2012年上海市杨浦区初三数学二模试题附详细答案

初三数学基础测试卷

一、

选择题（本大题每小题4分，满分24分）

1．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列关系式正确的是 （ ） （Ａ）0<-b a ； （Ｂ）b a = ；

（Ｃ）0>ab

； （Ｄ）0>+b a ．

2．下列运算正确的是 （ ）

（Ａ）246a a a +=； （Ｂ）246a a a ?=； （Ｃ）24

6

()a a =； （Ｄ）1025

a a a ÷=．

3．函数1

3

-+=

x x y 中自变量x 的取值范围是 （ ） （Ａ）x ≥－3； （Ｂ）x ≥－3且x ≠1； （Ｃ）x ≠1； （Ｄ）x ≠－3且x ≠1． 4．若AB 是非零向量，则下列等式正确的是 （ ） （A ）AB BA =； （B ）AB BA =； （C ）0AB BA +=； （D ）0AB BA +=． 5．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是2和1，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可以是 （ ） （A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8．

6．命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应边相等。

其中逆命题为真命题的有 （ ） （A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个． 二、

填空题（本大题每小题4分，满分48分）

7．分解因式 3

4x x -= .

8．计算1)(2= . 9．已知反比例函数k

y x

=

的图象经过点（3，－4），则这个函数的解析式为 . 10．若关于x 的方程2220x ax a --=有两个相等的实数根，则a 的值是 .

11．将分式方程

14

4212=-++x x

x 去分母后，化为整式方程是 . 12．一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为 .

13．某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元。若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x ，则可列出关于x 的方程为 .

14．已知一次函数b kx y +=（0k >）的图象过点（1，－２），则关于x 的不等式

02≤++b kx 的解集是

.

15．等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为 ㎝. 16．正十五边形的内角等于 _ 度.

17．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于 . 18．如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x －6上时，线段BC 扫过的面积为 cm 2.

三、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分）

19．化简求值：)11(x -÷1

122

2-+-x x x 其中2=x .

20．解不等式组352,1212

x x x x -

?-≤+??并将其解集在数轴上表示出来.

21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 的半径3cm ，则弦CD 的长为多少？

(第17题图) B A M

O

22．为了解某社区居民在一次爱心活动中的捐款情况，对该社区部分捐款户的捐款情况进行了调查，并将有关数据整理成如图所示的统计图（不完整）.已知Ａ、Ｂ两组捐款户数直方图的高度比为１：5，请结合图中相关数据回答下列问题.

（1）A 组的频数是 ；本次调查样本的容量 ； （2）C 组的频数是 ； （3）请补全直方图；

（4）若该社区有500户住户，则估计捐款不少于300元的户数 。

23． 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交

CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。 （1） 求证：BD =CD ； （2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。

第20题图

24．已知直线1

12

y x =

+与x 轴交于点A ，

与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90?，使点A 落在点C ，点B 落在点D ，抛物线2

y ax bx c =++过点A 、D 、C ，其对称轴与直线AB 交于点P ，

（1） 求抛物线的表达式； （2） 求∠POC 的正切值；

（3） 点M 在x 轴上，且△ABM 与△APD 相似，求点M 的坐标。

25．（本题满分14分，第(1)小题3分，第(2)小题4分，第（3）小题7分） 梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =α（090α?<

（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明∠1与∠2的数量关系； （2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于∠1与∠2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若1

cos 3

α=，试用x 的代数式表示y 。

A

B

C

D

（备用图）

A

B

C

D P

E

杨浦区初三数学基础测试卷答案 2012.3

一、 选择题（每题4分，共24分） 1、 D ；2、B ；3、B ；4、B ；5、A ；6、C 二、 填空题（每题4分，共48分）

7、(2)(2)x x x +-；8；9、12y x =-；10、0,或-16；11、2

520x x --=；12、29

； 13、2

350(1)299x -=；14、x ≤1；15、6；16、156；17、12

；18、8

三、解答题

19、解：原式=2211

21

x x x x x --?-+-----------------------------------------------------1分，1分 =

21(1)(1)

(1)

x x x x x --+?------------------------------------------------------------4分 =

1

x x +------------------------------------------------------------------------------2分 当x=2时，原式=3

2

-------------------------------------------------------------------------------2分

20、解：由352x x -<解得5x <-------------------------------------------------------------3分

由1212

x x -≤+解得1x ≥---------------------------------------------------------3分

∴不等式组的解为15x -≤<------------------------------------------------------2分

图略------------------------------------------------------------------------------------------------2分

21、解：∵CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，∴设BE=a ，则 ---------------------1分

∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴CE=DE ，-----------------------------2分 ∵OC=OB=3， ∴OE=3－a----------------------------------------------------------1分 ∴在Rt △OEC 中，222

OC CE OE =+,-------------------------------------------------2分

∴22

33)a a =+，∴a =

，----------------------------------------------------2分

223CD CE ===--------------------------------------------------------------2分 22、（1）2；50；-----------------------------------------------------------------------------2分，2分 （2）20-------------------------------------------------------------------------------------------------2分 （3）略-------------------------------------------------------------------------------------------------2分 （4）180-----------------------------------------------------------------------------------------------2分 23、证明：（1）AF BC ∥，AFE DCE ∴=∠∠ -----------------------1分

E 是AD 的中点，AE DE ∴=． ------------------------------------------1分

又∵∠AEF=∠DEC ，∴△AEF ≌△DEC --------------------------------------2分

AF DC ∴=，-----------------------------------------------------------------------1分

AF BD = B D C D

∴= ---------------------------------------------1分 （2）四边形AFBD 是矩形 ----------------------------------------------------2分

AB AC =，D 是BC 的中点AD BC ∴⊥ ，90ADB ∴=∠--------1分 AF BD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形 -------------2分

又90ADB =∠ ∴四边形AFBD 是矩形．------------------------------------1分 24、解：（1）由题意得A （-2,0），B （0,1）

∵△AOB 旋转至△COD ，∴C （0,2），D （1,0）----------------------------------------2分 ∵2

y ax bx c =++过点A 、D 、C ，

∴04202a b c

a b c c

=-+??=++??=?

，∴112a b c =-??=-??=?，即抛物线是2

2y x x =--+-----------------2分

（2）设对称轴与x 轴交点为Q 。

∵PQ//y 轴，∴∠POC=∠OPQ ∵抛物线的对称轴为直线x=1

2

-,-----------------1分 ∴P （12-，3

4

）---------------------------------------1分 ∴PQ=

34,OQ=1

2

，在Rt △PQO 中，tan ∠OPQ=OQ PQ =23

∴tan ∠POC=

2

3

.-------------------------------------------2分 （3）∵点M 在X 轴上，且△ABM 与△APD 相似，∴点M 必在点A 的右侧 ∵∠A=∠A ，∴

AP AB AD AM =或AP AM

AD AB

=

,--------------------------------------------------2分 ==，

∴AM=4或AM=54 ∴M （2,0）或（3

4

-

，0）----------------------------------------------------------------------1分，1分 25、（1）∠1=∠2---------------------------------------------------------------1分 证明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2， ∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2，

∵∠ABC=α=∠APE ，∴∠1=∠2------------------------------2分 （2）会改变，当点P 在BC 延长线上时，即5x >时，----------1分

∠1与∠2的数量关系不同于（1）的数量关系。

解：∵∠APE=α=∠ABC ，∴∠APB=α－∠2，-------------------1分 ∵∠ABC+∠BAP+∠APB=1800，∴α+∠1+α－∠2=1800，----1分 ∴∠1－∠2=1800－2α。-------------------------------------------------1分

（3）情况1：当点P 在线段BC 上时， ∵∠1=∠2，∠B=∠C ，

∴△ABP ∽△PCE ，-------------------------------------------------------1分 ∴

AB BP

PC CE

=

，------------------------------------------------------------1分 即

35x x y =-，∴251

33

y x x =-。------------------------------------2分 情况2：当点P 在线段BC 的延长线上时，

可得△EPC ∽△EGP ，∴2

EP EC EG =?--------------------------1分 作AM//CD ，可得3

(5)2

GC x x =

-- 作EK ⊥BP ，由1

cos 3

α=

得11,,5333CK y KE y KP x y ==

∴=--

∴2

221

(

)(5)33

EP y x y =+--，

于是223(5)1

()()(5)233

x y y y x y x -+=+--- 即2

2223821(5)(5)(5)2939

y x y y x x y y x +

-=+---+- 亦即232130

25

x x y x -+=+-----------------------------------------------2分

P

C E B

M

D

1

2

α

G

K