抛物线与线段有交点时,求某一参数的取值范围(专题复习)

专题：抛物线与线段有交点时，求某一参数的取值范围

涉及的主要知识点：

（1）点在抛物线内满足的条件（不等式）、点在抛物线外满足的条件（不等式）。要根据抛物线的开口方向，数形结合；

（2）抛物线与直线相切满足的条件；

（3）抛物线与直线联立解方程，有时会含有参数；

（4）直线的平移与对称；

（5）两直线垂直时，k1×k2=-1；及两直线平行时，k1=k2

（6）直角坐标系中线段的中点坐标公式

基本方法：多画图，数形结合思想及分类讨论思想的应用

例1、已知在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2）、B（1，0），现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，点C为线段AB的中点，连接CD

（1）过点O、C、D的抛物线的解析式是

（2）若抛物线y=ax2+x与线段CD有公共点，则a的取值范围是

解析：（1）略解。过点D作DE⊥x轴，然后根据K型图知D（3，1），由中点坐标公式得C（

，1）

易得y=-

x2+

（2）①当a＞0时，抛物线y=ax2+x与x轴的交点坐标为（-

，0）、（0，0），抛物线只可能与线段CD有一个

交点，如右图所示，所满足的条件为1

)

(

2≤

≥

aφ

，解得0＜a≤2

②当a＜0时，抛物线y=ax2+x与x轴的交点坐标为（-

，0）、（0，0），此时抛

物线与线段CD可能有两个交点，也可能有一个交点，也可能没有交点

抛物线开口向下，与线段CD有交点时，必须首先满足一个大前提：ax2+x=1有解，

可得大前提 -

≤a＜0

当x=

时，

＜1，故抛物线只可能从C点下方过去。

有两个交点应满足的条件为

≤

，解得-

＜a≤-

有一个交点时，可能是相切，也可能不是相切。相切时，a=

1,抛物线与线段CD 的切点为（2，1），符合题意；

有一个交点时，且不相切的情形如右图所示： ????

?????++-1391214

41φπππa a a ，解得-92＜a ＜0 综上所述，a 的取值范围是0＜a ≤2或-

1≤a ＜0

类题演练

1、在直角坐标系中，点A （-2，0），B （-1，0），抛物线y=x 2+px+3与线段AB 有一个公共点，则p 的取值范围是

2、如图，正方形ABCD ，点A （0，3），B （1，0），设过点O ，C 的抛物线y=ax 2+bx+c ，且开口向下。

（1）点D 的坐标为 key ：（3，4）

（2）若线段OD 与抛物线只有一个交点，则a 的取值范围是

x y C

D A

O B

y x C A B O 3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =－x 2+2x+3的图像与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，动点P 从B 点出发，沿x 轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动。过点P 作PQ 垂直于直线BC ，垂足为Q 。设P 点移动的时间为t 秒（t ＞0），将△BPQ 绕点P 逆时针旋转90度

（1）当t= 时，旋转后的点B 落在二次函数图象上； key ：3

（2）当旋转后的△BPQ 与二次函数的图像有两个公共点时，则t 的取值范围是

4、如图，直线y=12x+2交y 轴于点A ，与直线y=－12

x 交于点B ，把△AOB 沿y 轴翻折，得到 △AOC

（1）点C 的坐标是 key ：（2，1）

（2）若抛物线y=（x-m ）2+k 的顶点在直线y=－

12x 上移动，当抛物线与△AOC 的边OC ，AC 都有公共点，则m 的取值范围是）

5、（2017年武义实验中学3月份月考试卷）如图，抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），

与y 轴交于点C

（1）将抛物线沿y 轴平移t （t ＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB 有且仅有一个交点时,则t 的取值范围是

（2）抛物线上存在点P ，使∠BCP=∠BAC-∠ACO ，则点P 的坐标为

x Q

C A B

O P

例2、如图，R t △ABC 的斜边AB 在轴上，AB=4，点A 的坐标为（-1，0），点C 在y 轴的正半轴。若抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A ，B ，C.

（1）该抛物线的函数表达式为

（2）若以动直线l ：y=-3x+m 为对称轴，线段BC 关于直线l 的对称线段B ′C ′与二次函数图象有交点，则m 的取值范围为

(逆向思考：先画出线段B ′C ′ 的相交情况)

解：（1）y= -x 2+x+（注意：在第（1）问中，可发现均为30°、60°、90°的特殊直角三角形，这些特殊角度有重要的作用）

（2）我们发现：线段B ′C ′ 是在进行平移运动，被夹在y=x+与y=x-两平行直线之间。从特殊点出发，当直线l 恰好经过点B 时，则B 、B ′ 重合。由动直线l ：y=-x+m ，可知，动直线l 与x 轴相交所形成的锐角为60°，故这时B ′C ′⊥x 轴（上面的图画得不是很清楚，可自己改一改），这就说明B ′C ′ 始终垂直于x 轴。

联立直线得交点D 的横坐标433-m ，又因为该交点为线段CC ′ 的中点，由中点坐标公式得C ′的横坐标为2

33-m （接下来，自己去模仿吧）故直线B ′C ′的解析式：x=

233-m 联立易得E （1，3

34）联立易得F （-2，-

335） 233-m =3，得m=33；233-m =1，得m=3

35； 333

3233333

333??

???+-=+=m x y x y 3333y x C B A O y x C'C B A O B'

233-m =0，得m=3；233-m =-2，得m= -3

3 综上所述，m 的取值范围为-

≤m ≤或≤m ≤3 类题演练

6、如图，抛物线y=﹣49

(x-3)2+4的顶点为A ，与x 轴交于点O 、B ，直线l ⊥直线AO 于点P ，与x 轴交于点C ，连接AC 。设点P 的横坐标为m

（1）写出点A 与点B 的坐标； key ：A （3，4），B （6，0）

（2）当m=1时，求△ACO 的面积； key ：9

50 （3）作点O 关于直线l 的对称点O ′，连接CO ′

① 当m ＞0时，问是否存在点P ，使得△ACO ′为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

② 作点B 关于直线l 的对称点B ′,连接B ′O ′，若线段B ′O ′与抛物线有交点，直接写出m 的取值范围

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