3高斯公式与斯托克斯公式
第二十二章 曲面积分
§3 高斯公式与斯托克斯公式
授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297） 教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用 教学重点：定理22.3, 定理22.4 教学难点：定理22.3,定理22.4 教学方法：讲练结合． 教学程序：1．引导
2．定理22.3,定理22.4 3．例题及部分习题练习
4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。
一 高斯公式
格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss ）公式。 定理22.3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成。若函数P ， Q ，R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则
?????++=???? ????+??+??S
V Rdxdy
Qdzdx Pdydz dxdydz
z R y Q x P ， （1）
其中S 取外侧。（1）式称为高斯公式。 证 下面只证
.?????=??S
V Rdxdy dxdydz z R
读者可类似地证明
.,??????????=??=??S
V S V Qdzdx dxdydz y Q
Pdydz dxdydz x P
这些结果相加便得到了高斯公式（1）。
先设V 是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面 ①若S 为封闭曲面，则曲面积分的积分号用
??
表示。
()()()()xy
xy D y x y x z z S D y x y x z z S ∈=∈=,,,:,,,,:1122
及以垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成（图22－6），其中()()y x z y x z ,,21≤。于是按三重积分的计算方法有
()()()()()()()()()()()()()()(),
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1
2
1
2
211
2
1
2
,,????????????????????-+=-=-=
-=??=??S S S S D D D y x z y x z D V dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R dxdy
y x z y x R y x z y x R dz z R dxdy dxdydz z R
xy
xy
xy
xy
其中21,S S 都取上侧。又由于3S 在xy 平面上投影区域的面积为零，所以
().0,,3
=??S dxdy z y x R
因此
.
312???????????=++=??-S
S S S V Rdxdy Rdxdy Rdxdy Rdxdy dxdydz z R
对于不是xy 型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy 型
区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。 ▌ 高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。 例1 计算
()()
,2
2??+++-S
dxdy xz y dzdx x dydz z x y 其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。
解 应用高斯公式，所求曲面积分等于
()()()
()
????????
?+??+??+-??V dxdydz xz y z x y z x y x 2
2
()().
214020
a dy a ay a dx
x y dy dz dxdydz x y a
a
a a V
=??? ?
?
+=+=+=??????? ▌
若高斯公式中P ＝x,Q=y,R=z,则有
().111?????++=++S
V
zdxdy ydzdx xdydz dxdydz
于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式
.31
??++=
?S
zdxdy ydzdx xdydz V
二 斯托克斯公式
斯托克斯（Stokes ）公式是建立沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系。
在讲下述定理之前，先对双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下规定：设有人站在S 上指定的一侧，若沿L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线L 的负向，这个规定方法也称为右手法则，如图22－7所示。
定理22.4 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线。若函数P 、Q 、R 在S （连同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则
,
???++=???? ????-??+??? ????-??+???? ?
???-??L
S Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R （2） 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定。
证 先证
,???=??-??L S
Pdx dxdy y P dzdx z P （3） 其中曲面S 由方程()y x z z ,=确定，它的正侧法线方向数为()
1,,y x z z --，方向余弦为
()γβαcos ,cos ,cos ，所以
.cos cos ,cos cos γ
β
γα-=??-=??y z x z 若S 在xy 平面上投影区域为xy D ，L 在xy 平面上的投影曲线记为Γ。现由第二型曲线积分定义及格林公式有
()()()()().,,,,,,,,??
????
-==Γ
xy
D L
dxdy y x z y x P y dx
y x z y x P dx z y x P
因为
()(),,,,y
z z P y P y x z y x P y ????+??=?? 所以
高中数学课本中的定理公式结论的证明
数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．
第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A
高中数学相关定理及证明
高中数学相关定理、公式及结论证明 汉阴中学正弦定理证明 内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C c B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = . 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。 由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . （3）在ABC Rt ?中，,sin ,sin c b B c a A == ∴ c B b A a ==sin sin ， .1sin ,90=?=C C Θ.sin sin sin C c B b A a ==∴ 由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=R c B C 2sin sin ='=. ∴R C c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===. 3.向量法证明正弦定理 a b D A B C A B C D b a
高中数学证明公式
高中数学证明公式数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A
高中数学基本定理证明
1三角函数的定义证明. 已知锐角△ABC中，AB=c，AC=b,BC=a，利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA解：作CD⊥AB于点D 在Rt△BCD中，由cosB=BD/BC，得BD=acosB,在Rt△ACD中，由cosA=AD/AC，得AD=bcosA，所以c=AB=BD+AD=acosB+bcosA 逐步提示： 1、根据待证明的条件中存在三角函数，而题目本身图形为锐角三角形，所以要在原图形中通过添加辅助线来构造直角三角形。 2、根据求【c的表达式，既是求AB的三角函数表达式】，因此添加辅助线时考虑【将AB 线段变为直角三角形的边】，可以作【CD⊥AB 于点D，】接下来考虑如何在在直角三角形中利用直角三角形三角函数来求解边角关系。 3、接下来分别在Rt△ACD和Rt△BCD中利用三角函数来表示AD的长度向待证靠近 2点P为△ABC内任意一点，求证点P到△ABC距离和为定值点P为△ABC外时,上述结论是否成立,若成立，请证明。若不成立h1,h2,h3与上述定值间有何关系【设点p 到AB,BC,CA三边距离为h1,h2,h3】 证明：连接ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ，过Ｃ作ＡＢ上的高ＡＤ，交ＡＢ于Ｇ。 过Ｐ作ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的重线交ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ于Ｄ、Ｅ、Ｆ 三角形ＡＢＣ面积＝ＡＢ＊ＣＧ／２ 三角形ＡＢＣ面积＝三角形ＡＢＰ＋ＢＣＰ＋ＣＡＰ面积 ＝AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2 =AB(PD+PE+PF)/2 故：AB*CG/2=AB*(PD+PE+PF)/2 CG=PD+PE+PF 即：点P到△ABC距离和为三角形的高，是定值。 （２） 若Ｐ在三角形外，不妨设h1>h3,h2>h3，则有： h1+h2-h3=三角形边上的高 3棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于多少？ 简证如下： 设Ｍ为正四面体Ｐ-ＡＢＣ内任一点， Ｍ到面ＡＢＣ，面ＰＡＢ，面ＰＡＣ，面ＰＢＣ的距离分别为ｈ1，ｈ2，ｈ3，ｈ4． 由于四个面面积相等， 则ＶＰ-ＡＢＣ＝ＶＭ-ＡＢＣ＋ＶＭ-ＰＡＢ＋ＶＭ-ＰＡＣ＋ＶＭ-ＰＢＣ
高中数学竞赛平面几何定理证明大全
Gerrald 加油坚持住 Gerrald 加油坚持住 Gerrald 加油坚持住 莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成 一个正三角形。 設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P, D两个点（图1），按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD, CD正好是∠CBP, ∠BCP的角平分线。 莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点，使△DEF是个正三角形，再证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了 为此，先把DP连起來，在CP, BP上分別取两点E, F使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一个三角形△DEF。为什么它是一个正三角形呢？因为D是△BPC的內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP ＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△DPE≌△DPF。于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。 接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF 的确会三等分∠BAC。
如图2所示，在AB, AC上各取一点G,H,使得BG＝BD, CH＝CD，把G、F、E、H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF ＝FD＝FE＝ED＝EH。 下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。 为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。 看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠FGE也就能求出来了。 △PFE也是一个等腰三角形，这是因为△PDF≌△PDE，（PD是公用边，∠DPF＝∠DPE，∠PDF＝∠PDE＝30°），所以PF=PE。等腰三角形△PFE的顶角大小为： ∠FPE=π-2/3（∠ABC+∠ACB）=π-2/3（π-∠BAC）=π/3+2/3∠BAC (1) ∠BFD=∠PDF+∠DPF=π/6+1/2∠FPE=π/6+π/6+1/3∠BAC=π/3+1/3∠BAC (2) ∠GFE=2π-∠EFD-2∠BFD=2π-π/3-2π/3-2∠BAC/3=π-2/3∠BAC (3) 最后得到：∠FGE=∠FEG=1/2(π-∠GFE)=1/3∠BAC...（4）同理可证：∠FHE=∠HFE=1/3∠BAC (5) 至此可知G,H,E,F，A五点共圓。 因GF=FE=EH，所以∠GAF=∠FAE=∠EAH=1/3∠BAC (6) 即AE和AF恰好是∠BAC的三等分线，所以△DEF是莫利三角形。 AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分别交圆于C、D、E、F，连接CF,ED分别交AB于点M、N，求证：MS=NS。
高中数学常用公式与证明专题
1 高中数学常用公式与证明专题 本专题由北京大学教材研究所审定 依据《普通高中课程标准》编写 1.不等式的基本性质： （1）对称性：b a >?a b < （2）传递性：b a >，c b >?c a > （3）可加性：b a >?c b c a +>+ （4）加法：b a >，d c >?d b c a +>+ （5）保号性：b a >，0>c ?bc ac >；0 高中数学定理证明 高中数学定理证明数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2π b)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota 高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA u u u r 、OB uuu r 、OP uuu r 是三个有共同起点的不共线向量，求证： 它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r ． 【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线?m+n=1，且OP mOA nOB ==u u u r u u u r u u u r 成立；（2）上述条件成立?A 、B 、P 三点共线． 【证明】（1）由三点共线?m 、n 满足的条件． 若A 、B 、P 三点共线，则AP u u u r 与AB u u u r 共线，由向量共线的条件知存 在实数λ使AP AB λ=u u u r u u u r ，即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴(1)OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1． （2）由m 、n 满足m+n=1?A 、B 、P 三点共线． 若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r 且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-u u u r u u u r u u u r ． 则()OP OB m OA OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即BP mBA =u u u r u u u r ． ∴BP u u u r 与BA u u u r 共线，∴A 、B 、P 三点共线． 由（1）（2）可知，原命题是成立的． 【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一． 举一反三： 【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-u u u r ， 12BC e e =+u u u r ，1269CD e e =-u u u r ，求证：A ，C ，D 三点共线． 【解析】 因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC u u u r 与CD uuu r 共线． 高中数学常用公式及定理 1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数 学成绩将会起到很大的作用。 2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。 1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非 空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M < 高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义， 有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C A B C D b a D C B A 教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 b a a b a b D 1 C 1B 1A 1 D C B A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线 7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α?，a A α=I ，//a α． a α a A α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=I ， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾， b ′O b a A 1 B 1C 1 D 1 D C 高中数学定理证明汇总 必修1 P64 分数指数幂的定义、根式解释： 一般的，给定正实数a,对于任意给定的正整数m,n,存在唯一的正实数b,使得b n =a m ,我们把b 叫作a 的n m 次幂，记作n m a b =， 它就是正分数指数幂。 有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即n m n m a a = （a>0） P81 对数的运算性质： 证明：设log a M=p,log a N=q,则由对数定义得a p =M,a q =N. 因为 MN=a p a q =a p+q ，所以p+q=log a (MN) 即log a (MN)=log a M+log a N P84 换底公式： 证明：设x=log b N,根据对数定义，有N=b x. 两边取以a 为底的对数，得log a N=log a b x . 而log a b x =xlog a b,所以log a N=xlog a b. 由于b ≠1,则log a b ≠0，解出x,得x= b N a a log log , 因为x=log b N,所以log b N= b N a a log log 很容易由换底公式得到 log b a= b log 1a 必修2 P24 平面的基本性质的推论： 1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 证明推论2： 设a b A =，在直线a 上取点B ，且A 、B 不重合，在直线b 上取点C ，且A 、C 不重合。 因为A 、B 、C 不重合 则有且仅有一个平面α经过A 、B 、C 因为点A 、B 都在直线a 上 如果a>0,1≠a ,M>0,N>0,则 （1）log a (MN)=log a M+log a N; （2）log a M n =n ·log a M (n ∈R)； （3）log a N M =log a M-log a N. log b N=b N a a log log (a,b>0,a, b ≠1,N>0) 第三章 旋转椭球的斯托克斯（Stokes ）问题 地球的大地水准面接近旋转椭球，旋转椭球有两个参数．它的赤道半径和极半径或扁率。选择参数适当的旋转椭球，使得大地水准面相对椭球面起伏的平方在旋转椭球面上的积分最小。这种旋转椭球称为参考椭球。实践表明．当参考椭球的赤道半径取为6378147m 、扁率的倒数取为298.26时，大地水准面相对参考椭球面的起伏的幅度不超过110m ．即起伏的幅度约为参考椭球赤道半径的10-5量级。本章讨论旋转椭球的斯托克斯问题，即讨论如何计算以固定旋转角速度旋转的旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。 3.1 斯托克斯定理 斯托克斯定理表述为：假若有一物体以一定的旋转角速度ω绕固定在物体内部的旋转轴O Ω旋转，则此物体的总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面的形状∑，唯一地确定此物体在其表面上和物体的外部空间产生的重力场。这一定理是斯托克斯于1849年导出的。在数学上，根据物体的总质量M 、绕固定轴旋转轴旋转角速度ω和其外重力等位面的形状∑这三个条件，计算此物体在其表面上和外部空间产生的重力场称为求解此物体的斯托克斯问题。现将斯托克斯定理证明如下。 如图3.1.1所示，假若总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面形状∑给定的某一物体在其表面上和外部空间产生两个不同的重力位12(),()W W r r ，若能证明12(),()W W r r 在物体的表面上和外部空间恒等，则斯托克斯定理得到了证明。物体的重力位由它的引力位和 离心力位两部分组成；用12(),()V V r r 分别表示重力位12(),()W W r r 中的引力位部分，因为物体在某点的离心力位只决定于物体的旋转角速度和该点在物体上的位置，因而两个重力位 12(),()W W r r 中的离心力位部分相同。用()Q r 表示它们的离心力位，则根据斯托克斯定理 的三个条件，有 12,C C 为两个不同的常数，且 其中，12,ρρ分别为与12,W W 相对应的物体内部的密度分布。用()T r 表示重力位1()W r 和重力位2()W r 的差，则根据（3.1.1）~（3.1.3）式，有 只要能够证明函数()T r 在∑上和它的外部恒等于0，也就证明了斯托克斯定理。为此， 引入矢量函数()a r ，令 将上式代入下述格林公式 高中数学定理证明方法|高中数学定理证明数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = ax+h* + k 就是y等于a乘以x+h的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为p/2,0 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3pir^3 面积=pir^2 周长=2pir 圆的标准方程 x-a2+y-b2=r2 注：a,b是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 一椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4a-b 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长2πb加上四倍的该 椭圆长半轴长a与短半轴长b的差。 二椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率π乘该椭圆长半轴长a与短半轴长b的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周 率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sinA+B=sinAcosB+cosAsinB sinA-B=sinAcosB-sinBcosA cosA+B=cosAcosB-sinAsinB cosA-B=cosAcosB+sinAsinB tanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanB tanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanB cotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotA cotA-B=cotAcotB+1/cotB-cotA 倍角公式 tan2A=2tanA/1-tan2A cot2A=cot2A-1/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]=0 cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]=0 以 及 sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/3=3/2 tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0 ·万能公式： sinα=2tanα/2/[1+tan^2α/2] cosα=[1-tan^2α/2]/[1+tan^2α/2] tanα=2tanα/2/[1-tan^2α/2] 高中数学相关定理、公式及结论证明 一、三角函数部分 1.正弦定理证明 内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C c B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a b = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = . 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。 由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b sin c = . （3）在ABC Rt ?中，,sin ,sin c b B c a A == ∴ c B b A a ==sin sin ， .1sin ,90=?=C C .sin sin sin C c B b A a ==∴ 由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中，sin sin a b A B = sin c C = 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， a b D A B C A B C b a 数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； 》 （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ） ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =． — 第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 & 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．高中数学定理证明
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