实数连续性的八个等价定理证明
关于实数完备性的基本定理
第七章 实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 1. 验证数集? ?? ? ??+-n n 1) 1(有且只有两个聚点11 -=ξ 和12 =ξ. 分析:根据聚点定义2'',分别找各项互异的收敛数列 {}n x ,{}n y ?? ?? ? ??+-n n 1) 1(,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法,对1,±≠∈?a R a ,关键在找存在ε,使U(ε,a )内含有? ????? + -n n 1)1(中有限多个点. 解:记()()() 2,11 211,2111 22=-= -=+ -=-n n y n x n n n n 则 {}n x ,{} n y ? ? ?? ? ??+-n n 1)1(,且1lim ,1lim -==∞ →∞→n n n n y x .由定义2''知, 1,121=-=ξξ为???? ?? +-n n 1)1(的两个聚点. 对1,±≠∈?a R a ,则取{}1 ,1min 2 1 0+-=a a ε, ? ?? ??? + -n n 1)1(落在U(0,εa )内部至多只有有限点, 则α不是其聚点. 2.证明 任何有限数集都没有聚点. 分析:由聚点定义2即可证明.
证明:由定义2知,聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点,而对于有限数集,不可能满足此定义,因此,任何有限数集都没有聚点。 3.设{}),(n n b a 是一个严格开区间套,即满足 ,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞ →n n n a b .证明:存在唯一的一点 ξ,使),2,1( =< a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC 中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知 AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理:“以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间:以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 总之,在勾股定理探索的道路上,我们走向了数学殿堂。 我们都喜欢把日子过成一首诗,温婉,雅致;也喜欢把生活雕琢成一朵花,灿烂,美丽。可是,前行的道路有时会曲折迂回,让心迷茫无措。生活的上空有时会飘来一场风雨,淋湿了原本热情洋溢的心。 不是每一个人都能做自己想做的事情,也不是每一个人都能到达想去的远方。可是,既然选择了远方,便只有风雨兼程。也许生活会辜负你,但你不可以辜负生活。 匆匆忙忙地奔赴中,不仅要能在阳光下灿烂,也要能在风雨中奔跑!真正的幸福不是拥有多少财富,而是在前行中成就一个优秀的自己! 生命没有输赢,只有值不值得。坚持做对的事情,就是值得。不辜负岁月,不辜负梦想,就是生活最美的样子。 北大才女陈更曾说过:“即使能力有限,也要全力以赴,即使输了,也要比从前更强,我一直都在与自己比,我要把最美好的自己,留在这终于相逢的决赛赛场。” 她用坚韧和执着给自己的人生添上了浓墨重彩的一笔。 我们都无法预测未来的日子是阳光明媚,还是风雨如晦,但前行路上点点滴滴的收获和惊喜,都是此生的感动和珍藏。 有些风景,如果不站在高处,你永远欣赏不到它的美丽;脚下有路,如果不启程,你永远无法揭晓远方的神秘。 我们踮起脚尖,是想离太阳更近一点儿;我们努力奔跑,是想到达远方欣赏最美的风景。 我们都在努力奔跑,我们都是追梦人!没有伞的时候,学会为自己撑伞;没有靠山的时候,学会自己屹立成一座伟岸的山! 远方有多远?多久能达到?勇敢往前冲的人,全世界都会向他微笑。相信,只要启程,哪怕会走许多弯路,也会有到达的那一天。 第3章勾股定理知识结构: 勾股定理1.勾股定理 (1)直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 (2)勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明 (3)应用 1.在直角三角形中已知两边求第三边 2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高 2.勾股定理 的逆定理 (1)如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角 三角形 (2)勾股数 1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为 勾股数 2.常见的勾股数 (1)3,4,5 (2)5,12,13 (3)8,15,17 3.应用 (1)勾股定理的简单应用 求几何体表面上两点间的最短距离 解决实际应用问题 (2)勾股定理逆定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角 形 勾股定理 一、求网格中图形的面积 求网格中图形的面积,通常用两种方法:“割”或“补”。 二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 拓展延伸:(1)勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系,所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。 (2)勾股定理主要用于求线段的长度,因此,遇到求线段的长度问题时,首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边,然后利用勾股定理求解。 三、勾股定理的验证 运用拼图的方式,利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 注意:(1)还没确定一个三角形是否为直角三角形时,不能说“斜边”“直角边”。 (2)不是所有的c都是斜边,要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时,c是斜边,它所对的角是直角。 勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别,又有联系,如下表所示: § 2 实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 . 一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 1 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 2 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有. 推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有. 推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: 定理 3 数列收敛是Cauchy列. 引理Cauchy列是有界列. ( 证 ) 定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅 读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 4.用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”: 定理5 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界 . 证(只证“非空有上界数集必有上确界”)设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确 界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是 的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗. 下证.用反证法验证的上界性和最小性. 二. “Ⅱ”的证明: 1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证(突出子列抽取技巧) 定理7 每一个有界无穷点集必有聚点. 2.用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”: 定理8 数列收敛是Cauchy列. 勾股定理的证明 【证法1】(课本的证明) 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即 ab c ab b a 2 142 142 2 2 ? +=? ++, 整理得 2 2 2 c b a =+. 【证法2】(邹元治证明) 以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角 形的面积等于ab 2 1. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上,B 、F 、C 三点在一条直线上,C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF , ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形,它的面积等于() 2 b a +. ∴ () 2 2 2 14c ab b a +? =+. ∴ 2 2 2 c b a =+. D G C F A H E B a b c a b c a b c a b c b a b a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a 第38卷第24期2008年12月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R Y V o l 138 N o 124 D ecem.,2008 教学园地 实数系基本定理等价性的完全互证 刘利刚 (浙江大学数学系,浙江杭州 310027) 摘要: 综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法. 关键词: 实数系;连续性;等价;极限 收稿日期:2005206210 实数系基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础,也称为实数系的连续性定理.能够反映实数连续性的定理很多,它们是彼此等价的.现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性[122].虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同,但每一次循环证明看起来都似乎没有关联,并没有综合归纳其中的方法技巧.这么多相互独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象,难以理解.因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下手.为此,在讲述这些定理的时候,我们把这些定理的相互证明详细地整理出来,并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律,使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从. 我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为: 1)确界存在定理(pp .12):上(下)有界的非空数集必存在唯一上(下)确界. 2)递增(减)有界数列必有极限(pp .34). 3)闭区间套定理(pp .41):设I 1,I 2,…,I n ,…是一串有界闭区间,I 1=I 2=…=I n = …,且I n 的长度 I n →0,称{I n }为闭区间套.则闭区间套{I n }的交∩∞ n =1 I n 必不空且为单点集. 4)Bo lzano 2W eierstrass 定理(pp .44):有界数列必有收敛子列 .5)Cauchy 收敛准则(pp .299):数列{x n }收敛Ζ{x n }是基本数列. 6)有限开覆盖定理(pp .308):若开区间族{O Α}覆盖了有界闭区间[a ,b ],则从{O Α}中必可挑出有限个开区间O Α1,O Α2,…,O Αn 同样覆盖了[a ,b ]:[a ,b ] 【】() 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++, 整理得 222c b a =+. 【证法2】(邹元治证明) 以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上, B 、F 、 C 三点在一条直线上,C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ R t ΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】(赵爽证明) 以a、b 为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等直角三角形,则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. Ch 8 实数基本定理 计划课时:8 时 § 0 连续统假设简介(2 时) 一.数的发展简史:参阅《数学分析》选讲讲稿P66—76(1997. 8.10 ). 1.自然数的产生: 十九世纪数学家Leopold Kronecker说: 上帝创造了整数, 其余则是我们人类的事了. 2.从自然数系到有理数系: 3.算术连续统假设的建立及其破灭: 不可公度性的发现及其深远影响. Pythagoras(约在纪元前六世纪),Hippasus,Leonardo da Vinci 称为“无理的数”. Eudoxus , Euclid. 4.微积分的建立: Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , D′Alembert , Laplace ; Voltaire , B. Berkeley . 十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet, Weierstrass . Archimedes数域. 5.实数系的建立: 十九世纪后半叶由Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成. 二. 连续统假设: 1.连续统假设: 以Cantor实数为例做简介. Cauchy ( 1789—1857, 法 ), Bolzano (1781—1845 ), Cantor ( 1829—1920 ). 在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900年, 哥庭根大学教授Hilbert ( 1862—1943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 , 其中的第一题就是所谓连续统假设.首当其冲的是关于连续统观点的算术陈述. ( 参阅 D.J.斯特洛伊克著《数学简史》P160—161 ). 连续统假设的研究现况. 2.实数基本定理: 连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有 上、下极限定理和实数完备性定理. § 1 实数基本定理的陈述( 4 时) 一.确界存在定理:回顾确界概念. Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界. 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念. Th 2 单调有界数列必收敛. 勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组:[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 证法1 作四个的直角三角形,把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条上(设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.)。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED, ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 证法2 作两个的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC, ∴ ∠MPC = 90°, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90°, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, ∴ ∠, 又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形,同证法2,再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, ∴FI=a, ∴G,I,J在同一直线上, ∵CJ=CF=a,CB=CD=c,∠CJB = ∠CFD = 90°, 勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++, 整理得 222c b a =+. 【 证法2】(邹元治证明) 以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点 在一条直线上,B 、F 、C 三点在一条直线上,C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形,它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】(梅文鼎证明) 做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为 第七章实数的完备性 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理,能准确地加以表述,并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础,并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题,从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。 教学时数:12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理(3学时)教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理,能准确地加以表述,并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。 一.确界存在定理:回顾确界概念. Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四. Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . 第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 六个基本定理: 1实数戴德德公理 确界原理 2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理 5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理 定理(确界原理) 设S 为非空数集.若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界. 定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}n a a sup =.下面证明a 就是{}n a 的极限. 事实上,任给0>ε,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性,当N n ≥时有 n N a a a <<-ε. 另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对一切n a 都有ε+<≤a a a n .所以当N n ≥时有 εε+<<-a a a n , 即a a n n =∞ →lim .同理可证有下界的递增数列必有极限,且其极限即为它的下确界. (区间套定理) 若[]{}n n b a ,是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ,使得ξ∈[]n n b a ,, ,2,1=n ,即 ξ≤n a n b ≤, .,2,1 =n (2) 证 由(1)式,{}n a 为递增有界数列,依单调有界定理,{}n a 有极限ξ,且有 .,2,1, =≤n a n ξ (3) 同理,递减有界数列{}n b 也有极限,并按区间套的条件(??)有 ξ==∞ →∞ →n n n n a b lim lim , (4) 且 .,2,1, =≥n b n ξ (5) 联合(3)、(5)即得(2)式。 最后证明满足(2)的ξ是唯一的。设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 2 证法 1】(课本的证明) 做 8 个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a 、b ,斜边长为 c ,再做三个边长分别为 a 、b 、 c 的正 方形,把它们像上图那样拼成两个正方形 . 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是 a + b ,所以面积相等 . 即 证法 2】(邹元治证明) ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180 o ― 90o= 90 o. ∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 . 它的 面积等于 c 2. ∵ Rt Δ GDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o. ∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形,它的面积 等于 ∠HEF = 90 o. EFGH 是一个边长为 b ―a 的正方形,它的面积等于 1 ab 以 a 、 b 为直角边,以 c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等 于 角形拼成如图所示形状,使 A 、E 、B 三点在一条直线上, B 、F 、C 三点在一条直 线上, 把这四个直角三 C 、G 、D 三点在一条直线上 b 2 4 12 ab c 2 4 1 ab 2 整理得 c 2 1 4 ab 2 c 2 a 2 b 2 c 2 【证法 3】(赵爽证明) 以 a 、 b 为直角边( b>a ), 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形,则每个直角 1ab 三角形的面积等于 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状 ∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o , ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o , ∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形,它的面积等于 c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ba 证明热力学第三定律的两种表述是等价的 080311班 赵青 080311044 证明热力学第三定律的两种表述是等价的 一、热力学第三定律 英文名称: Third law of thermodynamics 热力学第三定律是在低温现象的研究中总结出来的一个普通规律。 1906年,德国物理学家能斯特(Nernst ,右图)在研究低 温条件下物质的变化时,把热力学的原理应用到低温现象和化学反应过程中,发现了一个新的规律,称为能斯特定律,简称能氏定理。这个规律被表述为:“当绝对温度趋于零时,凝聚系(固体和液体)的熵(即热量被温度除的商)在等温过程中的改变趋于零。”即: 0)(lim 0 =?→T T S 式中T S )(?为可逆等温过程中熵的变化。德国著名物理学家普朗克把这一定律改述为:“当绝对温度趋于零时,固体和液体的熵也趋于零。”这就消除了熵常数取值的任意性。 德国物理学家普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858~ 1947)(右图) 是量子物理学的开创者和奠基人,他早期的研究领域主要是热力学,他的博士论文就是《论热力学的第二定律》。他在能斯特研究的基础上,利用统计理论指出:各种物 质的完美晶体在绝对零度时熵为零。1911年普朗克也提出了对热力学第三定律的表述,即“与任何等温可逆过程相联系的熵变, 随着温度的趋近于零而趋近于零”。 1912年,能斯特又将这一规律表述为绝对零度不可能达到原理:“不可能使一个物体冷却到绝对温度的零度。”这就是热力学第三定律。 1940 年R.H.否勒和 E.A.古根海姆还提出热力学第三定律的另一种表述形式:任何系统都不能通过有限的步骤使自身温度降低到0K ,称为0K 不能达到原理。此原理和前面所述及的热力学第三定律的几种表述是相互有联系的。但在化学热力学中,多采用前面的表述形式。 通常认为,能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学的两种表述。 【证法1】(课本的证明) 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即 a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2), 整理得到:a^2+b^2=c^2。 【证法2】 以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于 ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c^2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于(a+b)^2. ∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2),∴ a^2+b^2=c^2。 【证法3】 以a、b 为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o, ∴∠EAB + ∠HAD = 90o, ∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c^2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)^2. ∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2,∴ a^2+b^2=c^2。 【证法4】 以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC. v1.0 可编辑可修改 【证法1】(课本的证明) 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++, 整理得 222c b a =+. 【证法2】(邹元治证明) 以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上,B 、F 、 C 三点在一条直线上,C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. v1.0 可编辑可修改 ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】(赵爽证明) 以a、b 为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o, ∴∠EAB + ∠HAD = 90o, ∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于()2a b-. ∴ ()2 2 2 1 4c a b ab= - + ? . 天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文(设计)选题审批表 学生姓名顾鹏飞学号13583115 指导教师张筱玮职称教授所选题目名称:勾股定理的证明方法及应用研究 选题性质:()A.理论研究(√)B.应用研究()C.应用理论研究 选题的目的和理论、实践意义: 勾股定理是几何中几个重要定理之一,它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。 它在数学的发展中起过重要的作用,在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础。 勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。“勾三,股四,弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一,对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题,正是“数形结合”思想的体现,这样的思想角度是十分重要的。同时,勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索;通过勾股定理,我们可以推导出许多其它真命题与定理,这大大地方便了我们对几何问题的解决,也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是,其后 希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数( 2),导致第一次数学危机。 指导教师意见: 签字:年月日系领导小组意见: 签字:年月日备注: 天津师范大学津沽学院2015届本科毕业论文(设计)开题 报告 系别:理学系专业:数学与应用数学 论文题目勾股定理的证明方法及应用研究 指导教师张筱玮职称教授学生姓名顾鹏飞学号13583115 一、研究目的(选题的意义和预期应用价值) 勾股定理是几何中几个重要定理之一,它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用,在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。为以后学习三角函数奠定基础, 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一,对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题,正是“数形结合”思想的体现,这样的思想角度是十分重要的。同时,勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索;通过勾股定理,我们可以推导出许多其它真命题与定理,这大大地方便了我们对几何问题的解决,也使数学的发展迈出了一大步。[12]更为重要的是,其后希帕索斯根据勾股定 理发现了第一个无理数( 2),导致第一次数学危机。 二、与本课题相关的国内外研究现状,预计可能有所突破和创新的方面(文献综述) 中国:公元前十一世纪,周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”意为:当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时,径隅(弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”,根据该典故称勾股定理为商高定理。 公元三世纪,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,记录于《九章算术》中“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”,赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。 在中国清朝末年,数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。 外国:在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,也应用过勾股定理。 公元前六世纪,希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理,因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。 《勾股定理》证明解答题练习 1、在ABC ?中,AC AB =,D 为BC 边上任一点,求证:DC BD AD AB ?=-2 2 2、已知:如图,在ABC Rt ?中,ο 90=∠C ,D 是AC 的中点,AB ED ⊥于E 求证:(1)2 2 2 43BD BC AB =+ (2)2 2 2 BC AE BE =- 3、如图,在ABC ?中,ο 90=∠C ,13=AB ,12=BC ,BC BD 2 1 = (1)AD 的长. (2)ABD ?的面积. 4、求边长为a 的等边三角形的高和面积 2 5、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠, 3 使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗? B C A C B B C 6、若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状. 7、已知:如图, ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D在BC上,DA⊥CA于A。 求:BD的长。(8分) 8、甲、乙两船同时从港口A出发,甲船一12海里/时的速度向北偏东35°航行,乙船向南偏东55°航行。2小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛,若C、B两船相距40海里,问乙船的速度是每小时多少海里?9.如图所示,四边形ABCD中,AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,∠B=90°,?求该四边形的面积. B C A D 10.如图,王大爷准备建一个蔬菜大棚,棚宽8m,高6m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积. 11.如图,某购物中心在会十.一间准备将高5 m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱? 5m 13m 8m 20m 证法1 作四个全等的直角三角形,把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上(设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.)。过点C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED, ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 证法2 作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC, ∴ ∠MPC = 90°, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90°, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, ∴ ∠, 又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形,同证法2,再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, ∴FI=a, ∴G,I,J在同一直线上, 知识结构: 2. 勾股定理 的逆定理 (2)勾股数 (1)勾股定理的简单应用 3. 应用 (2)勾股定理逆定理的应用 a,b,c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角 三 1. 满 足 a 2+ b 2=c 2 的三个正整数 a,b,c 称为勾 股数 (1)3,4,5 2. 常见的勾股数 (2)5,12,13 (3)8,15,17 求几何体表面上两点间的最短距离 解决实际应用问题 ----- 判定某个三角形是否为直角三角形 3.1 勾股定理 一、 求网格中图形的面积 求网格中图形的面积,通常用两种方法: “割 ”或“补”。 二、 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 拓展延伸 :(1)勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系, 所以必须注意 “在直角三角形中 这一前提。 (2)勾股定理主要用于求线段的长度,因此,遇到求线段的长度问题时,首先想到的是把 所求线段转化为某一直角三角形的边,然后利用勾股定理求解。 三、 勾股定理的验证 运用拼图的方式,利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。 第 3 章 勾股定理 勾股定理 (1)直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 (2)勾股定理的验证 1.勾股定理 1.在直角三角形中已知两边求第三边 (3)应用 2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高 (1)如果三角形的三边长 角形 用拼图法 ,借助面积不变的关系来证明 3.2勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2 3+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 注意:(1)还没确定一个三角形是否为直角三角形时,不能说斜边”直角边”。 (2)不是所有的c都是斜边,要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时,c是斜边,它所 对的角是直角。 下表所示: 二、勾股数 满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。 勾股数必须是正整数。 一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。 记住常用的勾股数可以提高做题速度。 3.3勾股定理的简单应用 一、勾股定理的应用 运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际问题时,应先 构造出直角三角形,然后把直角三角形的某两条边表示出来。 注意:应用勾股定理解决实际问题时,先弄清直角三角形中哪边是斜边,哪两条边是直角边, 以便进行计算或推理。对于实际问题,应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形,以便正确运用勾股定理。勾股定理的证明方法探究
勾股定理的证明和应用
2.实数基本定理的等价性证明
勾股定理的证明
实数系基本定理等价性的完全互证[1]
勾股定理的证明的方法
实数基本定理
勾股定理逆定理八种证明方法
勾股定理五种证明方法
实数的完备性
实数的基本定理
勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用
证明热力学第三定律的两种表述是等价的
勾股定理的证明方法
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明方法及应用研究开题报告
(完整版)勾股定理解答证明题
勾股定理逆定理八种证明方法
勾股定理的证明和应用