因式分解三
因式分解（三）
【学习目标】
学习换元法，因式定理，待定系数
【专题简介】
把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式.在数学求根作图方面有很广泛的应用.
因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显.
基本的分解方法有：①提公因式；②公式法；③十字相乘
常见分解技巧有：①主元法；②换元法；③拆添法；④双十字相乘法
高端分解方法有：①因式定理；②待定系数；③轮换对称
【专题分类】
1.换元法：__________________________________________________________
2. 因式定理：__________________________________________________________
3. 待定系数：__________________________________________________________
题型一：换元法
基础夯实
【例1】分解因式：(x＋1)4＋(x＋3)4－272
【练1】分解因式：a4＋44＋(a－4)4
【例2】分解因式：(a－c)2－4(a－b)(b－c)
【练2】分解因式：(x2＋xy＋y2)2－4xy(x2＋y2)
【例3】分解因式：(a＋b－2ab)(a＋b－2)＋(1－ab)2
【练3】分解因式：xy(xy＋1)＋(xy＋3)－2(x＋y＋1
2
)－(x＋y－1)2
【例4】分解因式：x4＋x3－4x2＋x＋1
【练4】分解因式：a4＋2a3b＋3a2b2＋2ab3＋b4题型二因式定理
因式定理：如果x＝a时，多项式a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值为为，x－a是该多项式的一个因式.
特别的，如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么－1一定是它的根.
多项式有理根的性质：
有理根
p
c
q
的分子p是常数项a0的因数，分母q是首项系数a n的因数.
基础夯实
【例5】分解因式：⑴x3＋4x2－5 ⑵x3＋6x2＋11x＋6
【练】5分解因式：⑴x3－x2＋2 ⑵x3＋8x－3
强化挑战
【例6】分解因式：3x3－5x2＋x＋1
【练6】分解因式：2x3－x2－5x－2
【例7】分解因式：6x4＋5x3＋3x2－3x－2
【练7】分解因式：⑴2x4＋x3＋7x2＋4x－4 ⑵x4＋2x3－3x2－4x＋4 【例8】分解因式：x3－9x2y＋26xy2－24y3
【练8】分解因式：⑴3x3－5x2y＋xy2＋y3⑵6x3－5x2y－3xy2＋2y3
【例9】分解因式：x3＋px2＋px＋p－1
【练9】分解因式：(a－1)x3－ax2－(a－3)x＋(a－2)
【例10】分解因式：x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc
【练10】分解因式：⑴8x3＋4(a＋b＋c)x2＋2(ab＋bc＋ac)x＋abc
⑵(l＋m)x3＋(3l＋2m－n)x2＋(2l－m－3n)x－2(m＋n)
题型三待定系数法
知识点睛
特定系数法：
如果两个多项式恒等，则左右两边同类项系数相等.
即，如果a n x n＋a n－1x n－1＋a n－2x n－2＋…a1x1＋a0＝b n x n＋b n－1x n－1＋b n－2x n－2＋…b1x1＋b0恒成立，那么a n＝b n，a n－1＝b n－1，…a1＝b1，a0＝b0.
特定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解.
基础夯实
【例11】用待定系数法分解因式：x2＋5x＋6
【练11】用待定系数法分解因式：x4－3x－2
【例12】关于x，y的二次式x2＋7xy＋my2－5x＋43y－24可分解为两个一次因式的乘积，则m的值是_________.
【练12】设px3＋mx2＋nx＋y是x的一次式的完全平方式，求证3mr＝n2.
练习：
1.用待定系数法分解因式：2x4－x3＋6x2－x＋6
2. 分解因式：x4＋x3＋2x2－x＋3
3.k为________时，多项式x2－2xy＋ky2＋3x－5y＋2能分解为两个一次因式的积.
4. 分解因式：x3－5
3
x2－
11
3
x－1
5.多项式2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，求a
b
的值.
6.多项式x2＋axy＋by2－5x＋y＋6的一个因式是x＋y－2，试确定a＋b的值.
7. 分解因式：x4＋3x3－4x2－8x＋8
8. 分解因式：－24y3＋26y2－9y＋1
9. 分解因式：9x4－3x3＋7x2－3x－2
10.已知x2＋x－2与2x－1分别是多项式ax3＋bx2＋cx－5及多项式ax3＋bx2＋cx－25
16
的因式，求a，b，c。
11. 分解因式：x4＋x2＋2ax＋1－a2
12.若x2＋2x＋5是x4＋px2＋q的一个因式，则pq的值是_________.
13.将代数式x3＋(2a＋1)x2＋(a2＋2a－1)x＋(a2－1)分解因式，得_____________________.
14. 分解因式：x4＋5x3＋15x－9
15.已知关于x的多项式3x2＋x＋m因式分解后有一个因式为（3x－1），试求m的值.并将多项式因式分解.
课外阅读轮换对称式
对称式：x，y的多项式x＋y，xy，x2＋y2，x3＋y3，x2y＋xy2，…在字母x与y互换时，保持不变，这样的多项式称为x，y的对称式.
类似地，关于x，y，z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋x2z＋y2z＋y2x＋z2x＋z2y，xyz，…在x，y，z中任意两个字母互换时，保持不变.
这样的多项式称为x，y，z的对称式.
轮换式：关于x，y，z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2＋yz2＋zx2，xyz，…
在将字母x，y，z轮换（即将x换成y，y换成z，z换成x）时，保持不变.
这样的多项式称为x，y，z的轮换式.显然，关于x，y，z的对称式一定是x，y，z的轮换式，但是，关于x，y，z的轮换式不一定是对称式.
例如，x2y＋y2z＋z2x就不是对称式.
次数低于3的轮换式同时也是对称式.
两个轮换式（对称式）的和，差，积，商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式），同时如果一个轮换式可以分解因式，那么分解因式结果中的所有因式都是轮换式.特别地，齐次轮换式四则运算
的结果仍然是齐次轮换式，同时齐次轮换式因式分解的结果也都是齐次轮换式.
基本轮换式:
一次基本轮换式有: x＋y＋z；
二次基本轮换式有: x2＋y2＋z2，xy＋yz＋zx；
三次基本轮换式有：x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2＋yz2＋zx2，xyz.
每个轮换式都可以写成不高于它次数的基本轮换式的线性和.
【例1】分解因式：a3＋b3＋c3－3abc
【解析】原式为关于a，b，c的三次齐次式，故必能分解为一个一次式与二次式的乘积，
设原式＝(a＋b＋c)[k(a2＋b2＋c2)＋l(ab＋bc＋ac)]，对比系数可知k＝1，l＝－1，
∴原式＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)
【例2】分解因式：x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y).
【解析】原式是关于x，y，z的轮换式.
若将原式视为关于x的多项式，则当x＝y时，原式＝0，所以
x－y是原式的因式，又由于轮换式的特性，所以y－z，z－x也为原式的因式.所以
x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)＝k(x－y)(y－z)(z－x)
对比等式两边的x2y的系数，可知k＝－1，所以
x2(y－z)＋y2(z－x)＋z2(x－y)＝－(x－y)(y－z)(z－x)
【例3】分解因式：(y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5
【解析】类似之前的例题可知(x－y)(y－z)(z－x)是原式的因式.
因为原式是五次的轮换式，而(x－y)(y－z)(z－x)是三次式，所以需要添加二次齐次轮换式， (y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5＝[l(x2＋y2＋z2)＋m(xy＋yz＋zx)] (x－y)(y－z)(z－x) 令x＝2, y＝1, z＝0 可得，
5l＋2m＝15 ①
再令;x＝l，y＝0，z＝－1可得 2l－m＝l5 ②
由①，②可知l＝5，m＝－5
∴(y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5＝[5(x2＋y2＋z2)－5(xy＋yz＋zx)] (x－y)(y－z)(z－x)
＝5(x－y)(y－z)(z－x) (x2＋y2＋z2－xy－yz－xz)
初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解） 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式； 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5.结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7.因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am+an+bm+bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解：原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！ =(m+n)(a+b) 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
因式分解16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
第九讲 因式分解 (添拆项与最值)
第八讲 因式分解（添拆项与最值） 知识点回顾： 1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式： ()()b a b a b a -+=-2 2 ； 完全平方公式：222b ab a ++=()2 b a +和)(b a b ab a -= +-2 222 （3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使, ,a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题： 例1（1）计算 29982 +2998×4+4= 。 （2）若442 -+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。 例2：分解因式： 2 2 288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x ) 例3：已知a –b = 1 ，252 2 =+b a 求ab 和a+b 的值。 例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2 +3x 有最 值，是 例 5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456． 分析：由于常数项数值较大，则常采用将 x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行． （1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575． 三、强化训练： 1、已知x +y =6，xy =4，则x 2 y +xy 2 的值为 . 2、分解因式： (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2 (n -m ) 4416n m - （8）4224817216b b a a +- 4、已知：a=2999，b=2995，求65522 2 -+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ?? -2222211......511411311211n 6、已知a 为任意整数，且()2 2 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。 7、已知x(x-1)-(y x -2 )=-2, xy y x -+2 2 2的值。 8、把下列各式分解因式： （1）4x 3﹣31x +15； （2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4； （3）x 5+x +1； （4）x 3+5x 2+3x ﹣9；
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
因式分解的几种方法
因式分解的几种方法 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 因式分解的几种方法 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x3-2x2-x x3-2x2-x=x(x2-2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2+4ab+4b2 解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2+5n-mn-5m 解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n
= (m2-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且 ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2-19x-6 分析：1×7=7,2×(-3)=-6 1×2+7×(-3)=-19 解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x2+6x-40 解x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40 =(x+ 3)2-(7 )2 =[(x+3)+7]*[(x+3) – 7] =(x+10)(x-4) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)
初一数学因式分解的常用方法(最新整理)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ）a b c ，，ABC ?2 2 2 a b c ab bc ca ++=++ABC ?A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=) ()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！ )()(n m b n m a +++ = ))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-) 510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x --- = =)2)(5(b a y x --) 5)(2(y x b a --练习：分解因式1、 2、bc ac ab a -+-2 1 +--y x xy
因式分解的9种方法
因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度 1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式 例一：0322 =-x x 解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法 常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。 例二：42-x 分解因式 分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2） 3. 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把3722+-x x 分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1; 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）. 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=（x —3)(2x —1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
初二数学人教版秋季班(学生版版)第12讲 因式分解二--尖子班
第12讲 因式分解（二） 知识点1 十字相乘法 对于像2ax bx c ++这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数a 分解成两个因数 12a a ，的积，把常数项c 分解成两个因数12c c ，的积，并使1221a c a c +正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：1122((2ax bx c a x c a x c ++=++））． 【典例】 1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ． 【答案】（x ﹣4）（x+3） 【解析】解：观察式子，x 2﹣x ﹣12中二次项系数为1，一次项系数-1，常数项为-12， ∵ 1 4 -13 即-4×3=-12，1×1=1且-4×1+3×1=-1 ∴x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x+3）． 【方法总结】 用十字相乘法对一个形如2ax bx c ++的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.
2.因式分解：4a2+4a﹣15= ． 【答案】（2a﹣3）（2a+5） 【解析】解：观察式子，4a2+4a﹣15中二次项系数为4，一次项系数4，常数项为-15 23 ∵ 25 即,2×2=4，5×（-3）=-15且2×5+（-3）×2=4 ∴4a2+4a﹣15=（2a﹣3）（2a+5）． 故答案为：（2a﹣3）（2a+5）． 【方法总结】 这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性. 3.分解因式：3x3﹣12x2﹣15x= ． 【答案】3x（x+1）（x﹣5） 【解析】解：先观察式子，发现是一个三次三项式，不满足十字相乘对式子的要求，但是式子中每项含有公因式3x，通过上讲的学习，我们知道可以先把公因式提取出来，变形成原式=3x（x2﹣4x+5），括号里的x2﹣4x+5正好可以利用十字相乘因式分解,，然后再进行下面的计算. ∴原式=3x（x2﹣4x+5） =3x（x+1）（x﹣5）． 故答案为：3x（x+1）（x﹣5）． 【方法总结】
人教版初中八年级数学上册专题因式分解的四种方法习题及答案
C ． a 2b + ab 2 = ab(a + b ) D ． x 2 + 1 = x x + ? 因式分解的四种方法（习题） ? 例题示范 例 1： x 2 ( y 2 - 1) + 2 x ( y 2 - 1) + ( y 2 - 1) 【思路分析】 考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式 ( y 2 - 1) ， 先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底． 【过程书写】 解：原式 = ( y 2 - 1)(x 2 + 2 x + 1) = ( y + 1)(y - 1)(x + 1)2 ? 巩固练习 1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（） A ． 9 x 2 y 3 z = 3x 2 z ? y 3 B ． x 2 + x - 5 = ( x - 2)( x + 3) + 1 ? 1 ? ? x ? 2. 把代数式 3x 3 - 6 x 2 y + 3xy 2 因式分解，结果正确的是（） A ． x(3x + y)(x - 3 y ) B ． 3x( x 2 - 2 x y + y 2 ) C ． x(3x - y) D ． 3x( x - y)2 3. 因式分解： （1） 3a 2b + 6ab 2 - 3ab ； （2） y( x - y) - ( y - x) ； 解：原式= 解：原式= （3） 4a 2 - 4a + 1； （4） x 2 - 5 x + 6 ； 解：原式= 解：原式= （5）16 - 8( x - y) + ( x - y)2 ； （6） x 4 -1； 解：原式= 解：原式=
初中常用因式分解公式
初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二．因式分解方法： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相 同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式 最常用的公式： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。
几种常见的因式分解方法
几种常见的因式分解方法 1． 提取公因式法 2． 分组分解法 3． 应用公式法，常用的公式有： （1）222)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=- （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+± （5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ （6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式（5）证明如下： ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式（6）证明如下： abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0，
于是， （7）abc c b a 3333=++ 这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍． 4．十字相乘法 （1）有二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积，并使a ＋b ＝p ，则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ （2）有二次三项式c bx ax ++2，如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2，常数项c 分解成两个因数b 1和b 2，并且使b b a b a =+2211，则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= （3）二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解． 设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出，a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的，这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解，再把f 分解成因数c 1和c 2．如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积．这种分解方法可视为双十字相乘法． 对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等．
第四讲因式分解(一)
第四讲 因式分解(一) 一、分组分解 例1：分解因式 1.322392727x ax xa a -+- 2.221 1 94n n y x x -+- 练习： 1.已知ABC ?的三边满足4222240a b c a c b +--=，试判定ABC ?的形状. 2.已知正整数a 、b 、c 满足27a ab ac bc --+=，求a c -的值 3.已知正数a 、b 、c 满足ab a b bc b c ac c a a ++=++=++=， 求 (1)(1)(1)a b c +++的值 例2：分解因式： 1.22536x xy x y y ++++ 2.2231092x xy y x y --++-
练习：分解因式 1.2225326x xy y x y +--+ 2.226136x xy y x y +-++- 二、换方法分解因式 例3：分解因式 1.(1)(2)(3)(4)24x x x x ++++- 2.2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++ 练习：分解因式 1.2(1)(3)(5)12x x x -+++ 2.2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ 3.42424(41)(31)10x x x x x -++++ 例4：分解因式 432653856x x x x +-++
例5：分解因式 2222222x y y z z x x z y x z y xy -+-+++ 练习：分解因式 1.22223345a b c ab ac bc +++++ 2.222222444222a b a c b c a b c ++--- 例6：分解因式 2()(2)(1)x y zxy x y xy +++-+- 练习：分解因式 1.21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 2.444()x y x y +++
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
第九讲 因式分解 (添拆项与最值)
第八讲 因式分解（添拆项与最值） 知识点回顾： 1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式： ()()b a b a b a -+=-2 2 ； 完全平方公式：2 2 2b ab a ++=()2 b a +和)(b a b ab a -= +-2 2 2 2 （3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使, ,a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题： 例1（1）计算 29982 +2998×4+4= 。 （2）若442 -+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。 例2：分解因式： 2 2 288a axy a y x -+ 4a 2 (x -y )+9b 2 (y -x ) 例3：已知a –b = 1 ，252 2 =+b a 求ab 和a+b 的值。 例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2 +3x 有最 值，是 例5 题目：分解因式：x 2 ﹣120x +3456． 分析：由于常数项数值较大，则常采用将x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行． （1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575． 三、强化训练： 1、已知x +y =6，xy =4，则x 2 y +xy 2 的值为 . 2、分解因式： (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2 (n -m ) 4416n m - （8）4224817216b b a a +- 4、已知：a=2999，b=2995，求65522 2 -+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ?? -??? ??-??? ??-??? ??-??? ?? -2222211 (5) 11411311211n 6、已知a 为任意整数，且()2 2 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。 7、已知x(x-1)-(y x -2 )=-2, xy y x -+2 2 2的值。 8、把下列各式分解因式：
因式分解概念及基本方法
【例1】 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A ．223()33ab a b a b ab +=+ B ．222 2421x x x x ?? +=+ ??? C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．23633(2)x xy x x x y -+=- 因式分解概念及基本方法
【例2】 把下列各式分解因式 ⑴8x3y2＋12xy3z ＝4xy2·( )＋4xy2·( ) ＝4xy2·( ＋) ⑵2a(b＋c)－3(b＋c) ＝( )·(b＋c)－( )·(b＋c) ＝( －)·(b＋c) ⑶12abc－9a2b2＝__________； ⑷(x＋3)2－(x＋3)＝__________。 【例3】 因式分解： ⑴(x＋y)2－3(x＋y)＝________。 ⑵x(a－b)2n＋y(b－a)2n＋1＝_________。 ⑶x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)＝_________。 ⑷m(x＋y)＋n(x＋y)－x－y＝_________。 【例4】 把下列各式因式分解 ⑴4a2－9 ＝( )2－( )2 ＝( ＋)( －)
⑵(x＋m)2－(x＋n)2 ＝[( )＋( )][( )－( )] ＝( )( ) ⑶4x2＋12x＋9 ＝( )2＋2·( )·( )＋( )2 ＝( )2 ⑷-a2＋4ab－4b2 ＝-( ) ＝- [( )2－2·( )·( )＋( )2] ＝-( )2 ⑸把x3－2x2y＋xy2分解因式，结果正确的是( ) A．x(x＋y)(x－y) B．x(x2－2xy＋y2) C．x(x＋y)2 D．x(x－y)2 ⑹因式分解：x3－xy2＝___________； ⑺分解因式：27x2＋18x＋3＝___________。 【例5】 因式分解： ⑴16m4－72m2＋81； ⑵-(a＋1)2－2(a2－1)－(a－1)2； ⑶4b2c2－(b2＋c2－a2)2。 知识框架重现 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式。方法：1．提公因式法2．公式法3．囧4．囧
第9讲 因式分解(一)
第九讲 因式分解（一） 知识模块一、因式分解的概念 知识梳理： 因式分解m 因式分解整式乘积+1=x (1+ 1 x )不是因式分解 例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ．3ab (a +b )=3a 2b +3ab 2 B ．2x 2+4x =2x 2(1+ 2x ) C ．a 2?4b 2=(a +2b )( a ?2 b ) D ．3x 2?6xy +3x =3x (x ?2y )+3x 例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b 3+2)(2?b 3)，那么这个多项式是（ ） A ．b 6?4 B ．4?b 6 C ．b 6+4 D ．?b 6?4 （2）若多项式x 2+ax +b 可因式分解为(x +1)(x ?2)，求a +b 的值为 。 知识模块二、提公因式法
例3．(1)因式分解：8x3y2+12xy3z =4xy2( )+4xy2( ) =4xy2( + ). （2）因式分解：?14abc?7ab+49ab2c= 。 例4．（1）因式分解：2a(b+c)?3(b+c) =( )? (b+c)? ( )? (b+c) =( ? )? (b+c) （2）因式分解：3x(a?b)?6y(b?a)= ； （3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)?x?y= ； （4）因式分解：x(a?b)2n+y(b?a)2n+1= ； 知识模块三、公式法 知识梳理 公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。（1）平方差公式：a2?b2=(a+b)(a?b)； （2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2?2ab+b2=(a?b)2； （3）完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3；a3?3a2b+3ab2?b3=(a?b)3；（4）立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2)； （5）立方差公式：a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2)。 例5．（1）因式分解：4a2?9 =( )2?( )2 =( + ) ( ? ) （2）因式分解：?a2+4ab?4b2 =?( ) =?[( )2?2( )?( )+( )2] =?( )2； （3）因式分解：?x3?2x2?x= ；
因式分解的四种方法(讲义)
因式分解的四种方法（讲义） ? 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3. 探索新知： （1）39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100 -=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？ （3）3m m -能被哪些整式整除？ ? 知识点睛 1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分
解． 2. 因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①公因式要提尽； ②首项为负时要提出负号； ③提公因式后项数不变． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式； ②找准公式中的a 和b ． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________． （4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是 有范围的，目前我们是在______范围内因式分解． ? 精讲精练 1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-??； ②2(3)(3)9a a a +-=-；
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)