试题河南省河南大学附属中学2020至2021学年高二下学期期末考试试题数学

河南省河南大学附属中学2020-2021学年高二第二学期期末

考试试题数学（文）

一.选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.

1.命题“R x ∈?0，012

030>+-x x ”的否定是( )

A ．R x ∈?， 0123≤+-x x

B ．R x ∈?0，012030

<+-x x C ．R x ∈?0，012

030

≤+-x x D ．R x ∈?，0123>+-x x 2.已知p ：14x +≤，q ：2

56x x <-，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 3.设i R y x ,,∈为虚数单位，且

,2143i yi

x i

+=++则yi x Z +=的共轭复数在复平面内对应的点在( )

A ．第一象限

B .第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 4.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )

A ．3

y x =

B ．||1y x =+

C ．21y x =-+

D ．||

2

x y -=

5. 若函数)

)(12()(a x x x

x f -+=

为奇函数，则=a ( )

A ．

21 B ．32

C ．

4

3

D ．1 6. 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22

++2-4=0的圆心, 则=a ( )

A ．-1

B ． 1

C ． 3

D ． -3

7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左顶点与抛物线2

2(0)y px p =>的焦点的距离

为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的

焦距为( )

A ．

B ．

C ．

D ．8.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n 天的维修保养费为

(*)10

4.9n n ∈+N 元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用

的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了( )

A.600天

B.800天

C.1000天

D.1200天

9.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,

n a n >=，且25252(3)n

n a a n -?=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -+++=( )

A ．(21)n n -

B ．2(1)n + C. 2

n D. 2

(1)n -

10.已知函数2

()1,()43,x

f x e

g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ．[22,22]-+ B ．(22,22)-+ C. [1,3] D. (1,3)

11.函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( )

A ．（1-，1）

B ．（1-，+∞） C.（∞-，1-） D.（∞-，+∞）

12．对实数a b 和，定义运算“?”：,1,

, 1.

a a

b a b b a b -≤??=?

->?设函数

2()(2)(1),f x x x x R =-?-∈.若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )

A ．(1,1](2,)-?+∞

B ．(2,1](1,2]--?

C ．(,2)(1,2]-∞-?

D ．[-2，-1]

二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

13．已知函数1,0

()(1)(2),0.

x e x f x f f x x ?-≥=-?

+

=

若CE 与圆相切，则CE 的长为__________

15.若不等式x

x a 1

12+

≤-对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围 16．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k , 对定义域中的任意

x ，等式()f kx ＝2

k ＋()f x 恒成立．现有两个函数()()0f x ax b a =+≠，()2log g x x =，

则函数()f x 、()g x 与集合M 的关系为

三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

设函数()|1||2|f x x x a =++-+． （Ⅰ）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；

（Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，试求实数a 的取值范围．

18.（本小题满分12分）

由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n 的值；

（Ⅱ）在持 “不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；

19．（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令n b =

2

1

1

n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20.（本小题满分12分）

已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，AC ∥DE ，AC 与BD 相交于H 点

（Ⅰ）求证：BD 平分∠ABC

（Ⅱ）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长

21.（本小题满分12分）

已知直线10x y +-=与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上

的一点，AM BM =-，且点M 在直线1

:2

l y x =上, （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆2

2

1x y +=上，求椭圆的方程 22.（本小题满分12分）

已知函数 2

1()ln (1)2

f x x m x m x =

-+-，m ∈R ． （Ⅰ）当 2m = 时，求函数 ()f x 的最小值； （Ⅱ）当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性；

（Ⅲ）求证：当 2m =-时，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有

2121

()()

1f x f x x x ->--．

河南省河南大学附属中学2020-2021学年高二第二学期期末

考试试题数学（文）答案

三、解答题本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 解:（Ⅰ）由题设知：0

5

|2

|

|1

|≥

-

-

+

+x

x得定义域为(,2][3,)

-∞-+∞

（Ⅱ）由题设知，当R

x∈时，恒有

即a

x

x-

≥

-

+

+|2

|

|1

|

又3

|2

|

|1

|≥

-

+

+x

x∴3

a

-≤，故3-

≥

a.…

18.100

n=（Ⅱ）设所选取的人中，有m人20岁以下，则

200

2003005

m

=

+

，解得2

m=

也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，

则从中任取2人的所有基本事件为(A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，

所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为

7

10

.

19.（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d，因为37

a=，

57

26

a a

+=，所以有

1

1

27

21026

a d

a d

+=

?

?

+=

?

，解得

1

3,2

a d

==，

所以321)=2n+1

n

a n

=+-

（；

n

S=

n(n-1)

3n+2

2

?=2n+2n

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1

n

a=，所以

n

b=

2

1

1

n

a-

=

2

1

=

2n+1)1

-

（

11

4n(n+1)

?=

111

(-)

4n n+1

?，

所以

n

T=

111111

(1-+++-)

4223n n+1

?-=

11

(1-)=

4n+1

?

n

4(n+1)

，

|2

|

|1

|≥

+

-

+

+a

x

x

即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

20.（1）ACD CDE AC DE ∠=∠∴,// 又DE 切圆O 于点D ，

CBD CDE ∠=∠∴

CBD ACD ∠=∠∴

而ABD ACD ∠=∠（同弧） ABD CBD ∠=∠∴

所以，BD 平分∠ABC

（2）由（1）知ABD CBD ∠=∠，又CAD CBD ∠=∠ ，CAD ABD ∠=∠∴

又ADH ∠ 为公共角，所以DBA ?与DAH ?相似

BD

AD

AB AH =

∴

，因为AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，所以AH=3 21. （ I ）由AM BM =-知M 是AB 的中点，

由2222101x y x y a b

+-=???+=?? 得：2222222()20a b x a x a a b +-+-=

22121212222222,()2a b x x y y x x a b a b +=+=-++=++ M ∴点的坐标为22

2

222(,)a b a b a b ++又M 点的直线l 上： 22

2

222

20a b a b a b ∴-=++22222222()2a b a c a c ∴==-∴= 2

2c e a ∴=

=

(另外还可以用点差法)

（2）由（1）知b c =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b ，设(,0)F b 关于直线 1

:2

l y x =的对称点为00(,)x y ，

则有000001122022

y x b x b y -??=-?-??+?-?=?? 解得：00

3545x b y b ?=????=??

由已知22001x y +=， 22

34()()155

b b ∴+=， 21b ∴=

所求的椭圆的方程为2

212

x y +=

22.解：显然函数

()f x 的定义域为()0,+∞，当22(1)(2)

2,()x x x x m f x x x

+--+'==

=时∴ 当()0,1,()0x f x '∈<时，()1,,()0x f x '∈+∞>．∴()f x 在1x =时取得最小值，其最小值为 (1)f =

3

2

（Ⅱ）∵2(1)(1)()

()(1)m x m x m x x m f x x m x x x

+---+'=-+-==，

∴（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；

(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数．

（2）当1-时为增函数；

()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；(),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数．

（3）当1-=m 时，0)(>'x f 在()+∞,0恒成立，即在()+∞,0为增函数 （Ⅲ）不妨设120x x <<，要证明2121

()()

1f x f x x x ->--，即证明：()()2211

f x x f x x +>+当2m =-时，函数2

1()2ln 32

f x x x x =

+-．