基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
自动控制原理课程设计说明书
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控
制系统设计
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2018年 1月
目录
1 任务概述 (3)
1.1设计概述 (3)
1.2 要完成的设计任务: (4)
2系统建模 (4)
2.1 对象模型 (4)
2.2 模型建立及封装 (5)
3仿真验证 (9)
3.1 实验设计 (9)
3.2 建立M文件编制绘图子程序 (9)
4 双闭环PID控制器设计 (12)
4.1内环控制器的设计 (13)
4.2外环控制器的设计 (13)
5 仿真实验 (15)
5.1简化模型 (15)
5.2 仿真实验 (16)
6 检验系统的鲁棒性 (18)
6.1 编写程序求系统性能指标 (18)
6.2 改变参数验证控制系统的鲁棒性 (19)
7 结论 (22)
附录 (22)
1任务概述
1.1设计概述
如图1 所示的“一阶倒立摆控制系统”中,通过检测小车位置与摆杆的摆动角,来适当控制驱动电动机拖动力的大小,控制器由一台工业控制计算机(IPC)完成。
图1一阶倒立摆控制系统
这是一个借助于“SIMULINK封装技术——子系统”,在模型验证的基础上,采用双闭环PID控制方案,实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。
1.2 要完成的设计任务:
(1)通过理论分析建立对象模型(实际模型),并在原点进行线性化,得到线性化模型;将实际模型和线性化模型作为子系统,并进行封装,将倒立摆的振子质量m和倒摆长度L作为子系统的参数,可以由用户根据需要输入;
(2)设计实验,进行模型验证;
(3)一阶倒立摆系统为“自不稳定的非最小相位系统”。将系统小车位置作为“外环”,而将摆杆摆角作为“内环”,设计内化与外环的PID控制器;
(4)在单位阶跃输入下,进行SIMULINK仿真;
(5)编写绘图程序,绘制阶跃响应曲线,并编程求解系统性能指标:最大超调量、调节时间、上升时间;
(6)检验系统的鲁棒性:将对象的特性做如下变化后,同样在单位阶跃输入下,检验所设计控制系统的鲁棒性能,列表比较系统的性能指标(最大超调量、调节时间、上升时间)。
倒摆长度L不变,倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1.5kg、2kg、2.5kg、0.8kg、0.5kg;
倒立摆的振子质量m不变,倒摆长度L从0.3m分别改变为0.5m、0.6m、0.2m、0.1m。
2系统建模
2.1 对象模型
一阶倒立摆的精确模型的状态方程为:
若只考虑θ在其工作点θ0 = 0附近的细微变化,这时可以将模型线性化,这时可以近似认为:
一阶倒立摆的简化模型的状态方程为:
2.2 模型建立及封装
上边的图是精确模型,下边的是简化模型。
图2模型验证原理图
2、由状态方程可求得:
Fcn:(4/3*u[1]+4/3*m*l*sin(u[3])*power(u[2],2)-10*m*sin(u[3])*cos(u[3] ))/(4/3*(1+m)-m*power(cos(u[3]),2))
Fcn1:(cos(u[3])*u[1]+m*l*sin(u[3])*cos(u[3])*power(u[2],2)-10*(1+m)*s in(u[3]))/(m*l*power(cos(u[3]),2)-4/3*l*(1+m))
Fun2:(4*u[1]-30*m*u[3])/(4+m)
Fun3:(u[1]-10*(1+m)*u[3])/(m*l-4/3*l*(1+m))
(其中J =mL 2
3
,小车质量M=1kg,倒摆振子质量m,倒摆长度2L,重力加速度g=10m/s2)
将以上表达式导入函数。
3、如下图框选后选择createsubsystem
图3封装
4、封装之后如下图
图4子系统建立
5、将精确模型subsystem和简化模型subsystem1组合成以下系统以供验证,注意add的符号是++,不是+-,网上其他的课设都是错的。(输入信号是由阶跃信号合成的脉冲,幅值为0.05,持续时间(step time)为0.1s)。
图5系统模块封装
6、鼠标右击子系统模块,在模块窗口选项中选择Mask->edit mask,则弹出如下窗口。
图6添加参数
7、点击左边菜单栏的edit,添加参数m和L,注意prompt中的m和L意思是之后对话框中的提示词,而name中的m和L是要被prompt中输入的值导入的变量,如果name中填错了,那么之后的值将无法导入。
图7编辑参数
8、在系统模型中,双击子系统模块,则会弹出一个新窗口,在新窗口中可以输入m和L的值,之后将会输入,如图8所示。
图8输入参数
3仿真验证
3.1 实验设计
假定使倒立摆在(θ=0,x=0)初始状态下突加微小冲击力作用,则依据经验知,小车将向前移动,摆杆将倒下。
3.2 建立M文件编制绘图子程序
图9绘图子程序
(提示:附录中有子程序方便大家Ctrl+c(^_^),上边只是为了方便对照)。
1、在系统模型中,双击子系统模块,则会弹出一个新窗口,在新窗口中输入m
和l值,点击OK并运行,如图10所示。
图10 输入参数
2、如图设置tofile模块的参数,Variablename的名字就是M程序中的函数名,
这里如果不是signals的话程序是无法运行的。Save format要选择Array,因为程序是按数组形式调取变量的,没有选择Array的话运行程序会出现“索引超出矩阵维度”的错误。
图11 tofile参数设置3、运行M文件程序,执行该程序的结果如图8所示。
图12 模型验证仿真结果
从中可见,在0.1N的冲击力下,摆杆倒下(θ由零逐步增大),小车位置逐渐增加,这一结果符合前述的实验设计,故可以在一定程度上确认该“一阶倒立摆系统”的数学模型是有效的。同时,由图中也可以看出,近似模型在0.8s以前与精确模型非常接近,因此,也可以认为近似模型在一定条件下可以表达原系统模型的性质。
4 双闭环PID控制器设计
一级倒立摆系统位置伺服控制系统如图13所示。
图13 一级倒立摆系统位置伺服控制系统方框图
4.1内环控制器的设计
内环采用反馈校正进行控制。
图14 内环系统结构图
反馈校正采用PD控制器,设其传递函数为D2′s=K1s+K2,为了抑制干扰,在前向通道上加上一个比例环节D2s=K
控制器参数的整定:
设D2s的增益K=-20,则内环控制系统的闭环传递函数为
令ξ= 0.7
内环控制器的传递函数为:D2′s=0.175s+1.625
内环控制系统的闭环传递函数为:W2s=64
s2+11.2s+64
4.2外环控制器的设计
外环系统前向通道的传递函数为:
图12 外环系统结构图
对外环模型进行降阶处理,若忽略W2s的高次项,则近似为一阶传递函数为:
对模型G1(s)进行近似处理,则G1(s)的传递函数为:
外环控制器采用PD形式,其传递函数为:D1s=K3(τs+1)
采用单位反馈构成外环反馈通道,则D1′s,则系统的开环传递函数为:
采用基于Bode图法的希望特性设计方法,得K3=0.12,τ= 0.87,取τ= 1,则外环控制器的传递函数为
图13 系统仿真结构图
5 仿真实验
5.1简化模型
1、根据已设计好的PID控制器,可建立图14系统,设置仿真时间为10ms,单
击运行。这个仿真是为了便于理解。
2、
图14 SIMULINK仿真框图
3、新建M文件,输入以下命令并运行
%将导入到PID.mat中的仿真试验数据读出
load PID.mat
t=signals(1,:);
q=signals(2,:);
x=signals(3,:); %drawing x(t) and thera(t) response signals
%画小车位置和摆杆角度的响应曲线
figure(1)
hf=line(t,q(:));
grid on
xlabel ('Time (s)')
axis([0 10 -0.3 1.2])
ht=line(t,x,'color','r');
axis([0 10 -0.3 1.2])
title('\theta(t) and x(t) Response to a step input')
gtext('\leftarrow x(t)'),gtext('\theta(t) \uparrow')
执行该程序的结果如图15所示
图15 仿真结果
5.2 仿真实验
注意,图中子系统为简化模型而不是精密模型(MMP网上的写的精密模型,调了好久才发现)。
图16 SIMULINK仿真框图
图17系统仿真结果图
6 检验系统的鲁棒性
检验系统的鲁棒性:将对象的特性做如下变化后,同样在单位阶跃输入下,检验所设计控制系统的鲁棒性能,列表比较系统的性能指标(最大超调量、调节时间、上升时间)。
6.1 编写程序求系统性能指标
新建pid.m文件,输入以下命令并保存
load PID.mat
clc
t=signals(1,:);
x=signals(2,:);
q=signals(3,:);
figure(1)
hf=line(t,q(:));
grid on
axis([0 10 -0.3 1.2])
ht=line(t,x,'color','r');
r=size(signals); e=r(1,2);
C=x(1,e); %得到系统终值
y_max_overshoot=100*(max(x)-C)/C %超调量计算
r1=1;
while (x(r1)<0.1*C)
r1=r1+1; end r2=1;
while (x(r2)<0.9*C)
r2=r2+1;
end
x_rise_time=t(r2)-t(r1) %上升时间计算
s=length(t);
while x(s)>0.98*C&&x(s)<1.02*C
s=s-1;
end
x_settling_time=t(s) %调整时间计算
C1=q(1,e);
[max_y,k]=max(q);
q_max_overshoot=max(q)-C1%超调量计算
q_rise_time=t(k) %上升时间计算
s=length(t);
while q(s)>-0.02&&q(s)<0.02
s=s-1;
end
q_settling_time=t(s) %调整时间计算
6.2改变参数验证控制系统的鲁棒性
倒摆长度L不变,倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1.5kg、2kg、2.5kg、0.8kg、0.5kg;倒立摆的振子质量m 不变,倒摆长度L 从0.3m 分别改变为0.5m、0.6m、0.2m、0.1m。在单位阶跃输入下,检验所设计系统的鲁棒性
。
1、改变输入参数并运行,再运行pid.m文件,得到响应曲线及性能指标,记录
表1
图18 改变输入参数
2、仿真实验的结果如图19所示: