2021年云南省高考数学总复习：导数及其应用

2021年云南省高考数学总复习：导数及其应用1．已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣x2．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，e x﹣x2﹣1≥f（x）恒成立，求a的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=

a

x+1

?2x=?2x

2?2x+a

x+1，

令g（x）＝﹣2x2﹣2x+a，

则△＝4+8a且f'（x）与g（x）的符号相同．

①当△≤0即a≤?12时，g（x）≤0，此时f'（x）≤0；

②当△＞0即a＞?12时，令g（x）＝0得x1=?1?√1+2a

2，x2=?1+√1+2a

2，

易知x2＞﹣1，

a当x1≤﹣1即a≥0时，

当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，此时f'（x）＞0；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0；

b当x1＞﹣1即?1

2＜a＜0时，

当x∈（﹣1，x1）∪（x2，+∞）时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0；当x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，此时f'（x）＞0；

综上，当a≤?1

2时，f（x）的单减区间为（1，+∞），无单增区间；

当a≥0时，f（x）的单减区间为(?1+√1+2a

2，+∞)，

单增区间为(?1，?1+√1+2a

2

)；

当?1

2＜a＜0时，f（x）的单减区间为(?1，

?1?√1+2a

2

)和(?1+√1+2a

2，+∞)，

单增区间为(?1?√1+2a

2，

?1+√1+2a

2

)．

（2）e2﹣x2﹣1≥f（x）即e x﹣1﹣aln（x+1）≥0；令h（x）＝e x﹣1﹣aln（x+1），

则h（0）＝0，?′(x)=e x?

a

x+1；

当a≤0时，h'（x）＞0，

此时h（x）在[0，+∞）上单增，h（x）≥h（0）＝0，符合题意；

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