中考数学压轴题典型题型精讲(含答案)

2009年全国中考数学压轴题精选精析（四）

41.（09年湖北恩施州）24.如图，在ABC ?中，∠A 90=°，10=BC , ABC ?的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '?与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y. （1）．用x 表示?ADE 的面积; （2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式； （4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

（09年湖北恩施州24题解析）解:(1) ∵ D E ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE ∽△ABC ∴

2

)(BC

DE S S ABC ADE =??

即2

4

1x S ADE =

? 3分 (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5≤x 时 2

4

1x S y ADE =

=? 6分 （3）x ≤5﹤10时，点A '落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S △A 'DE =S △ADE =24

1x

∴DE 边上的高AH=AH '=x 2

1 由已知求得AF=5 ∴A 'F=AA '-AF=x-5 由△A 'MN ∽△A 'DE 知

2

DE A'MN A')H

A'F A'(=??S S

C

B

A

2MN A')5(-=?x S

∴25104

3

)5(41222-+-=--=x x x x y 9分 （4）在函数2

4

1x y =中

∵0﹤x ≤5

∴当x=5时y 最大为：4

25

10分 在函数

251043

2-+-=x x y 中

当3202=

-=a b x 时y 最大为：325

11分 ∵425﹤3

25

∴当320=x 时，y 最大为：3

25

12分

39.（09年黑龙江绥化）28．(本小题满分lO 分)

（09年黑龙江绥化28题解析）

40.（09年湖北鄂州）27．如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F

处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO

(1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令；

四边形四边形CNMN CFGH

S S m

，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝

31，Q 为AE 上一点且QF ＝3

2

，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存

在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。

（09年湖北鄂州27题解析）（1）EO ＞EC ，理由如下：

由折叠知，EO=EF ，在Rt △EFC 中，EF 为斜边，∴EF ＞EC ， 故EO ＞EC …2分 （2）m 为定值

∵S 四边形CFGH =CF 2=EF 2－EC 2=EO 2－EC 2=(EO+EC)(EO ―EC)=CO ·(EO ―EC)

S 四边形CMNO =CM ·CO=|CE ―EO|·CO=(EO ―EC) ·CO ∴1

==

CMNO CFGH

S S m 四边形四边形 ……………………………………………………4分

（3）∵CO=1，323

1

==QF CE ， ∴EF=EO=QF ==-3

2

311 ∴cos ∠FEC=

21

∴∠FEC=60°， ∴?=∠∠=?=?

-?=∠30602

60180EAO OEA FEA ，

∴△EFQ 为等边三角形，32

=EQ

…………………………………………5分

作QI ⊥EO 于I ，EI=

3

1

21=EQ ，IQ=3323=EQ ∴IO=

31

3132=

-

∴Q 点坐标为)31,33( ……………………………………6分 ∵抛物线y=mx 2+bx+c 过点C(0，1)， Q )31

,33(

，m=1 ∴可求得3-=b ，c=1

∴抛物线解析式为1

32

+-=x x y

……………………………………7分

（4）由（3），3323=

=EO AO

当332=

x 时，3

1

13323)332(2=+?-=y ＜AB ∴P 点坐标为)3

1

,332( …………………8分 ∴BP=3

2

311=-

AO 方法1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF ≌△AEO ，则分情况如下：

①3

3

232

32=BK 时，932=BK ∴K 点坐标为)1,93

4(

或)1,938( ②32

323

32=BK 时，332=

BK ∴K 点坐标为)1,33

4(

或)1,0(…………10分

故直线KP 与y 轴交点T 的坐标为

)

1,0()31

,0()37,0()35,0(或或或--

…………………………………………12分 方法2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P 作PR ⊥y 轴于R ，则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时，2333

2=?=

RT ②当∠RTP=60°时，323332=÷=

RT

∴)

1,0()31

,0()3

5,0()37,0(4321T T T T ，，，--

……………………………12分

42.（09年湖北黄冈）20．(满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线

214

10189

y x x =--与x 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从O,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒)

(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;

(3)当0＜t ＜9

2

时,△PQ F 的面积是否总为定值?若

是,求出此定值,若不是,请说明理由;

(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．

（09年湖北黄冈20题解析）解：（1）21(8180)18

y x x =--，

令0y =得2

81800x x --=，()()18100x x -+=

∴18x =或10x =-∴(18,0)A ；………………………1′

在214

10189

y x x =

--中，令0x =得10y =即(0,10)B -；………………2′ 由于B C ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由214

1010189

x x -=--得8x =或0x = 即(8,10)C -且易求出顶点坐标为98

(4,)9

-……………………………………3′

于是，(18,0),(0,10),(8,10)A B C --，顶点坐标为98

(4,)9

-。…………………4′

（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于Q C ∥PA 。故只要QC=PA 即可，而

184,PA t CQ t =-=故184t t -=得18

5

t =

；……………………7′ （3）设点P 运动t 秒，则4,OP t CQ t ==，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点OA 、重合，

由于Q C ∥OP 知△QD C ∽△PDO ，故

1

44

QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==∴18PF PA AF PA OP =+=+=…………………9′

又点Q 到直线PF 的距离10d =，∴11

18109022

PQF S PF d ?==??=g g ，

于是△PQF 的面积总为90。…………………………10′

（4）由上知，(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--，0 4.5t <<。构造直角三角形后易得

2222(48)10(58)100PQ t t t =-++=-+，

2222(1848)10(510)100FO t t t =+-++=++

① 若FP=PQ ，即2

2

18(58)100t =-+，故2

25(2)224t +=，

∵22 6.5t +≤≤∴25t +=

=∴25

t =-……………………11′ ② 若QP=QF ，即22

(58)100(510)100t t -+=++，无0 4.5t ≤≤的t 满足条

件；……………12′

③ 若PQ=PF ，即22(58)10018t -+=，得2

(58)224t -=，∴8 4.55

t +=

>或

805

t -=

<都不满足0 4.5t ≤≤，故无0 4.5t ≤≤的t 满足方程；………………………13′

综上所述：当25

t =

-时，△PQR 是等腰三角形。…………………………14′ 43.（09年湖北黄石）25．（本小题满分10分）

正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，

AB 交y 轴正半轴于E BC ，交x 轴负半轴于F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过A D F 、、三点．

（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所

在直线于N ，若3

2

FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状；

（3分） （3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且

AP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

（4分）

（09年湖北黄石25题解析）解：（1）依条件有(04)D -，，(01)E ，．

由OEA ADO △∽△知2

4OA OE OD ==g

． ∴(20)A ，由Rt Rt ADE ABF △≌△得DE AF =． ∴(30)F -，．

将A F 、的坐标代入抛物线方程， 得42409340

a b a b +-=??

--=?2

3a b ?==．

∴抛物线的解析式为222

433

y x x =+-． ·

··························································· 3分 （2）设QM m =，1(5)||2Q AFQM S m y =+g 四边形，1

(5)||2

FQN Q S m y =-g △．

∴3

(5)||(5)||12

Q Q m y m y m +=-?=g g

设()Q a b ，，则(1)M a b +，

∴222432(1)4

b a a a

b a ?

=+-?

??=+-?2230a a ?--=，1a ∴=-（舍去3a =） 此时点M 与点D 重合，QF AM =，AF QM >，AF QM ∥，

则AFQM 为等腰梯形． ·················································································· 3分 （3）在射线DB 上存在一点P ，在射线CB 上存在一点H ． 使得AP PH ⊥，且AP PH =成立，证明如下：

当点P 如图①所示位置时，不妨设PA PH =，过点P 作PQ BC ⊥，PM CD ⊥

，

（第25题图）

PN AD ⊥，垂足分别为Q M N 、、．

若PA PH =．由PM PN =得：

AN PQ =，Rt Rt PQH APN ∴△≌△ HPQ PAN ∴∠=∠．

又90PAN APN ∠+∠=°

90APN HPQ ∴∠+∠=°

AP PH ∴⊥． ·

····························································································· 2分 当点P 在如图②所示位置时，

过点P 作PM BC ⊥，PN AB ⊥， 垂足分别为M N ，．

同理可证Rt Rt PMH PAN △≌△． MHP NAP ∠=∠． 又MHP HPN ∠=∠，

90HPA NPA HPN MHP HPM ∠=∠+∠=∠+∠=°，

PH PA ∴⊥． ·

····························································································· 1分 当P 在如图③所示位置时，过点P 作PN BH ⊥，垂足为N ，PM AB ⊥延长线，垂足为M ．

同理可证Rt Rt PHM PMA △≌△．

PH PA ∴⊥． ·

····························································································· 1分 注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的

给予4分；若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给2分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给2分．

44.（09年湖北荆门）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． (1)若m 为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

B A N D M

C Q H

P ① H

N

A

D C

B M P ③

B

A

D

M C Q

H

P ②

N

（09年湖北荆门25题解析）解：(1)设抛物线的解析式为：y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m )2－4a ．…………2分

∵AC ⊥BC ，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又AB ＝4， ∴C (m ，－2)代入得a ＝

12．∴解析式为：y ＝1

2

(x －m )2－2．…………………………5分 (亦可求C 点，设顶点式)

(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝1

2

(x －m )2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 (3)由(1)得D (0，

12

m 2

－2)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能OD ＝OB ．……………………………………………9分 ∴

12

m 2

－2＝|m ＋2|，当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)． 当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)；

当m ＋2＝0时，即m ＝－2时，B 、O 、D 三点重合(不合题意，舍)

综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12分 45.（09年湖北十堰）25．（12分）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与

x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE

第25题图

B

D

A

C

O x

y

面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

（

09

年

湖

北

十

堰

25

题

解

析

）

解

:

(1)

由

题

知

:

??

?=+-=++0

3390

3b a b a ……………………………………1 分 解得: ??

?-=-=2

1

b a ……………………………………………………………2分

∴ 所求抛物线解析式为: 322+=x －－x y ……………………………3分

(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, 10)或P(－1,－ 10)

或P (－1, 6) 或P (－1, 3

5

)………………………………………………………7分 (3)解法①：

过点E 作EF ⊥x 轴于点F , 设E ( a ,-2

a -2a ＋3 )( －3< a < 0 )

∴EF =-2

a -2a ＋3，BF =a ＋3，OF =－a ………………………………………………8 分

∴S 四边形BOCE =

21BF ·EF + 2

1(OC +EF )·OF =21( a ＋3 )·(－2a －2a ＋3) + 21(－2a －2a ＋6)·（－a ）……………………………9 分 =29

29232+--a a ………………………………………………………………………10 分

=－232)2

3(+a +863

∴ 当a =－23

时，S 四边形BOCE 最大, 且最大值为 8

63．……………………………11 分

此时，点E 坐标为 (－

23，4

15)……………………………………………………12分 解法②：

过点E 作EF ⊥x 轴于点F ， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分

则S 四边形BOCE =

21(3 + y )·(－x ) + 21( 3 + x )·y ………………………………………9分 = 2

3( y －x )= 23

(332+x －－x ) …………………………………10 分

= －232)2

3

(+x + 863

∴ 当x =－23

时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为 8

63． …………………………11分

此时，点E 坐标为 (－23，4

15

) ……………………………………………………12分

说明:（1）抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分.

（2）直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分． （3）其它解法请参照评分说明给分. 46.（09年湖北武汉）25．（本题满分12分）

如图，抛物线2

4y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐

标．

37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分）

如图，ABCD Y

在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二

次方程2

7120x x -+=的两个根，且OA OB >． （1）求sin ABC ∠的值．

（2）若E 为x 轴上的点，且16

3

AOE S =

△，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？

（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M

为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．

（09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解2

7120x x -+=得1243x x ==，

OA OB >Q

43OA OB ∴==， ·

············································································· 1分 在Rt AOB △

中，由勾股定理有5AB =

4

sin 5

OA ABC AB ∴∠=

= ·

······································································· 1分 （2）∵点E 在x 轴上，16

3

AOE S =△

11623

AO OE ∴?= 8

3OE ∴=

880033E E ????∴- ? ?????

，或， ········································································ 1分

由已知可知D （6，4）

设DE y kx b =+，当8

03E ?? ???

，

时有 46803k b k b =+???

=+??解得65165k b ?=????=-?? ∴616

55

DE y x =

- ················································································ 1分 同理803

E ??

- ???

，

时，6161313

DE y x =+ ······················································· 1分

28题图

在AOE △中，89043

AOE OA OE ∠===°，， 在AOD △中，9046OAD OA OD ∠===°，， OE OA

OA OD

=

Q AOE DAO ∴△∽△ ·

··········································································· 1分 （3）满足条件的点有四个

123475224244(38)(30)1472525F F F F ????

----- ? ?????

，；，；，；， ····························· 4分

说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分. 38.（09年黑龙江齐齐哈尔）28．（本小题满分10分） 直线3

64

y x =-

+与坐标轴分别交于A B 、两点，

动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．

（1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48

5

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．

（09年黑龙江齐齐哈尔28题解析）（1）A （8，0）B （0，6） ································· 1分 （2）86OA OB ==Q ， 10AB ∴=

Q 点Q 由O 到A 的时间是8

81

=（秒）

∴点P 的速度是610

28

+=（单位/秒） · 1分

当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，

2S t = ·········································································································· 1分

当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，

,

如图，作PD OA ⊥于点D ，由

PD AP BO AB =

，得4865

t

PD -=， ······························ 1分 21324255

S OQ PD t t ∴=?=-+ ·

······································································ 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3）82455P ?? ???

， ···························································································· 1分

1238241224122455555

5I M M 2??????-- ? ? ???????，，，，， ···················································· 3分

注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分．

（09年湖北武汉25题解析）解：（1）Q 抛物线2

4y ax bx a =+-经过(10)A -，，(04)C ，两点，

404 4.

a b a a --=?∴?

-=?，

解得13.a b =-??=?

，

∴抛物线的解析式为234y x x =-++．

（2）Q 点(1)D m m +，在抛物线上，2

134m m m ∴+=-++，

即2

230m m --=，1m ∴=-或3m =．

Q 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，．

由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．

(04)C Q ，，CD AB ∴∥，且3CD =，

45ECB DCB ∴∠=∠=°，

E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．

1OE ∴=，(01)E ∴，

． 即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．

（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ． 由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠Q °，．

(04)(34)C D Q ，，，，CD OB ∴∥且3CD =．

45DCE CBO ∴∠=∠=°，

2

DE CE ∴==

． 4OB OC ==Q

，BC ∴=

2

BE BC CE ∴=-=， 3

tan tan 5

DE PBF CBD BE ∴∠=∠=

=． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-，

(543)P t t ∴-+，．

P Q 点在抛物线上，

∴23(54)3(54)4t t t =--++-++，

0t ∴=（舍去）或2225t =

，266525P ??

∴- ???

，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作

QG DH ⊥于G ．

45PBD QD DB ∠=∴=Q °，． QDG BDH ∴∠+∠90=°，

又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠．

QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==．

由（2）知(34)D ，，(13)Q ∴-，．

(40)B Q ，，∴直线BP 的解析式为312

55

y x =-+．

解方程组23431255y x x y x ?=-++??=-+??，，得1

140x y =??

=?，；222566.25x y ?=-????=??， ∴点P 的坐标为266525??

- ???

，．

47.（09年湖北襄樊）26．（本小题满分13分）

如图13，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，

MBC △是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =?∠保持不变．设

PC x MQ y ==，，

求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．

（09年湖北襄樊26题解析）（1）证明：∵MBC △是等边三角形

∴60MB MC MBC MCB ===?，∠∠ ········ 1分 ∵M 是AD 中点 ∴AM MD = ∵AD BC ∥

∴60AMB MBC ==?∠∠， 60DMC MCB ==?∠∠ ∴AMB DMC △≌△ ······················ 2分 ∴AB DC =

∴梯形ABCD 是等腰梯形． ························································ 3分

（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==?∠∠，

60MPQ =?∠

∴120BMP BPM BPM QPC +=+=?∠∠∠∠

∴BMP QPC =∠∠ ··········································································· 4分 ∴BMP CQP △∽△ ∴

PC CQ

BM BP

= ····················································· 5分 ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ···································· 6分

A D

C B P

M Q

60°

图13

∴

444x y x -=

- ∴2

144

y x x =-+ ························································· 7分 （3）解：①当1BP =时，则有BP AM BP MD

∥∥， 则四边形ABPM 和四边形MBPD 均为平行四边形 ∴2113

33444

MQ y ==

?-+= ·

·················································· 8分 当3BP =时，则有PC AM PC MD

∥∥， 则四边形MPCD 和四边形APCM 均为平行四边形

∴113

11444

MQ y ==

?-+= ·

···················································· 9分 ∴当1314BP MQ ==，或13

34

BP MQ ==，时，以P 、M 和A 、B 、C 、 D

中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．

此时平行四边形有4个． ·························································· 10分 ②PQC △为直角三角形 ··························································· 11分 ∵()2

1234

y x =

-+ ∴当y 取最小值时，2x PC == ················································ 12分 ∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =?∠，

∴30CPQ =?∠，∴90PQC =?∠ ·············································· 13分

48.（09年湖北孝感）25．（本题满分12分）

如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x

=

<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，

分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =

x

k 2

（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．

①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）

②记2PEF OEF S S S ??=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）

（

09

年

湖

北

孝

感

25

题

解

析

）

解

：（

1

）

21k k -； … ………………………3分

（2）①EF ∥AB ． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），2(4,)4

k E --，2(

,3)3

k F ．

∴P

A =3，PE =234k +，P

B =4，PF =243

k

+． ∴

22

3121234

PA k PE

k =

=

++

，

22

4121243

PB k PF

k =

=

++

∴

PA PB

PE PF

=

． ………………………… 6分 又∵∠APB =∠EPF ．

∴△APB ∽△EPF ，∴∠P AB =∠PEF ．

∴EF ∥AB ． …………………………… 7分 ②S 2没有最小值，理由如下：

过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ． 由上知M （0，24

k -

），N （

23

k ，0），Q （

23

k ，24

k -

）． ……………… 8分

而S △EFQ = S △PEF ，

∴S 2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN

＝

4

321212222k

k k k ?++

＝2

22112

k k +

=

221(6)312

k +-． ………………………… 10分

当26k >-时，S 2的值随k 2的增大而增大，而0＜k 2＜12． …………… 11分 ∴0＜S 2＜24，s 2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB ∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A 、B 两点和

经过E 、F 两点的直线解析式，利用这两个解析式中x 的系数相等来证明AB ∥EF ；方法二：利用tan PAB ∠＝tan PEF ∠来证明AB ∥EF ；方法三：连接AF 、BE ，利用S △AE F ＝S △BFE 得到点A 、点B 到直线EF 的距离相等，再由A 、B 两点在直线EF 同侧可得到AB ∥EF ．

2．求S 2的值时，还可进行如下变形：

S 2＝ S △PEF －S △OEF ＝S △PEF －（S 四边形PEOF －S △PEF ）＝2 S △PEF －S 四边形PEOF ，再利用第（1）题中的结论．

注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；

2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．