全部光学作业解答Word版

第一章 习题1

1、物点A 经平面镜成像像点A ＇，A 和A ＇是一对共轭等光程点吗？ 答：A 和A ＇是一对共轭等光程点

2、在什么条件下附图中的折射球面起会聚作用，在什么条件下起发散作用？

(a) (b)

解: r n

n n f -''='

(a ) ∵ r > 0 ,

∴ 当 n' > n 时，0>'f ，会聚；当 n' < n 时，0<'f ,发散。 (b )∵ r < 0 ,

∴ 当 n' > n 时，0<'f ，发散; 当 n' < n 时，0>'f ，会聚。 3、顶角α很小的棱镜，常称为光楔；n 是光楔的折射率。证明光楔使垂直入射的光线产生偏向角δ = (n ?1) α，δ是指入射光经两折射面折射后，出射光线与入射光线之间的夹角。 证法一： 由折射定律

n sin i 1=n 0sin i 2 ， i 1、 i 2 很小，

则 11sin i i ≈ ， 22sin i i ≈ 由几何关系：α=1i ，即2i n =α ∴ αααδ)1(12-=-=-=n n i i

证法二：由几何关系：α=1i

δαδ+=+=12i i

由折射定律 n sin i 1=n 0sin i 2

1

∵ i 1、 i 2 很小，α=≈11sin i i , 22sin i i ≈， 且 10≈n

则有 δαα+=n ，∴ αααδ)1(-=-=n n

4、若空气中一均匀球形透明体能将平行光束会聚于其背面顶点上，此透明体的折射率应等于多少？

解：设球形透明体的半径为r ，其折射率为n ′已知r p p n 2 , , 1='-∞== 根据单球面折射成像公式

r

n

n p n p n -'=

-'' 得：r n r n 12-'=' ∴ 2='n 5、试证明：一束平行光相继经过几个平行分界面的多层介质折射时，出射光线的方向只与入射光的方向及入射空间和出射空间介质的折射率有关，与中间各层介质无关。

证明：∵ 0011sin sin i n i n =

1122sin sin i n i n = 2233sin sin i n i n =

┇

2211sin sin ----=k k k k i n i n 11sin sin --=k k k k i n i n

∴ 00sin sin i n i n k k = 即 k k n i n i /)sin (sin 00=，命题成立。 6、照相机的物镜是焦距为12cm 的薄透镜，底片距透镜最大距离为20cm ，拍摄物镜前15cm 处的景物，要在物镜上贴加一个多大焦距的薄透镜？ 解：已知

cm p cm p cm f f 20 , 15 , 122

111='-==-=' 21

p p ='，求?22=-='f f

cm p f p p p f p f 60 1

11 11

111

1111='?'=-'?=+''

cm p p f p p p f p f 60 , 1

11 11

2222

2222='='=-'?=+''

且n k

则有

cm p p p p p p p p f 30206020

6021212

2222=-?='-'''='-'=

' 7、如图所示，L 1、L 2分别为凸透镜和凹透镜，前面放一小物，移动屏幕到L 2后20cm 的S 1处接到像，先将凹透镜L 2撤去，将屏移前5cm 至S 2处，重新接收到像，求凹透镜L 2的焦距。 解：已知 155202cm p =-=

20 2

cm p =' 求：

?22=-='f f

1

11 1222

2222f p p p f p f '=-'?=+'' cm p p p p f 60 2

2222-='-'='?

20cm

第二章 习题2

1、一维简谐平面波函数)v

(cos ),(x

t A t p E -

=ω中，v x 表示什么？如果把波函数

写为)v

cos(),(x

t A t p E ωω-

=，

v

x

ω表示什么？ 答: x /v 表示坐标为x 的P 点的光振动状态对原点同一光振动状态的延迟时间。 ωx /v 表示在同一时刻t ，坐标为x 的P 点的光振动比原点光振动落后的相位。

2、一单色平面光波在玻璃中沿x 轴方向传播，其波函数为

)]}0.66c

(10[ exp{),(15x

t i A t p E -

?-=π 试求：（1）光波的频率；（2）光波的波长；（3）玻璃的折射率。

解：(1) exp ),(A t p E =｛])v ([0?ω+--x

t i ｝

exp A =｛)]66.0(10[15c

x

t i -

?-π｝ ∴ ω = π×1015(s -1) , ν = ω/(2π) = 5×1014Hz (2) v=0.66c , 由

v = νλ 得

λ = v/ν

=0.66c/(5×1014)=3.96×10-7(m ) (3) n = c /v = c/(0.66c) = 1.52

3、一单色光波，传播速度为3×108m/s ，频率为5×1014Hz ，问沿着光波传播方向上相位差为90°的任意两点之间的最短距离是多少？ 解: 已知

c =3×108(m/s), ν=5×1014Hz , Δφ=π/2,

λ=c /ν=6×10-7(m )

由 r ?λ

π

??2=得 )(105.14106277

m r --?=?==

??πλ?=0.15(μm ) 4、一单色平行光，在真空中波长为600nm ，垂直入射到平行平面玻璃板上，玻璃对此波长的折射率为1.5，玻璃板厚度为1×10-4m ，求光在玻璃中的传播速度和波长各是多少？光波透过玻璃刚离开和刚进入时相比，光程差和相位差各是多少？

解: 已知 λ0 = 600nm , n =1.5 , h =1×10-4

m

)/(1025.1103v 8

8s m n c ?=?==, )(4005.16000nm n ===λλ

Δ=nh =1.5×10-4(m)

,

ππ?λπ

δ5105.110

6224

7

0=???==--×102(rad) 5、复振幅ikz Ae p +=)(~ψ

中的模和幅角各表示什么物理意义？ 答：模表示波的振幅，辐角表示某时刻波的相位分布或某时刻在空间任意点的相位。

6、写出沿x 轴传播的平面简谐波的复振幅表达式。

解：)(0)

(~

?ψ-=kx i Ae p

7、分别写出发散的和会聚的球面简谐波的复振幅。

解：发散，)](exp[)(~

0?ψ-=kr i r

A P

会聚，)](exp[)(~

0?ψ--=

kr i r

A

P 8、如图所示，一波长为λ的平面简谐波沿r 方向传播，设r = 0处的初相位为φ0，

(1) 写出沿r 方向波的相位分布φ(r )； (2) 写出沿x 方向波的相位分布φ(x )； (3) 写出沿y 方向波的相位分布φ(y )； (5) 写出该平面简谐波的复振幅表达式。

解： (1) 00

02)(?λ

π

???-=-=-?=r kr r k r (2) 0000cos 22)(?θλ

π

?λπ???-=-=-=-?=x x x k i x k x x

x

(3) 0000sin 22)(?θλ

π?λπ???-=-=-=-?=y y y k i y k y y

y

(4)]})[(exp{)](exp[)(~00??ψ-++=-?=z k y k x k i A r k i A P z y x

]}) sin (cos 2[

exp{0?θθλ

π

-+=y x i A

第二章 习题3

1、试计算如图所示的周期函数

3 2 1 0

)2/1( 1

)2/1( 1 )(,,,,n ,n x n ,,n x n ,x g ±±±=≤≤--+<<+=λλλλ当当

的傅里叶级数表达式。 解：?

=

λ

λ0

02

dx )x (g a

0)2(2222/2

/0=??

?

???--=????

??-=??λλλλλλλλdx dx ???-

=

=λ

λλλ

λ

π

λλ

π

λλ

π

λ

2/2

/0

0)2cos(2

)2cos(2

)2cos()(2

dx

x m dx x m

dx

x m x g a m

3, 2, 1 , 0)2()2(1

220,m x m sin x m sin m //==???

?????-=λ

λλλπ

λππ

)2sin(2

)2sin(2

)2sin()(2

2

/0

2

/0

?

??-

==λλλ

λ

λ

π

λλ

π

λλ

π

λdx x m

dx x m

dx

x m x g b m

???

?????+=λ

λλλπ

λππ

202221 //)x m cos()x m cos(m )cos 1(2

ππm m -== )

,6 ,4 ,2( , 0) ,5 ,3 ,1( , 4

==m m m π ??

????+++= )25sin(51)23sin(31)2sin(4)(x x x x g λπλπλππ

λππ2 )5sin(51)3sin(31)sin(4=??

????+++=

k kx kx kx 其中 2、试计算如图所示函数的傅里叶变换。

E 0 , d x <<0

解：

()f x = E 0 , 0<<-x d

0 x 为其它值

2 2 2 000

()()d

i f x

i f x

i f x d

G f f x e

dx E e

dx E e dx πππ+∞----∞

-==-+?

??

dx e E dx e E d x ik d

x

ik ??---+-=0

00

[]

[][]

2

20222000 0 0 00 0 02/)2/sin(2sin )2/(12)cos(14)]cos(1[2212)(2)1()1()()(??

????-=-=-=-=??

????+-=+-=---=---=

------??kd kd kd iE kd kd kd iE kd ik E kd ik E e e ik E e e ik E

e e ik E ikx d e ikx d e ik E d ik d ik d ik d ik d ik d ik d x ik d x

ik ?

?

? ??-=2c sin 220kd kd iE f (x ) x

0 E 0

?E 0

d

?d

3、一单色光源发射波长为550 nm 的等幅简谐波列，与其谱线半宽度相应的波长间隔为0.25 nm ，求此波列的长度和持续时间。 解: nm nm 0.25 , 500==λ?λ

mm .m .nm ..L 211102*********

0550362

2=?=?===-λ?λ

)s (.s

m m .c L c L 12

1

831003410310211---?=???==?=ττ 4、氦?氖激光器发出632.8 nm 的光波，其?λ=1×10-7 nm ，氪灯的橙色谱线波长λ=605.7 nm，?λ=4.7×10-4nm 试分别求其波列的长度。

解: nm , nm .Ne He Ne He 7

1018632---?==λ?λ

nm nm k k 4107.4 , 7.605-?==λ?λ

m nm .L Ne He Ne He Ne

He 3127

2

210410410

18632?=?=?==----λ?λ m .nm ...L k k

k 78101081710

74760584

22=?=?==-λ?λ 5、试指出波函数cos()cos()2

x y E E t kz i E t kz j π

ωω=-+--

表示的偏振态。

解: 0<<-δπ为左旋，πδ<<0为右旋；2

π

δ±

=为正椭圆

∵02

<-=-=π

??δx y

∴ 若y x

E E ≠则该波表示左旋正椭圆偏振态

若y x E E =，则该波表示左旋圆偏振态。

6、试写出下列圆频率为ω、沿z 轴以波速c 传播的偏振光波函数：(1)振动面与x 轴成45o角，振幅为A 的平面偏振光；(2) 振动面与x 轴成120°角，振幅为A 的平面偏振光；(3)右旋圆偏振光；(4)长轴在x 轴上、长轴为短轴两倍的右旋椭圆偏振光。

解：设E x 的初相为

= 0

(1) ∵ 平面偏振光的光矢量在第一、三象限， ∴ 0=-=x y ??δ ∵ A A A A ，A A y x 2

245sin 2245cos =?==

?= ∴ 波函数为 )](cos[22 )](cos[22c

z t A E ，c z t A E y x -=-=ωω 或 22cos[()]cos[()]22z z

E A t i A t j c c

ωω=

-+- (2) ∵ 平面偏振光的光矢量在第二、四象限， ∴ π??δ=-=x y

∵ A A A A ，A A y x 2

3

120sin 21120cos =?==

?= ∴ 波函数为 ])(cos[23 )](cos[21πωω+-=-=

c

z t A E ，c z t A E y x 或 13cos[()]cos[()]22z z

E A t i A t j c c

ωω=

--- (3)对右旋圆偏振光有2

π

??δ=

-=x y ，A A A y x ==

∴ 波函数为 ]2

)(cos[ )](cos[π

ωω+-=-=c z t A E ，c z t A E y

x 或 cos[()]sin[()]z z

E A t i A t j c c

ωω=---

(3)对右旋正椭圆偏振光有2

π

??δ=

-=x y ，且A A A y x 22==

∴ 波函数为 ]2

)(cos[ )](cos[2π

ωω+-=-=c

z t A E ，

c z

t A E y x

或

2cos[()]sin[()]z z

E A t i A t j c c

ωω=---

第三章 习题4

1、计算光波垂直入射到折射率为n =1.33的湖水表面的反射光强和入射光强之比.

解：02.033.233.0112

2111111=??

? ??=??? ??+-=='='='n n R W W I I I I σσ 2、计算光波从水中(n 1 =1.33)垂直入射到玻璃(n 2 =1.5)表面时的反射率。

解：002

22

12

1236.083.217.033.15.133.15.1=??? ??=??? ??+-=???? ??+-=n n n n R

3、利用布儒斯特定律，可以测定不透明电介质的折射率。若在空气中测得釉质的起偏角为57.9°，求它的折射率。

解: ?=9.57B

i , 00.11=n

由 1

2

tan n n i B =

得 59.19.57tan tan 12=?==B i n n 4、若光在某种介质中的全反射临界角为45°，求光从空气射到该介质界面时的布儒斯特角。

解: (1) 1 , 21==n n n 由n

n n i C

1

sin 12=

=得 245sin 1sin 1=?==C i n