误差理论回归分析实验报告

三、 回归分析

一、实验目的

回归分析是数理统计中的一个重要分支，在工农业生产和科学研究中有着广泛的应用。通过本次实验要求掌握一元线性回归和一元非线性回归。

二、实验原理

回归分析是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法。即用应用数学的方法，对大量的观测数据进行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。

1、一元线形回归方程

a 、回归方程的求法

()y y b x x -=- 其中11N i i x x N ==∑ ，11N

i i y y N ==∑ b 、回归方程的稳定性

回归方程的稳定性是指回归值y 的波动大小。波动愈小，回归方程的稳定性愈好。 0022222b b b b y x x σσσσ=+

+y σσ=2、回归方程的方差分析及显著性检验

（1）回归问题的方差分析

观测值12,...,N y y y 之间的差异，是由两个方面原因引起的：①自变量x 取值的不同；②其他因素（包括试验误差）的影响。

N 个观测值之间的变差，可用观测值y 与其算术平均值y 的离差平方和来表示，称为总的离差平方和。记作

21()N

t yy i S y y l ==-=∑

S U Q =+

21()N

t i U y y ==-∑称为回归平方和，它反映了在y 总的变差中由于x 和y 的线性关系而引起

变化的部分。

21()N

t t i Q y y ==-∑成为残余平方和，既所有观测点距回归直线的残余误差平方和。它是除了

x 对y 的线性影响之外的一切因素对y 的变差作用。

（2）回归方程显著性检验

回归方程显著性检验通常采用F 检验法。

//U Q

U F Q νν= 重复实验的情况

为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做重复实验，从而获得误差平方和和失拟平方和，用误差平方和对失拟平方和进行F 检验，就可以确定回归方程拟合得好坏。

L E S U Q Q =++

211()xy l yy n m E i ti t i L E U mbl Q ml U Q y y S U Q Q ===??=-???=-???=++?

∑∑ 三、实验内容

采用回归分析算法用matlab 编程实现下列题目的要求。

3.1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：

1） 做散点图。2）假设正应力是精确的，求抗剪强度与正应力的线性回归方程并作图 ；3）

当正应力为24.5pa 时，抗剪强度的估计值？4）回归方程的显著性检验。

1）做散点图，观察质量与长度之间是否呈线性关系；2）求弹簧的刚性系数和自由状态下的长度关系的回归方程并作图。3）回归方程的显著性检验

四、实验结果

1、实验一：

1），2）散点图及拟合直线方程

x

y*

8235

.0

9829

.

45-

=

3）当正应力为24.5pa时，抗剪强度的估计值为： 45.9829-24.5*0.8235=25.8072

4）回归方程的显著性检验：

回归平方和为：U = b * l yy = 22.8282。

残差平方和为：Q = l yy - b * l yy = 23.9681。

统计量F为

/

/

U

Q

U

F

Q

ν

ν

== ( U / 1 ) / (Q / N - 2) = 8.5720.

查表得：F0.05(1,9) = 5.12；显然F>F0.05(1,9) ，因此回归在0.05的水平上显著。5）、源程序代码为：

（1）回归方程函数

function [A,B] = My_Fun1(x,y)

n = length(x);

lxx = x * x' - sum(x)^2 / n;

lxy = x * y' - sum(x) * sum(y) / n;

Avg_X = sum(x) / n;

Avg_Y = sum(y) / n;

A = lxy / lxx;

B = Avg_Y-B * Avg_X;

（2）求残差平方和函数

function [U,S,Q]= My_Fun2(x,y)

n = length(x);

lxx = x * x'-sum(x)^2 / n;

lxy = x * y' -sum(x) * sum(y) / n;

lyy = y * y'- sum(y)^2 / n;

B = lxy / lxx;

U = B * lxy;

S = lyy;

Q = S - U;

（3）主程序

X = [26.8,25.4,23.6,27.7,23.9,24.7,28.1,26.9,27.4,22. 6,25.6];

Y = [26.5,27.3,27.1,23.6,25.9,26.3,22.5,21.7,21.4,25. 8,24.9];

[b,b0] = My_Fun1(X,Y);

x = (22:0.01:29);

y=b * x + b0;

plot(X,Y,'b.',x,y,'r-');

[U,S,Q] = My_Fun2(X,Y);

F = U * 9/ Q;

2、实验二：

1），2）散点图及拟合直线方程

观察图得质量与长度之间的线性关系良好。

=

0.18+

y

6.28

*

x

3）回归方程的显著性检验：

回归平方和为：U = b * l yy = 14.6652。

残差平方和为：Q = l yy - b * l yy = 0.0132。

统计量F为

/

/

U

Q

U

F

Q

ν

ν

== ( U / 1 ) / (Q / N - 2) = 4454。

查表得：F0.01(1,4) = 21.20；显然F>F0.01(1,4) ，因此回归在0.01的水平上显著。

4）、源程序代码为：

回归方程函数及求残差平方和函数同上

主程序

X = [5,10,15,20,25,30];

Y = [7.25,8.12,8.95,9.90,10.9,11.8];

[b,b0] = My_Fun1(X,Y);

x = (0:5:35);

Y = b * x + b0;

plot(X,Y,'b.',x,y,'r-');

[U,S,Q] = My_Fun2(X,Y);

F = U * 4 / Q;

五、实验总结

通过本次实验，我对最小二乘法拟合自变量与因变量的函数关系有了更深的理解，对最小二乘法的应用也有了一定的认识和了解。另外，我也认识到，对于数据的估计与预测不仅仅是求出拟合方程的参数大小及其精度高低，更重要的是求出拟合方程的可信度程度，及进行因素分析——即回归分析。通过本次实验我对一元线性回归的作用及方法有了更深刻的了解，知道了回归方程显著性检验的方法——F检验法，理解了其检验的依据与原理。从实际工程中理解了数据处理的方法及原理，对以后的学习有了很大的帮助。