 的通解为（ C ）． A ．Cx y = B ． C x y += C ．C y = D ．0=y 10．下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ） A. y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x x y += 三、计算题（每小题7分，共56分） 1． x x x d )e 1(e 22 ln 0 +? 解：x x x d ) e 1(e 2 2ln 0+? 3 19389)1(3 1 )1()1(2 ln 0 3 2 2 ln 0 =- =+=++=? x x x e e d e 2． x x x d ln 51e 1?+ 解：x x x d ln 51e 1?+??++=+=e e x d x x d x 1 1)ln 51()ln 51(51ln )ln 51( 21)16(101)ln 51(21511 2 =-=+?=e x 3． x xe x d 10 ? 解：x xe x d 10 ? 1)1(10 101010=--=-=-==??e e e e dx e xe xde x x x x 4． ?π 0d 2sin x x x 解：?π0d 2sin x x x ??-==ππ002 cos 2)2(2sin 2x xd x d x x dx x dx x x x ??=--=πππ 0002 cos 2)2cos 2cos (2 42sin 4)2(2cos 40 0===?π π x x d x 5． ? π 20 d sin x x x 解： ? π20 d sin x x x )cos cos (cos 20 20 20 ? ?--=-=π π π xdx x x x xd 1sin 20 ==π x 6．求微分方程12+=+ 'x x y y 满足初始条件4 7 )1(=y 的特解． 解：微分方程的通解为? +?? =-])([)()(c dx e x q e y dx x p dx x p 这里 x x p 1)(= ，1)(2 +=x x q 代入得微分方程的通解为)2 141(12 4c x x x y ++= 将初始条件4 7 )1(=y 代入上式，解得1=c 所以微分方程的特解为)12 141(12 4++=x x x y 7．求微分方程x x x y y 2sin 2=-'的通解。 解：微分方程的通解为? +?? =-])([)()(c dx e x q e y dx x p dx x p 这里x x p 1 )(- =，x x x q 2sin 2)(= 代入得微分方程的通解为)2cos (c x x y +-= 四、证明题（本题4分） 证明等式?? +-=-a a a x x f x f x x f 0)]()([)(d d 。 证明： ??? +=--a a a a dx x f dx x f dx x f 0 )()()( 考虑积分? -0 )(a dx x f ，令t x -=，则dt dx -=，从而 ????? -=-=--=--=-a a a a a dx x f dt t f dt t f dt t f dx x f 0 )()()(])[()( 所以 ??? +=--a a a a dx x f dx x f dx x f 0 0)()()( ??? +-=+-=a a a dx x f x f dx x f dx x f 0 )]()([)()( 一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据 1. 一般认为，现代远程教育的技术支撑包括计算机网络技术、卫星数字通讯技术和（B） A. 计算机芯片技术 B. 多媒体技术 C. 出版印刷技术 满分：2.5 分 2. 学生注册中央广播电视大学开放教育学习前需要参加（A ） A. 入学水平测试 B. 全国成人高考 C. 全国普通高考 满分：2.5 分 3. 电大在线远程教学平台课程论坛的主要功能是（B） A. 资源存储 B. 学习交流 C. 上传、下载 满分：2.5 分 4. IP课件播放时，通常会将计算机屏幕分成三个区域，这三个区域不包括（ C ） A. 老师授课的录像画面 B. 课程内容提要 C. 学生信息 满分：2.5 分 5. 统一开设开放教育专业和主干课程的单位是（A ） A. 中央广播电视大学 B. 省级广播电视大学 C. 教学点 满分：2.5 分 6. 学生使用课程教学资源时，为了提高学习效率，一般应该（B） A. 选择该课程全部教学资源，逐一学习 B. 根据自身条件和学习习惯选择资源，综合运用 C. 没有必要看学校提供的任何资源 满分：2.5 分 7. 下列属于教育部全国网络教育公共课统一考试科目的是（B） A. 《基础写作》 B. 《计算机应用基础》 C. 《政治经济学》 满分：2.5 分 8. 下列关于教育部全国网络教育公共课统一考试的说法，正确是（C） A. 所有参加考试学生的考试科目相同，以便比较学生达到的水平 B. 属于一次性考试，学生在指定时间和地点参加考试 C. 是开放教育专科起点本科学生获取毕业证书的条件之一 满分：2.5 分 9. 按现行开放教育免修免考管理规定，下列各教育类型可替代开放教育课程总学分比例正 确的是(B) A. 电大课程（含注册生）可替代必修总学分的比例90% B. 国家自学考试课程可替代必修总学分比例的40% C. 普通高等学校课程可替代必修总学分的比例100% 满分：2.5 分 10. 《开放教育学习指南》是开放教育学生的（A） A. 公共基础课 B. 实践课 C. 专业基础课 满分：2.5 分 11. 关于学习计划，下列说法不妥当的是（B） A. 开放教育的学生需要制订好个人学习计划 B. 同班同学的学习计划是一样的 C. 个人要根据自己的主客观条件制定学习计划 满分：2.5 分 12. 开放教育的学习准备不包括（A ） A. 生活积累 B. 知识准备 C. 心理准备 满分：2.5 分 13. 组织补修课考试的是（B ） A. 中央广播电视大学 B. 省级广播电视大学 C. 教学点 满分：2.5 分 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 单选题）神示证据制度产生于（）时期，是证据制度发展史上最原始的一种证据制度。 A. 原始社会 C.封建社会 D.资本主义社会 单选题）法定证据制度是对神示证据制度的（ ），是历史上的一大进步。 A. 肯定 C.继承 D.修正 2题］（单选题）新中国的证据法律制度被称为（ ）。V B. 自由心证证据制度 C. 法定证据制度 D. 实事求是的证据制度 3题］（单选题）（）是指证据对案件事实的证明的价值和功能。 A. 证据方法 B. 证据力 D.证据原因 4题］（单选题）我国证据制度的基本原则是（ B.奴隶社会 B.否定 A.客观真实的证据制度 C.证明力 ） 。 A. 客观真实 B. 证据法 定 C. 自由心证 ［第5题］（单选题）（）具有证人资格。 A. 法人 B. 非法人团体 C.公民个人 D.企事业单位 ［第6题］（单选题）下列各项中不属于证据的基本属性的是 A. 客观性 B. 关联性 C. 排他 D. 合法性 ［第7题］（单选题）神示证据制度产生于（）时期，是证据制度发展史上最原始的一种证据制度。 A. 原始社会 B. 奴隶社会 C. 封建社会 D. 资本主义社会 ［第8题］（单选题）下列有关自由心证证据制度的说法中，不正确的是（） A. 法官内心确信”的程度在民事诉讼和刑事诉讼中相同 B. 1808年《法兰西刑事诉讼法典》标志自由心证证据制度正式确立 C. 法官的心证受到许多证据规则的制约$ a D. 以法官的理性和良心、内心确信为核心内容 ［第9题］（单选题）法定证据制度的基本证明方法是（）。2 A. 十字形证明 B. 刑讯逼供 C袂斗 D.司法认知' ［第10题］（单选题）证据制度发展史上最原始的证据制度是（）。O A. 法定证据制度 B. 神判法 C. 神誓法 D. 神示证据制度 ［第11题］（多选题）证据是与案件有关的一切事实，包括（ A. 口头的厂 B.书面的代 C.复制的 D.实物的 ［第12题］（多选题）在神示证据制度下，所采用的证明方式有（）。0 A. 神誓Z 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程： 规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。 《审计学》形考07任务 单项选择题部分 一、单项选择题（共20道试题，共40分。） 1.上级审计机构对被审单位因不同意原审计结论和处理意见提出申请所进行的审査称为（A） A.复审 B.后续审计 C.再度审计 D.连续审计 2.函询法是通过向有关单位发函了解情况取得审计证据的一种方法，这种方法一般用于（B）的査证。 A.库存商晶B?银行存款C.固定资产D.无形资产 3.国家审计、内部审计和社会审计的审计程序中，在审计准备阶段都应做到工作是:（B） A.发出审计通知书 B.制定审计方案 C.要求被审计单位提供书面承诺 D.签订审计业务约定书 4.审计监督区别于其他经济监督的根本特征是（C） A.及时性 B.广泛性 C.独立性 D.科学性 5.审计人员在进行财务收支审计时，如果采用逆査法，一般是从（C）开始审査。 A.会计凭证 B.会计账簿 C.会计报表 D.会计资料 6.检査财务报表中数字及勾稽关系是否正确可以实现的审计具体目标是：（D） A.监督 B.披露 C.截止期 D.机械准确性 7.当可接受的检查风险降低时，审计人员可能采取的措施是（A ）o A.将计划实施实质性程序的时间从其中移至期末 B.降低评估的重大鉛报风险 C.缩小实质性程序的范围 D.消除固有风险 &在某一审计项目中，可接受的审计风险为6 % ,审计人员经过评估，确定固有风险为60%?控制风险为80 %o则审计人员可接受的检査风险为：C A.6% B. 10% C. 12.5 % D.48% 9?变更验资的审验范围一般限于被审验单位（A ）及实收资本增减变动情况有关的事 项。 A.资本公积 B.未分陀利润 C.盈余公积 D.注册资本 10.验资从性质上看，是注册会计师的一项（A ）业务。 A.法定审计业务 B.法定会计咨询业务 C.服务业务 D.非法定业务 11?以实物出资的，注册会计师不需实施的程序为（D） A.观察、检查实物 B.审验实物权屈转移情况 C.按照国家规定在评估的基础上审验英价值 D.审验实物出资比例是否符合规定 12.与国家审计和内部审计相比，下列属于社会审计特有的审计文书是：D A.审计报告 B.审计决定书 C.审计通知书 D.业务约定书 13.注册会计师应审验有限责任公司的全体股东首次出资额是否不低于公司注册资本的 (C) A. 35% B. 15% C. 20% D. 25% 14.财务审计项目的一般审计目标中的总体合理性通常是指审计人员对被审计单位所记录或列报的金额在总体上的正确性做出估计，审计人员使用的方法通常有：B A.层层审核方法 B.分析性复核方法 C.监盘方法 D.计算方法 15.在实施进一步审计程序后，如果审计人员认为某项交易不存在重大错报，而实际上该项交易存在重大错报，这种风险是（B ）。 专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A. 3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝ ∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解： ． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C. 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 2019年中央电大刑法学形成性考核册参考答案-工作总结范 文 篇一：电大2019年刑法学(1)形成性考核册答案(有题目) 2019年刑法学（1）形成性考试册 刑法学（1）作业1 第一题：山本××，女，42岁，日本国籍。马××，男，35岁，中国香港特别行政区公民。 2005年11月25日，山本××乘坐×××次航班入境，过海关时选走的是绿色通道，未向海关申报任何物品，但旅检现场关员在对山本××时行例行检查时，却从其携带的硬质行李箱夹层中发现了可疑粉状物9包，经化验证实该批粉状物为毒品“可卡因”，共计4512克，纯度为70%。要审查，山本××交代，这批货是她从巴西带来的，有人会在广州××路××酒店接货。海关缉私局马上在该酒店周围布控，接货人马××携款前来酒店找山本交接时被当场抓获。【问题】 1．根据我国刑法的规定来判断，山本××和马××的行为是否构成犯罪？ 2．对于山本××和马××的行为是否应当适用我国刑法管辖和处理？应当如何认定和处理（处理原则）？ 答：1.根据我国刑法的有关规定，走私毒品的，无论数量多少，都应当追究当事人的刑事责任，予以刑事处罚。本案中的可卡因属于毒品的一种。山本××违反我国的出入境管理制度，携带毒品进入我国境内，不向海关申报而选择绿色通道，意图逃避海关监管，其行为构成走私行为，构成走私毒品罪；马××携款接货的行为属于走私行为，构成走私毒品罪。 2.根据我国刑法规定，凡在中华人民共和国领域内犯罪的，除法律有特别规定的以处，都适用我国刑法；只要犯罪行为或结果有一项发生在中华人民共和国领域内的，就认为是在华人民共和国领域内的犯罪。山本××和马××的走私行为开始于我国境外，但完成于我国境内，属于在我国境内犯罪。同时，山本××虽然是外国国籍，但并非是享有外交特权和外交豁免权的外国人，而马××虽然是我国香港特别行政区公民，但其行为并不是发生在香港区域内，因而二人的行为均不属于法律有特别规定的情形，因而适用我国刑法管辖。对山本××和马××的行为应适用我国刑法关于走私毒品罪的规定予以处罚，毒品的数量应以查证属实的数量计算，不进行纯度考虑。并以 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 单项选择题（共20 道试题，共40 分。） 1. 张某与租赁公司签订小汽车借用合同，合同约定了租金和归还的期限。根据借用合同的特 点，合同法理论上称其为（ B ）。 A. 双务合同 B. 单务合同 C. 双边条约 D. 单边条约 满分：2 分 2. 合同是平等主体的自然人、法人、其他组织之间设立、变更、终止（ D ）关系的协 议。 A. 行政权利义务 B. 经济权利义务 C. 刑事权利义务 D. 民事权利义务 满分：2 分 3. 在大陆法系中常被称为是债法中的“帝王规则”的合同法的基本原则是（C）。 A. 公序良俗原则 B. 公平原则 C. 诚实信用原则 D. 公正原则 满分：2 分 4. 下列各选项中，阐述正确的是（ C）。 A. 逾期承诺原则上不发生承诺的效力，为新承诺 B. 逾期承诺原则上发生承诺的效力，为承诺 C. 逾期承诺为要约邀请 D. 逾期承诺原则上为效力待定的承诺 满分：2 分 5. 甲公司与乙公司签订了一份书面合同，甲公司签字、盖章后邮寄给乙公司签字盖章。 则该合同成立时间为（ D ）。 A. 甲乙公司达成合意时 B. 甲公司签字盖章时 C. 乙公司收到甲公司签字盖章的合同时 D. 乙公司签字盖章时 满分：2 分 6. 下列情形中属于效力待定合同的是（A）。 A.10周岁的少年出售劳力士金表给40岁的李某 B. 5周岁的儿童因发明创造而接受奖金 C. 成年人甲误将本为复制品的油画当成真品购买 D. 出租车司机借抢救重病人急需租车之机将车价提高10倍 满分：2 分 7. 刘某为某农工商公司的采购员，刘某持该公司出具的采购农副产品的介绍信，与某供 销社签订了一份购买100吨大米的购销合同。某供销社按照合同规定的日期发货后，被某农工商公司拒收，理由是只让刘某出外购买水产品，没让其采购大米。依照法律规定，刘某的行为 （B ）。 A. 超越代理权限，合同无效 B. 代理行为有效，公司不得违约 C. 擅自作主，个人应承担责任，公司不承担责任 D. 刘某和公司负连带责任 满分：2 分 8. 现代合同法中，合同法律制度的核心以及合同法律约束力最集中的体现是（ C ）。 A. 合同订立 B. 合同成立 C. 合同效力 D. 合同履行 满分：2 分 第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主， 其应用主要是求一个曲边梯形的面积， 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效 f (x )在区间［a , b ］上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，每个小区间长度为 D x ( D x = )， n n 在每个小区间［X i -^X i ］上任取一点\ i =1,2J||,n ，作和式：S^v f(i)C x =： i 二 n b _a f ( i )，当D x 无限接近于0 (亦即n —； ? ?)时，上述和式S n 无限趋近于常数 S ， i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间［a,b ］上的定积分?记为： S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数，X 为积分变量， 需要注意以下几点： ［a, b ］为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S (n 时)，称为 a b f (x)dx ，而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二［imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积：S = f x dx ；变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看，如果在区间［a ,b ］上函数f (x )连续且恒有f(x)_0，那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割：n 等分区间［a ,b ］；②近似代替：取点 n b — a i ?〔x 」，X i 丨；③求和：、? 口 f(i )； ◎ n ④取极限: 2018 最新中央电大财务管理形成性考核册答案作业1 1.某人现在存入银行1000 元，若存款年利率为5% ，且复利计息，3 年后他可以从银行取回多少钱？ 1000 N1+5%)3=1157.63元。三年后他可以取回1157.63元。 2.某人希望在4年后有8000 元支付学费，假设存款年利率为3% ，则现在此人需存入银行的本金是多少？ 设存入银行的本金为x 4 x(1+3%)4 =8000 x=8000/1.1255=7107.95元。每年存入银行的本金是7108元。 3.某人在3年里，每年年末存入银行3000 元，若存款年利率为4%，则第3年年末可以得到多少本利和？ 3 3000 X [ (1+4%)3 -1 ] /4%=3000 >3.1216=9364.8元 4.某人希望在4年后有8000 元支付学费，于是从现在起每年年末存入银行一笔款项，假设存款年利率为3% ，他每年年末应存入的金额是多少？ 设每年存入的款项为x 公式：P=x (1- (1+i) n-n)/i) 4 x=(8000>3%)/ (1+3%)4-1 x=1912.35 元每年末存入1912.35元 5．某人存钱的计划如下：第1年年末，存2000元，第2年年末存2500 元，第3 年年末存3000元，如果年利率为4% ，那么他在第3 年年末可以得到的本利和是多少？ 第一年息：2000> (1+4%) = 2080元。 第二年息：( 2500+2080)>(1+4%) = 4763.2元。第三年息：( 4763.2+3000) >(1 +4%) = 8073.73元。 答：第 3 年年末得到的本利和是8073.73元。 6．某人现在想存一笔钱进银行，希望在第一年年末可以取出1300 元，第2 年年末可以取出1500 元，第 3 年年末可以取出1800 元，第 4 年年末可以取出2000 元，如果年利率为5% ，那么他现在应存多少钱在银行。 现值PV=1300/(1+5%)+1500/(1+5%)2+1800/(1+5%)3+2000/(1+5%)4=5798.95元那他现在应存5799元在银行。 7．某人希望在4 年后有8000 元支付学费，于是从现在起每年年末存入银行一笔款项，假定存款年利率为3% ，他每年年末应存入的金额是多少？ 设每年存入的款项为X 公式：P=X(1-(1+i)n-n)/i) 4 X= ( 8000>3%)/ (1+3%)4-1 X=1912.35 元 每年末存入1912.35元 8．ABC 企业需要一台设备，买价为本16000元，可用10 年。如果租用，则每年年初需付租金2000元，除此以外，买与租的其他情况相同。假设利率为6% ，如果你是这个企业的决策者，你认为哪种方案好 些？ 如果租用设备，该设备现值= 2000> (P/A , 6% , 9) +1]=15603.4(元) 由于15603.4V 16000,所以租用设备的方案好些。 9．假设某公司董事会决定从今年留存收益中提取20000元进行投资，期望5年后能得当2.5 倍的钱用来 对生产设备进行技术改造。那么该公司在选择这一方案时，所要求的投资报酬率是多少？ 1 / 9 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 1. 某企业生产甲、乙两种产品，有关资料如下 要求：（1）分别按传统成本计算法与作业成本法求出甲、乙两种产品所应负担的制造费用； （2）分别按传统成本计算法与作业成本法计算甲、乙两种产品的总成本和单位成本； （3）比较两种方法计算结果的差异，并说明其原因。 解法1： （1）传统计算法： 甲产品分配的制造费用＝2352000÷（400000＋160000）×400000＝1680000（元） 乙产品分配的制造费用＝2352000－1680000＝672000（元） 作业成本法： 甲产品分配的制造费用＝4×（21428.57＋33571.43＋15714.29）＋400000×（0.72＋0．54）＋200000×（0．96＋0.42）＋3000000×0．05＋．01＝1346849.82（元） 乙产品分配的制造费用＝2352000－1346849.82＝1005150.18（元） （2）传统成本计算法： 甲产品总成本＝＋300000＋1680000＝（元） 甲产品单位成本＝200000＝143.4（元） 乙产品总成本＝2000000＋600000＋672000＝3272000（元） 乙产品单位成本＝3272000÷40000＝81.8（元） 作业成本法： 甲产品总成本＝＋300000＋1346849.82＝（元） 甲产品单位成本＝＝141.73（元） 乙产品总成本＝2000000＋600000＋1005150.18＝3605150.18（元） 乙产品单位成本＝3605150.18÷40000＝90.13（元） （3）根据以上计算可知，采用作业成本法计算的甲产品的成本低于采用传统成本计算法下的成本，而乙产品则正好相反。这主要是因为两种方法对制造费用的分配采用的标准不同，传统成本计算法只采用一个标准，即机器标准工时，而作业成本法则根据成本动因，采用五个分配标准，所以，作业成本法的计算结果更准确。 解法2： 传统成本计算法与作业法下，甲、乙两种产品所应负担的制造费用 （3）作业成本计算出的乙产品成本比传统成本计算法的大，而甲产品成本比传统成本计算法的小。原因是甲产品的直接成本是乙产品的2倍多，按传统成本计算法，其分摊的制造费用较多。而制造费用中的不少项目的发生并不直接成本相关。如材料的验收、产品验收成本，他们与订购次数有关。而乙产品订购次数较多，因此在作业成本法下，乙产品就分摊到较多的成本，故而成本数值增大。 2、 2010年10月A公司产品预算总成本为4147500元，实际总成本为3896765元，成本降低额为250735元，成本降低率6.5%。A公司质量成本构成情况见下表。试分析该公司质量成本指标完成情况。 答： 1、质量成本/实际成本=146482/3896765*100%=3.76% 2、质量成本/预算成本=146482/4147500*100%=3.53% 3、预防成本/预算成本=13316/4147500*100%=0.32% 4、鉴定成本/预算成本=9005/4147500*100%=0.22% 5、内部故障成本/预算成本=108079/4147500*100%=2.61% 6、外部故障成本/预算成本=16082/4147500*100%=0.39% 定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (0高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
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