MATLAB符号计算与数值计算之转换

一旦创建了一个符号表达式，或许想以某些方式改变它；也许希望提取表达式的一部分，合并两个表达式或求得表达的数值。有许多符号工具可以帮助完成这些任务。

所有符号函数(很少特殊例外的情况，讨论于后)作用到符号表达式和符号数组，并返回符号表达式或数组。其结果有时可能看起来象一个数字，但事实上它是一个内部用字符串表示的一个符号表达式。正如我们前面所讨论的，可以运用MATLAB函数isstr来找出像似数字的表达式是否真是一个整数或是一个字符串。

提取分子和分母

如果表达式是一个有理分式(两个多项式之比)，或是可以展开为有理分式(包括哪些分母为1的分式)，可利用numden来提取分子或分母。例如，给定如下的表达式：在必要时，numden将表达式合并、有理化并返回所得的分子和分母。进行这项运算的MATLAB语句是：

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>> m= ' x^2 ' % create a simple expression

m=

x^2

>> [n，d]=numden(m) % extract the numerator and denominator

n=

x^2

d=

1

>> f= ' a*x^2/(b-x) ' % create a rational expression

f=

a*x^2/(b-x)

>> [n，d]=numden(f) % extract the numerator and denominator

n=

a*x^2

d=

b-x

前二个表达式得到期望结果。

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>> g= ' 3/2*x^2+2/3*x-3/5 ' % rationalize and extract the parts

g=

3/2*x^2+2/3*x-3/5

>> [n，d]=numden(g)

n=

45*x^2+20*x-18

d=

30

>> h= ' (x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1) ' % the sum of rational polynomials

h=

(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1)

>> [n，d]=numden(h) % rationalize and extract

n=

x^3+5*x^2-3

d=

(2*x-1)*(x-1)

在提取各部分之前，这二个表达式g和h被有理化，并变换成具有分子和分母的一个简单表达式。

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>> k="sym"( ' [3/2，(2*x+1)/3;4/x^2，3*x+4] ' ) % try a symbolic array

k=

[ 3/2，(2*x+1)/3]

[4/x^2， 3*x+4]

>> [n，d]=numden(k)

n=

[3， 2*x+1]

[4， 3*x+4]

d=

[ 2，3]

[x^2，1]

这个表达式k是符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母数组。如果采用s=numden(f)形式，numden仅把分子返回到变量s中。

标准代数运算

很多标准的代数运算可以在符号表达式上执行，函数symadd、symsub、symlnul和symdiv为加、减、乘、除两个表达式，sympow将一个表达式上升为另一个表达式的幂次（MATLAB 7.０中不可用）。例如：给定两个函数

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>> f= ' 2*x^2+3*x-5 ' % define the symbolic expression

f=

2*x^2+3*x-5

>> g= ' x^2-x+7 '

g=

x^2-x+7

>> symadd(f，g) % find an expression for f+g

ans=

3*x^2+2*x+2

>> symsub(f，g) % find an expression for f-g

ans=

x^2+4*x-12

>> symmul(f，g) % find an expression for f*g

ans=

(2*x^2+3*x-5)*(x^2-x+7)

>> symdiv(f，g) % find an expression for f/g

ans=

(2*x^2+3*x-5)/(x^2-x+7)

>> sympow(f， ' 3*x ' ) % find an expression for ans=

(2*x^2+3*x-5)^3**

另一个通用函数可让用户用其它的符号变量、表达式和算子创建新的表达式。symop 取由逗号隔开的、多至16个参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子(' + '、' - '、'*'、' / '、' ^ '、' ( '或' ) ')，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式.

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>> f= ' cos(x) ' % create an expression

f=

cos(x)

>> g= ' sin(2*x) ' % create another expression

g=

sin(2*x)

>> symop(f，'/ '，g，'+'，3) % combine them

ans=

cos(x)/sin(2*x)+3

所有这些运算也同样用数组参量进行。

高级运算

MATLAB具有对符号表达式执行更高级运算的功能。函数compose把f(x)和g(x)复合成f(g(x))。函数finverse求表达式的函数逆，而函数symsum求表达式的符号和。

给定表达式

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>> f= ' 1/(1+x^2) ' ; % create the four expression

>> g= ' sin(x) ' ;

>> h= ' 1/(1+u^2) ' ;

>> k=' sin(v) ' ;

>> compose(f，g) % find an expression for f(g(x))

ans=

1/(1+sin(x)^2)

>> compose(g，f) % find an expression for g(f(x))

ans=

sin(1/(1+x^2))

compose也可用于含有不同独立变量的函数表达式。

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>> compose(h，k，'u'，'v') % given h(u)，k(v)，find(k(v))

ans=

1/(1+sin(v)^2)

表达式譬如f(x)的函数逆g(x)，满足g(f(x))=x。例如，的函数逆是ln(x)，因为ln( )=x。sin(x)

的函数逆是arcsin(x)，函数的函数逆是arcsin 。函数fincerse返回表达式的函数逆。如果解不是唯一就给出警告。

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>> finverse( ' 1/x) % the inverse of 1/x is 1/x since ' 1/(1/x)=x '

ans=

1/x

>> finverse( ' x^2 ' ) % g(x^2)=x has more than one solution

Warning： finverse(x^2) is not unique

ans=

x^(1/2)

>> finverse( ' a*x+b ' ) % find the solution to ' g(f(x))=x '

ans=

-(b-x)/a

>> finverse( ' a*b+c*d-a*z ' )， ' a ' ) % find the solution to ' g(f(a))=a '

ans=

-(c*d-a)/(b-z)

symsun函数求表达式的符号和有四种形式：symsun(f)返回;symsum(f，' s ' )返回，symsun(f，a，b)返回;最普通的形式symsun(f，' s ' ，a，b)返回。

让我们试一试，它应返回：。

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>> symsum('x^2')

ans=

1/3*x^3-1/2* x^2+1/6*x

又怎么样呢?它应返回。

>> sym('(2*n-1)^2'，1，'n')

ans=

11/3*n+8/3-4*(n+1)^2+4/3*(n+1)^3

>> factor(ans) % change the form ( we will revisit 'factor' later on)

ans=

1/3*n*(2*n-1)*(2*n+1)

最后让我们试一试，其返回应是。

>> symsum( ' 1/(2*n-1)^2 ' ，1，inf)

ans=

1/8*pi^2

变换函数

本节提出许多工具，将符号表达式变换成数值或反之。有极少数的符号函数可返回数值。然而请注意，某些符号函数能自动地将一个数字变换成它的符号表达式，如果该数字是函数许多参量中的一个。

函数sym可获取一个数字参量并将其转换为符号表达式。函数numneric的功能正好相反，它把一个符号常数(无变量符号表达式)变换为一个数值。

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>> phi=' (1+sqrt(5))/2 ' % the ' golden ' ratio

phi=

(1+sqrt(5))/2 % convert to a numeric value

>> numeric(phi)

ans=

1.6180

正如第六章所介绍，函数eval将字符串传给MATLAB以便计算。所以eval是另一个可用于把符号常数变换为数字或计算表达式的函数。

>> eval_r(phi) % execute the string ' (1+sqrt(5))/2

ans=

1.6180

正如所期望那样，numeric和eval返回相同数值。

符号函数sym2poly将符号多项式变换成它的MATLAB等价系数向量。函数poly2syrn功能正好相反，并让用户指定用于所得结果表达式中的变量。

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>> f=' 2*x^2+x^3-3*x+5 ' % f is the symbolic polynomials

f=

2*x^2+x^3-3*x+5

>> n="sym2poly"(f) % extract eht numeric coefficient vector

n=

1 2 -3 5

>> poly2sym(n) % recreate the polynomials in x (the default)

ans=

2*x^2+x^3-3*x+5

>> poly2sym(n，' s ') % recreate the polynomials in s

ans=

s^3+2*s^2-3*s+5

变量替换

假设有一个以x为变量的符号表达式，并希望将变量转换为y。MATLAB提供一个工具称作subs，以便在符号表达式中进行变量替换。其格式为subs(f,old,new)，其中f是符号表达式，new和old是字符、字符串或其它符号表达式。‘新’字符串将代替表达式f中各个‘旧’字符串。以下有几个例子：

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>> f= ' a*x^2+b*x+c ' % create a function f(x)

f=

a*x^2+b*x+c

>> subs(f，' s '，' x ') % substitute ' s ' for ' x ' in the expression f

ans=

a*s^2+b*s+c

>> subs(f，' alpha '，' a ') % substitute ' alpha ' for ' a ' in f

ans=

alpha*x^2+b*x+c

>> g=' 3*x^2+5*x-4 ' % create another function

g=

3*x^2+5*x-4

>> h="subs"(g，' 2 '，' x ') % substitute ' 2 ' for ' x ' in g

h=

18

>> isstr(h) % show that the result is a symbolic expression

ans=

1

最后一个例子表明subs如何进行替换，并力图简化表达式。因为替换结果是一个符号常数，MATLLAB可以将其简化为一个符号值。注意，因为subs是一个符号函数，所以它返回一个符号表达式。尽管看似数字，实质上是一个符号常数。为了得到数字，我们需要使用函数numeric或eval来转换字符串。

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>> numeric(h) % convert a symbolic expression to a number

ans=

18

>> isstr(ans) % show that the result is a numeric value ans=