天津市第一中学2020届高三数学下学期第四次月考试题 理

天津市第一中学2020届高三数学下学期第四次月考试题理

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时

120 分钟．

第 I 卷（选择题共 40 分）

一．选择题：共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符

合题目要求的，将．答．案．涂．在．答．题．卡．上．．

1．设集合A ={x x - 2 ≤ 2, x ∈R}，B ={y| y =-x2 ,-1 ≤x ≤

2}，则C

(A B )等于

A．R B．{x x ∈R, x ≠

0}

C．{0}D．?

?x +y ≥

3

2．设变量x, y 满足约束条件：?

x -y ≥-1 .则目标函数z = 2x +3y

?2x -y ≤ 3

的最小值为

A．6 B．7 C．8 D．23

3．执行如图所示的程序框图，如果输入的

t

0.01 ，则输出的n A．5 B．6 C．7 D． 8

2

5．设等比数列的 {a n }的前 n 项和是 S n ，则“ a 1 > 0 ”是 “ S 3 > S 2 ”的 A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知函数 f (x ) = e

x - e - x ，若 3a = log

b =

c ，则

A ． f (a ) <

f (b ) < f (c )

B ． f (b ) <

f (c ) < f (a )

C. f (a ) < f (c ) < f (b ) ． D ． f (c ) <

f (b ) < f (a )

x 2 y 2

7．已知双曲线 - a 2 b 2 = 1 （ a > 0 ， b > 0 ）左支上点 B 与右焦点 F 关于渐近线对称，且

BF = 4 ，则该双曲线的方程为

A ． x 2 - y

= 1

B ．

x

-

y

= 1

C.

x

-

y

= 1

D ． x

2 - y 2 = 4 4

2

4 3 4

8．己知函数 f ( x ) = x 3 + a , a ∈ R 在 [- 1,1]上的最大值为 M (a ) ，若函数

g ( x ) = M ( x ) - x 2 + t 有 4 个零点，则实数 t 的取值范围为

? 5 ? A. 1, ? ? 4 ? B. (- ∞,-1)

C. (- ∞,-1) ? 1,

5

?

? 4 ?

D. (- ∞,-1) ? (1,2)

第 II 卷（非选择题 共 110 分）

二、填空题：共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，将．答．案．填．写．在．答．题．纸．上．．

9．若 z = (a

2 -1) + (a -1)i 为纯虚数，其中 a ∈ R ，则 a + i 等于 1 + ai 4 2

10．如图，半球内有一内接正四棱锥 S ?A BCD ，该四棱锥的体积为 3 ，

则该半球的体积为

?11．二项式

?

n

x 2

?

2 ?

的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值。则展开式中

x 项的系数是

12．由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是

13．设正实数m, n 满足m >1

, n > 1 ，则

4m

+

n

的最小值为

2 n -1 2m -1

14．在Rt?ABC 中，已知∠A 为直角，BC =a ，若长为 2a 的线段PQ 以点A 为中点，则BP ?CQ 的最大值为

三．解答题：共 6 个小题，总计 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知△ABC 的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足

sin(2 A +B)

= 2 + 2 cos( A +B) .

sin A

b （Ⅰ）求

a 的值；（Ⅱ）若a =1, c

=

7 ，求?ABC 的面积.

16．英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）

（Ⅰ）英语老师随机抽了4 个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的

概率；

4（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为

5

3，对前两天所学过的单词每

个能默写对的概率为

5

．若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数ξ的分布列和期望．

17．已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为 4 的正方形，?PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD, E、F、G 分别是PA、PB、BC 的中点．

（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段PD 上是否存在一个动点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π

，若存6

在，求线段PM 的长度，若不存在，说明理由．

18．已知正项等比数列 {a n }，等差数列 {b n }满足 a 1 = b 1 = 1, a 2 + b 2 = 7 ，且 a 2 是 b 1 与

b 3 + 2 的等比中项．

（Ⅰ）求数列 {a n }， {b n }的通项公式；

（Ⅱ）设 c n = (-1)

b n + a n b 2n ，求数列 {

c n }的前 n 项和 T n ．

x 2 y 2 19．如图已知椭圆 + a 2 b 2

= 1(a > b > 0), A (2,0) 是长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中

心 O ，且 AC ? BC = 0, OC = 2 BC - BA .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设 P , Q 为椭圆上异于 A , B 且不重合的两点，且 ∠PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴， 是否存在实数 λ ，使得 PQ = λ AB ，若存在，请求出 λ 的最大值，若不存在，请说明理由.

y

C

O

A x

B

20．己知函数 f (x ) = ln x - mx , m ∈ R .

（Ⅰ）求 f (x ) 的极值；

（Ⅱ）证明： m = 0 时， e x >

f (x + 2)

（Ⅲ）若函数 g (x ) = (x - e ) f (x ) 有且只有三个不同的零点，分别记为 x 1 , x 2 , x 3 ，设

x 3

x 1 < x 2 < x 3 且

x 1

的最大值是 e 2 ，证明： x x ≤ e 2( e 2 +1) e 2

-1

参考答案：

一、选择题：

B B

C

D A C A C

二、填空题：

4 2 15

9．i 10．π11．－

3 2

12．108 13．8 14．0三．解答题：

15．解析：（Ⅰ）∵sin(2 A +B)

= 2 + 2 cos( A +B) ，sin A

∴sin(2 A +B) =2sin A +2sin A cos( A +B) ，

∴sin[ A +(A +B)] =2sin A +2sin A cos( A +B) ，-----------------------2 分

∴sin( A +B) cos A - sin A cos( A +B) =2sin A ，

∴sin B =2sin A ，------------------------------------------------4 分

∴b = 2a ，∴b

= 2 -----------------------------------------------6 分

a

（Ⅱ）∵a =1，c =7 ，

b

= 2 ，∴b = 2 ，--------------------------8 分a

a2 +b2 -c2 1 + 4 - 7 1 2π

∴cos C ===-，∴C = .--------------------11 分2ab 4 2 3

∴S =1

ab sin C =

1

?1?2?

3

=3

，即△ABC 的面积的

3

.--------13 分

△

ABC 2 2 2 2 2

16．

（Ⅱ）由题意可得ξ可取 0，1，2，3，

则有 P(ξ=0) = ( 1 )2 ? 2

= 2

………7 分

5 5 125

P(ξ=1) = C 1 ? 4 ? 1 ? 2 + ( 1 )2 ? 3 = 19 ， 2

5 5 5 5 5 125

P(ξ=2) = ( 4 )2 ? 2 + C 1 ? 4 ? 1 ? 3 = 56 ，

5 5 2 5 5 5 125

P(ξ=3) = ( 4 )2 ? 3 = 48

…………………………………………………10 分 5 5 125

所以ξ的分布列为：

…11 分

故 E ξ=0× 2

125

19 +1× 125 56 +2× 125 48 +3× 125 11

= ……………………………13 分

5

17

18．

又，则：，解得或

因为中各项均为正数，所以，进而．-----------------------3 分故．-------------------------------------------------------5 分（2）设----------------------------------6 分

设数列的前项和为，数列的前项和为，

当为偶数时，，

当为奇数时，，----------------8 分而①，

则②，

由①-②得：

，

，因此，---------------------------11 分

综上：---------------------------------------

13

分

19．

y

C

O A x

B

解（I）∵AC ?BC =

0,

∴AC ⊥BC, ∠ACB = 90?

又OC -OB = 2 BC -BA , 即BC = 2 AC ，∴△AOC 是等腰直角三角形……………2 分

∵A(2, 0),∴C(1,1) 而点 C 在椭圆上，∴

1

+

1

a2b2

=1, a =

2,

∴b2 =

4

3

∴所求椭圆方程为x

3y

2

+=1

…………………4 分4 4

（II）对于椭圆上两点P 、Q，∵∠PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴

∴PC 与CQ 所在直线关于x = 1 对称，设k PC =k(k ≠ 0 且k ≠±1) ，则k CQ = -k ，………5 分

则PC 的直线方程y -1 =k(x -1) ?y =k(x -1) +1 ①

QC 的直线方y -1 =-k(x -1) ?y -k(x -1) +1 ②

将①代入x3y2

+=1得(1 + 3k 2 )x2 - 6k (k -1) x + 3k 2 - 6k -1 = 0 ③4 4

∵C(1,1) 在椭圆上，∴x = 1 是方程③的一个根，∴x p

3k 2 - 6k

-1

?1 ==x

1 + 3k 2

p

……………7 分

以-k 替换k ，得到x =

3k+ 6k -1

.----------------------------------------8 分

Q 3k 2 +1

k PQ =6k 2

- 2

-4k

-------------------10 分

而k =1 ,

∴k =

k ,

∴PQ ∥AB，∴存在实数λ，使得PQ =λ

AB

………………11 分

AB 3 PQ AB

| PQ |=

2

( x -x )

+ ( y-y )

2

=

(

-12k )2

+(

-4k)2

=

160k 2

=160≤ 2

30

p q p q 2 2 2 2 1

当9k2 =

1

时即k2

=

1

,

k =±

1 +

3k

3

时取等号，

1 +3k(1 + 3k )9k

2 + + 6 3

k 2

k2 3 3

又| AB |=10 ，λ=

2

30

3

10

=

2

3

3

…………………… 14 分

20．

（1）函数的定义域为(0，+∞).

由已知可得．--------------------------------------------1 分

当 m ≤0 时， >0，故 在区间(0，+∞)上单调递增； f (x ) 无极值-------2 分

当 m>0 时，由 >0，解得 ；由 0，解得 ．

所以函数 在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减.

f (x ) 的极大值为 f ( 1

) = - ln m -1 ，无极小值--------------------------4 分

m

（Ⅱ）证明：令 F (x ) = e

x - ln(x + 2) 故只需证明.

函数在（－2，+∞）上为增函数，且

． 故在（－2，+

∞）上有唯一实数根，且∈（－1，0）．--------------------5 分

当时，，当时，, 从而当时，取得最小值． ------------------------------------------------

------ ---6 分

由

，得，即

，-----------------------------7 分

故．--------------------------------------------

-------

8 分

综上，当 m≤2 时，即＞m．

（Ⅲ）∵函数 g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，

显然 x=e 是其零点，

∴函数存在两个零点，即有两个不等的实数根．

可转化为方程在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根，即函

数 y=m 的图象与函数的图象有两个交点.

∵，

∴由>0，解得，故在上单调递增；由<0，解得 x>e，

故在(e，+∞)上单调递减；

故函数 y=m 的图象与的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上，

即 lnx-mx=0 的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上，------------------------9 分∴ g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0e．

令，则 t∈．

由，解得故，t∈．---11 分

令，则．令，则．------------------------12 分所以在区间上单调递增，即>．

所以，即在区间上单调递增，

即≤=，

所以，即x1x3≤，---------------------------------------14 分