圆锥曲线高考常考题型
圆锥曲线高考常考题型:
基本概念、基本性质题型
平面几何知识与圆锥曲线基础知识的结合
三
、
题型
（三
）
四、
五
、
（三
）
（四
）
六
、
三
）
直线与圆锥曲线的相交关系题型
中点、中点弦公式
弦长
焦半径与焦点三角形
面积题型
三角形面积
四边形面积
向量题型
向量数乘形式
向量数量积形式
向量加减法运算
点分向量（点分线段所成的比）
切线题型
椭圆的切线
双曲线的切线
抛物线的切线
七、最值问题题型
（一）利用三角形边的关系
(二)利用点到线的距离关系
一、基本概念题型：主要涉及到圆锥曲线定义、焦点、焦距、长短轴、实虚轴、准线、渐近线、离心率等基本概念知识的考查。
2 2
例1:已知椭圆笃爲1(a b 0)的焦距为2,准线为x 4，则该椭圆的离心
a b
率为_______________
x2y
例2:已知双曲线方程笃爲1(a,b 0)的离心率为/，则渐近线方程为
a2 b2 2 —
例3:已知双曲线方程为 2 x
~2 a
2
y
21(a 1)，则双曲线离心率取值范围为(a 1)
例4:已知抛物线方程为y28x，则焦点坐标为
2
例5:已知椭圆C:—2y_
3
1上一点P到左焦点的距离为—，则点P到左准线
432
的距离为，到右准线的距离为
2
例6:已知双曲线M x2
y
1上一点P到左准线的距离为2,则点P到右焦点
63
的距离为___________
二、平面几何知识与圆锥曲线基本知识的结合。
该考点主要涉及到平面几何知识中的中位线、中垂线、角平分线定理，射影定理、勾股定理、余弦定理、相似三角形、三角形四心性质、
等腰梯形、直角梯形性质、圆的性质、长度和坐标的相互转换等当然还会涉及圆锥曲线基本知识，包括定义、基本概念、基本性质。
例1：①过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1, 7)的圆交y轴于M, N两点，贝U | MN | ( ) A. 2 .6 B . 8 C . 4 .6 D . 10
②设点M ( x。,1 )，若在圆O: x2 y2 1上存在点N,使得/ OMN=4°，则x。的取
值范围是________
2 2
③已知点P为椭圆x2y2 1（a b 0）上一点，R、F2为椭圆的两焦点，若
a b
F1PF2 120 ,且PF j 3PF2,则椭圆的离心率为
2 x 例2：已知F2为双曲线——
2
y1的左右焦点，P为双曲线上一点，M（2, 0）,PM为
27 9
F I PF2的角平分线，则PF2= _______________
2 2
例3:已知P为椭圆—乙1上一点，F i、F2为椭圆的交点，M为线段PF i的中点,
9 2
OM 1,则PF1____________
2 2
例4：①已知F2为椭圆x y i（a b 0）的焦点，点P（a,b）, △ PF1F2为等角a2 b2
三角形，则椭圆的离心率为 ______________
2 2
②已知F1，F2是双曲线E与每1的左，右焦点，点M在E上，M F1与X轴垂直, a b
1
sin MF2F1 -,则E的离心率为
3
（A 、、2 （B）- （C）.3 （D）2
2
③已知A, B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，？ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）
A. ,5 B . 2 C . 、、3 D . 2
2 2
例5:已知椭圆方程为?￡“a b0），点A为椭圆右准线与x轴的交点，
2 2
a b
若椭圆上存在点P,使得线段AP的中垂线经过右焦点F,则椭圆离心率的取值范围为
2 例6:已知F1 (-c , 0)、F2(C,0)为椭圆C: $
a
2
y 1（ a b 0）的左右焦点，若在直线b2
2a2
C
存在一点P使得线段PF1的中垂线经过F2 ,则椭圆离心率的取值范围为 ______________ 例7:已知斜率为2的直线过抛物线y2ax（a 0）的焦点且与y轴的交点为A,
若厶OAF 的面积为4,则抛物线方程为 __________________
三、直线与圆锥曲线
,中点，中点弦公式
1直线与圆锥曲线相交，即有两个交点，一般设两个交点坐标为
(x i , y i )、(X 2, y 2)，联立方程，方程有两个根，以下三点 需注意：
① 联立时，直线一般采用斜截式，将y 用kx+m 替换，得到一个关于x 的一元 次方程，当然也可以将x 用y 的表达式替换，得到关于y 的一元二次方程； ② 联立得到的一元二次方程中，暗含了一个不等式， 0; ③ 我们很少需要求解x 2，一般通过韦达定理得到x-i x 2、x 1x 2的值 或者表达式。
2、两交点中点坐标：M(x 0, y 0)=(x
\^x2
, y i ^y2
)(联立、韦达定理)
3、中点弦公式：(所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时, 在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解) ① 椭圆：焦点在x 轴上时
2
白i(a b 0)相交于点A
x i
x 2
2
同理可以得到当焦点在y 轴上，即椭圆方程为专
a
当直线交椭圆于A B 两点，M 为A B 中点
=(
2
m) (X i X 2 k(X i X 2) m )
设点 A(x i ,y i ),B( X 2, y 2)
??? A 、
B 在椭圆上 2
?
X i
? ~2 a
2
y i
i ……①
2 2 则
X i 2
X 2
a 2 y i
2 y 2
厂
2 X 2
2 y
2
i ……②
两交点中点与弦所
①-②得:
2 2 X
i
X 2 2
a
2
y i
2 y 2
b 2
X i x 2 x i x 2
b l a
则
k
AB k
oM
￡
~2
a
(其中M 为A B 中点，O 为原点)
2 x
i( 2
i(
a
b 2
0)
则 k AB k OM
2
a
用文字描
述：
直线AB 的斜率与中点M 和原点O 所成直线斜率的乘积等于y 2
下的 系数比上X 2下的系数的相反数。
1
P 为AB 的中点，且直线0P 的斜率为-，求椭圆方程。
② 双曲线
两点，且 AB 的中点为N(-12,-15), 则E 的方程为(
)
2 2
②已知A 1、A 2为双曲线E ： — L 1(a,b 0)的左右顶点，P 为双曲线右支上
4
3
动点，贝U k PA ? k PB = _____________
2 2
③ P(x 。, y °)(x 0
a)是双曲线E :笃 与 1(a 0,b 0)上一点，M,N 分别是双 a b
1
曲线E 的左、右顶点，直线PM’PN 的斜率之积为-
(II )过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A, B 两点，O 为坐标原
2 2
同理，焦点在y 轴上，双曲线方程：-^2 ^2
1(a,b 0)
a b
例：①已知双曲线E 的中心为原点,
F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线
I 与E 相交于A ，B
2
例：已知直线x+y- ,3=0过椭圆C:笃
a
2
右1的右焦点且与椭圆交于A 、B 两点,
焦点在x 轴上，双曲线方程:
a 2
b 2
1(a,b 0)
2 2
(A ) x - y - 1 3 6 (B )
(D )
(I )求双曲线的离心率;
4 5 (C )
6 3
点，C 为双曲线上的一点，满足OC OA OB ，求 的值. ③ 抛物线
焦点在x 轴上，抛物线方程：y 2 2px
同理，焦点在y 轴上，抛物线方程：X 2 2py
例：①已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为 F （1，0），直线I 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的
中点为（2，2），则直线 的方程为 __________________________________ .
（二）弦长 1、弦长的一般形式
设 A (0 y 1),B( X 2, y 2)
■ Jl 十比'Abjb’ 亠冷,-a 1 A
\AS \= ------------- I 「二一门厂
弦长 AB ■ (X i X 2)2 (y i
y 2)2 = 1 k 2x 2)2 4%X 2
1
j W
椭圆弦长
y 2)2
4y“2
②双曲
2
X
a y
线弦长 2
y_ b
kX 1(a b 0)
2
X
a y 2
72 1(a,b b kX m
0)
X-i X 2
X-|X 2
2a 2
km
y 1
2b 2
m
2
-2a :km Xi X y —
亠 ak-b~
-2i?m
2 2 2 a (m b )
2. 2
,2
a k b
y”2
2 2 2 2
b (m a k ) 2. 2
,2
a k b
相切条件：
a 2k 2
b 2
相切条■件：A = 0^> b 1
= 0