概率论中几种常用的重要的分布

概率论中几种常用的重要的分布

摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词

1 一维随机变量分布

随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常

用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．

随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X

x x

=∈-∞=-∞

+∞.

这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=

称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。

称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使

([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那

么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。

特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。

（3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值

得概率都是

1n

，称这种随机变数的分布为离散型均匀分布。一个离散型均匀分布可以用一个正整数n 及n 个不同的常数12,...,a a 来确定。 定义1.2 若随机变量X 的概率分布为

{0}1,{

1}P X p P X p ==-== 其中01p ，则称X 服从参数为p 的（0-1）分布。

（0-1）分布是最简单的一种分布，它用于描述只有两个可能结果的试验。例

如，对新生婴儿的性别登记，观察机器是否正常工作，考察一件产品是否为合格品等，均可用（0-1）分布来描述。 定义1.3 若随机变量X 的概率分布为

(){}(1),0,1,...,k k

n k n X k C p p k n -==-=

其中1n ≥为正整数，0

1p ，则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作

~(,)X B n p

由二项分布的导出可知，该种分布用于描述n 重伯努利试验中发生的概率为

p .在研究某事件A 发生的概率时，我们对事件A 所在的试验进行独立重复观察，

统计出事件A 发生的次数n μ。这里n μ是一个随机变量，它就服从二项分布。另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。

在二项分布中，如果1n =，那么只能取0或1，这是显然有

01p p =-， 1p p =

抛掷均匀硬币的例子中，随机变量η 的分布列为

它就是（0-1）分布当2

p =时的特例。

定义1.4 若随机变量X 的概率分布为

{},0,1,2,...!

k

P X k e k k λλ-==

=

其中0λ为常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作~()X P λ.

泊松分布是作为二项分布的极限分布而引入的。事实上，泊松定理表明，当

n 很大时，p 很小，np 适中时，(,)B n p 分布就近似于()P λ分布，其中np λ=。由二项分布描述的内容可知，泊松分布主要用于描述大量独立重复实验中稀有事件发生的次数，所谓稀有事件指概率很小的事件。由此，纺织品上的疵点数，印刷品中的错字数，某时间段内电话交换台接到的呼叫次数，某时间段内公共汽车站等车的乘客人数等均可用泊松分布来描述。

。

定理 1.1 （泊松定理） 在n 重贝努力试验中，事件A 在一次实验中出现的概率为n p （与实验总数n 有关），如果当n →∞时，n np λ→（0λ常数），则

有

lim (;,),0,1,2,...!

k

n n b k n p e k k λλ-→∞

=

=

证明 记n n np λ=，则 (;,)(1)k n k n n n n b k n p p p k -??

=- ?

??

(1)...(1)1!k

n k

n n n n n k k n n λλ---+??

??

=- ?

?

???

?

12111...11!n k

k n n k k n n n n λλ--??

?

?????=---- ??? ???

????????

对于任一固定的k ，显然有

l i m

k k n n λλ→∞

= lim 1lim 1n

n

n

n k

n k

n

n n n n e n n λλλλλ---→∞→∞??

??-=-= ?

??

??

?

还有

11lim 1...11n k n n →∞-????--= ? ?????

从而

lim (;,)!

k

n n b k n p e k λλ-→∞

=

对任意k （0,1,2,...k =）成立，定理得证。

2 连续性随机变量分布

以上对离散型随机变量做了一些研究，下面将要研究另一类十分重要而且常见的随机变量——连续型随机变量

定义2.1 若()ξω是随机变量，()F x 是它的分布函数，如果存在函数()p x ，使对任意的，有

()()x

F x p y dy -∞

=?

则称()ξω对连续型随机变量，相应的()F x 为连续型分布函数，同时称()p x 是

()F x 的概率密度函数或简称为密度。

由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数()p x 必具有下述性质：

（1）()0p x ≥

（2）

()1p x dx ∞

-∞

=?

定义2.2 若随机变量X 的概率分布为

2

()

22(),(,(0))x a x a σ?σ--=都是常数

为密度连续型分布，称这种分布为正态分布,记作2~(,)X N a σ 下面验证()x ?是一个密度函数。

因为这时为显然，此外还可以验证有

22

()2()1x x dx e dx μσ?--

∞

∞

-∞

-∞

=

=?

为此，可令

x y μ

σ

-=，则

222

()22

x y e

dx e

dy μσ

--

∞

∞

-

-∞

-∞

=

这时有

222222

2

2

2

2

121

2y x y x y e

dy e

dx e

dy e dxdy

ππ

∞

∞

∞--

-

-∞

-∞

-∞

+∞∞

--∞-∞

??=????

=

?

?

???

现在作坐标变换

cos sin x r y r θ

θ=??=?

这时，变换的雅可比式J r =，而 222

2

1r r e

rdr e ∞

--∞-∞=-=?

所以有

22

2

22

2

01

1122y r e

dy e rdr d π

θππ∞

∞---∞

????

==

? ? ? ??

?

??

?

?

? 于是

()1x dx ?∞

-∞

=?

这说明给出的的确是一个密度函数，这个密度函数成为正态密度。

正态分布是德国数学家和天文学家棣莫弗于1733 年在求二项分布的渐进公式时得到的． 棣莫弗－ 拉普拉斯中心极限定理表明正态分布是二项分布的极限分布． 正态分布2()N μσ，的密度函数曲线是钟型曲线，它的“钟型”特征与实际中很多随机变“中间大，两头小”的分布规律相吻合． 人的各种生理指标，一个班的一次考试成绩，测量的误差等均服从或近似服从正态分布．

在许多实际问题中，遇到的随机变数是受到许多互不相干扰的随机因素的影响的，而每个个别因素的影响都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的。例如，电灯泡的耐用时数（寿命）受到原料，工艺，保管条件等因素的随机变动的影响，而这些因素的波动在正常情况下是互不干扰的，且，每一个都不起决定性作用，又，可以认为是可以叠加的。在概率论的极限理论中可以证明：具有上述特点的随机变数一般都可以认为服从正态分布。

二项分布，泊松分布和正态分布（或称高斯分布）时概率论中最重要的分布，在实际理论中有着广泛的应用。本文从三中分布的区别与联系出发，采用实例计算及比较方法，以达到较准确选择合适的分布解决实际问题为目的，对三种分布进行进一步探讨。

一、三种分布的区别

1.定义不同:以每个分布的定义为切入点,阐明定义特征。二项分布B(n,p)、泊松分布P(λ)和正态分布N(μ,σ2)的分布规律分别由它们的参数确定,并且三种分布的数字特征均值及方差是用不同的参数来描述。因此,区别参数的意义是深刻理解定义的关键。

2.随机变量的取值范围不同:二项分布的随机变量取值是有限个,泊松分布的随机变量取值是无穷可列,它们属于离散型的。正态分布的随机变量取值无穷不可列,充满某一区间,属于连续型的。

3.适用的条件不同:二项分布用于描述只有“成功”与“失败”两种试验结果的数学模型。例如:某个学生做n 道数学题,每道题的结果只有“对”与“错”,若每题做对的概率已知,则可利用二项分布求出做对k 道题的概率;泊松分布适用于描绘大量重复试验中稀有事件(飞机意外坠落、高楼突然倒塌等);正态分布用于一个随机变量由大量相互独立的偶然因素之和构成,每个因素所起的作用对总的来说很微小。

例如:某校2002级3000名学生的数学考试分数,受每个学生考分的影响,但每个学生的考试分数对总的分数影响不大,所以,考试分数服从正态分布。

二、三种分布之间的联系

尽管三种分布有许多不同点,但它们之间还有着相互的联系。在n 次贝努力试验中,二项分布的极限是泊松分布,我们可以用二项分布逼近泊松分布。反之,也可以用泊松分布近似具有较大n 的二项分布,即若已知泊松分布P(λ),可用二项分布B(n,λ/n)去逼近它;若已知二项分布B(n,p),可用泊松分布P(λ)近似二项分布,其理论根据是近似公式:

()

(1)

!

k k k

n k n

e C p p λλκ---≈ （1）

这里要求n 较大，p 较小，np λ=。

正态分布是二项分布的极限分布，当n 较大时，可用正态分布近似二项分布，其近似公式为：

()(1)

k k n k n C p p --≈

（2） 若~(,)n B n p η，则有

12{}n P k k η≤≤≈Φ-Φ （3）

从上面可以看到，泊松分布和正态分布都是二项分布的极限分布，在满足

一定条件下都能近似二项分布。在实际中，利用这种关系有时能够带来很多方便，从而简化计算。

三、三种分布在实际中的应用

三种分布在实际中有广泛的应用。二项分布适用于抽查产品、能量供应、药效试验、保险公司估计利润等;泊松分布用于公共汽车站来到的乘客数、电话总机在一段时间内收到的呼唤次数、运输损耗等;正态分布用于年平均气温和降雨量、测量误差、发电站电能消耗、人的身高和体重等。在日常生活、生产实际和科学研究中,怎样利用三种分布的特点及联系,简单准确计算出所求事件的概率呢?下面通过实际例子说明这一问题。

例如:某大城市有一个繁忙的交通岗,若每天有100000人通过,每人出事故的概率为0.0001,求该天出事故的人数X 不超过2人的概率。

解法一：显然~(1000000,0.0001)X B ,利用二项分布得{2}P X ≤=0.00276849 这里n 较大，p 较小，直接用二项分布计算比较麻烦。

解法二：用泊松分布近似二项分布的方法计算，代入公式（1）得

10

2

10{2}0.002769!k K e P X k -=≤≈=∑

这里10np λ==，直接查泊松分布表求出，产生的误差为75.110-?。由此可见，当n 较大时，p 较小时，泊松分布近似二项分布，其近似程度非常好，而且计算简单。

解法三：用正态分布的分布函数近似二项分布的方法计算，由近似公式（3）得

{2}( 2.53)( 3.16)0..00501P X ≤≈Φ--Φ-=

这里直接查标准正态分布的分布函数表求得，其误差为0.00224151，这比

用泊松分布产生的误差要大。在实际中，用二项分布计算量较大时，一般满足

0.13p ≤≤≥的条件下，采用正态分布近似二项分布的方法，较为方便准确有效。

解法四：用正态分布的密度函数近似二项分布的计算方法，近似公式（2）得

{2}(3.16)(2.85)(2.53)]0.0081907P X ???≤≈

++= 这里通过查标准正态分布的密度函数表直接求出，产生的误差为0.00542221，其误差比上面的两种近似求值所产生的误差都大。所以，在实际中，当p 不太接近0或1，n 不太小，随机变量的取值较小时，应该利用近似（2）计算，结果更准确。

从以上四种解法中可以得到：对于一个实际问题，首先应该根据三中分布适用的条件，判断是服从什么分布。然后用此分布去解决问题。若随机变量

~(,)X B n p ,当n 不太大，p 不很小（一般10,0.001n p ≥）时，可以用二项分

布直接计算，也可以查二项分布表求出；当10,0.1n p ≥≤，且随机变量的取值

个数较少时，可以用泊松分布直接查表计算；当0.13p ≤≤≥，随机变量的取值比较多，用二项分布计算量太大时，可以用正态分布直接查表求出结果。

定义2.2 （均匀分布）若随机变量X 的密度函数为

1

()0 a x b f x b a ?≤≤?

=-???其他

则称服从区间上的均匀分布，记作~[,]X U a b

均匀分布描述的是在一个区间上等可能取值的分布规律，也即是说概率在该区间上的分布是均匀的。均匀分布是最简单。最基本的连续型分布，就像直线运动中的匀速运动，物体中的均匀物体一样．设某路公共汽车每10 分钟一趟，则乘客的等车时间可认为是在区间［0，10］上均匀分布的．

还可以把这个分布推广到一个在实数轴上某个指定的长度不为0的集合B 上的连续型均匀分布。相应的密度函数为

1 0 , B x B B ??

∈?

=???

，的长度

其余地方 按连续型随机变数X 的密度函数()x ?的定义，有

()([])(),()x

F x P X

x x dx x ?-∞

==-∞

+∞?

这是用密度函数来表达分布函数的公式。

下面用一个例子来说明均匀分布的分布函数的推导过程 【例2】算出区间[),a b 上的均匀分布的分布函数 解 ：当x a ≤

[),()()00x

x

a b F x x dx dx ?-∞

-∞===?

?

当a

x b ≤时

[),1()()0x a

x

a b a

x a F x x dx dx dx b a b a

?-∞

-∞

-==+=--??? 当b

x 时

[),1()()00001x

a

b

x a b a

b b a

F x x dx dx dx dx b a b a

?-∞

-∞

-==++=++=--???

?

即，

0 , () , 1 , x a

x a F x a x b b a b x

≤??-?

=≤?-???

为了推导用分布函数来表达密度函数的公式，考虑x 从0x 变化到0x x +?时

()F x 的增量

00

00()()()()x x

x F x F x x F x x dx ?+??=+?-=?

当()x ?在0x 处连续时，对于任意给定的0ε

，存在着0δ

，使得：当x

δ?时，

0()

x x x ??ε+?-?，从而，当x δ?时，

0()

()F x x x

?ε?-≤?。因此，当()x ?在0x 处连续时，0()()x F x ?'=.这就是用分布函数表达密度函数的公式. 定义2.3 （指数分布）若随机变量的密度函数为

, 0()0 , x e x f x λλ-?=?

?

其他 其中0λ为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布（有的称为负指数分布），记

作~()X e λ

下面验证()f x 是一个连续型分布密度函数。

由于()f x 在整个实轴上都不为负，又， 00

()()()f x dx f x dx f x dx ∞

+∞

-∞

-∞=+?

??

001

kx kx

dx ke dx

e

+∞

--∞

+∞

-=+??=+-??=??

所以，()f x 是一个连续型分布的密度函数