高中数学经典例题、错题详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（）

%

M N

A M N

B

M N

C

M N

D

映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射。

函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：

函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。

映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。

映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射

方向性

上题答案应选 C

【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。

本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。

[

【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素

【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1

【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）

【分析】 如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则集合A 到集合B 的映射共有 n m 个；集合B 到集合A 的映射共有 m n 个，所以答案为23=9；32=8 【例4】 若函数f(x)为奇函数，且当x ﹥0时，f(x)=x-1,则当x ﹤0时，有（ ） A 、f(x) ﹥0 B 、f(x) ﹤0 C 、f(x)·f(-x)≤0 D 、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质：

1、图象关于原点对称；

2、满足f(-x) = - f(x) ；

3、关于原点对称的区间上单调性一致；

4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） `

偶函数性质：

1、 图象关于y 轴对称；

2、满足f(-x) = f(x) ；

3、关于原点对称的区间上单调性相反；

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 基本性质：

唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x ，f(x)=0)。 通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2。 两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。 两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。 两个偶函数的乘积为一个偶函数。 两个奇函数的乘积为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。 ·

两个偶函数的商为一个偶函数。 两个奇函数的商为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。 一个偶函数的导数为一个奇函数。 一个奇函数的导数为一个偶函数。

两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数

【分析】 f(x)为奇函数，则f(-x) = -f(x)，

当X ﹤0时，f(x) = -f(-x) = -[-(-x) – 1] = -x+1>0,所以A 正确，B 错误； f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C 错误；

~

f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）﹤0,故D 错误

【例5】 已知函数f(x)是偶函数，且x ≤0时，f(x)=

x

x

-+11，求：（1）f(5)的值； （2）f(x)=0时x 的值；（3）当x ＞0时，f(x)的解析式

【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用 【分析及解答】

（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)= f(-x)，可得f(5)= f(-5)=

）（）（5--15-1+=—3

2

（2）当x ≤0时，f(x)=0 可求x ，然后结合f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的x ， 即当x ≤0时，

x

x

-+11=0 可得x=—1；又f(1)= f(-1)，所以当f(x)=0时，x=±1 （3）当x ＞0时，根据偶函数性质f(x)= f(-x)=

)(1)(1x x ---+=x

x

+-11

…

【例6】 若

f(x)=e x +ae -x 为偶函数，则

f(x-1)＜e

e 12+的解集为（ ）

A.（2，+∞）

B.（0,2）

C.（-∞，2）

D.（-∞，0）∪（2，+∞） 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析及解答】

根据函数奇偶性的性质先求出a 值，结合函数单调性的性质求解即可 ∵f(x)=e x +ae -x 为偶函数，∴f(-x)=e -x +ae x = f(x)= e x +ae -x ，∴a=1，

∴f(x)=e x +e -x 在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，

则由f(x-1)＜e

e 1

2+=e+e 1， ∴ -1 ＜x-1＜1， 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确

【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键

"

【例7】 函数f(x)=

2

1x

b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21

)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0

【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用 【分析及解答】

（1） 因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，

由f(21)=52，所以2

)2

1(121+a

=52，得出a=1，所以f(x)= 2

1x x + （2） 根据函数单调性的定义即可证明

任取-1 ＜x 1＜x 2＜1，f(x 1)—f(x 2)=

2

1

11x x +—

2

2

21x x +=

)

1)(1()1)((2

22

12121x x x x x x ++--

因为-1 ＜x 1＜x 2＜1，所以x 1-x 2＜0，1—x 1x 2＞0，所以f(x 1)—f(x 2) ＜0， 得出f(x 1) ＜f(x 2)，即f(x)在(-1,1)上为增函数

（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”，再考虑到定义域可得一

不等式组，解出即可：f(2x-1)+ f(x)= ＜0，f(2x-1) ＜—f(x)，由于f(x)为奇函数，

所以f(2x-1) ＜f(—x)，因为f(x)在(-1,1)上为增函数，所以2x-1＜—x ○1， 因为-1 ＜

2x-1＜1○2，-1 ＜x ＜1○3，联立○

1○2○3得 0 ＜ x ＜3

1

，所以解不等式f(2x-1)+ f(x)

＜0的解集为（0，

3

1） —

【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。

【例8】 定义在R 上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数， 又f(-3)=0，则不等式x f(x) ＜0的解集为（ ）

【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用

【分析及解答】 易判断f(x)在（-∞，0）上的单调性及f(x)图像所过特殊点，作出f(x)草图，根据图像可解不等式。

解：∵ f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴ f(x)在（-∞，0）上也

是增函数，由f(-3)=0，可得- f(3)=0，即f(3)=0，由f(-0)=-f(0)，得f(0)=0 作出f(x)的草图，如图所示：

由图像得：x f(x) ＜0??????0)(0x f x 或?

????0)(0

x f x ?

0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0，

∴ x f(x) ＜0的解集为：（-3，0）∪（0，3），故答案为：（-3，0）∪（0，3）

【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键。

—

【例9】 已知f （x+1）的定义域为[-2,3]，则f （2x+1）的定义域为（ ） 抽象函数定义域求法总结：（1）函数y=f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求f （x ）的定义域：利用a ＜x ＜b ，求得g （x ）的范围就是f （x ）的定义域；（2）函数y=f （x ）的定义域是（a ，b ），求y=f[g(x)]的定义域：利用a ＜g(x)＜b ，求得x 的范围就是y=f[g(x)]的定义域。 【考点】 函数定义域极其求法

【分析及解答】 由f （x+1）的定义域为[-2,3]，求出 f （x ）的定义域，再由2x+1在函数f （x ）的定义域内求解x 的取值集合，得到函数f （2x+1）的定义域。 解：由f （x+1）的定义域是[-2,3]，得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4 ?0≤x ≤2

5 ∴ f （2x+1）的定义域是[0，

2

5

]，故选A

【点评】本题考查了复合函数定义域的求法，给出函数f[g(x)]的定义域是（a，b），求函数f（x）的定义域，就是求x∈（a，b）内的g(x)的值域；给出函数f（x）的定义域是（a，b），只需由a＜g(x) ＜b，求解x的取值集合即可。

【例10】已知函数f(x)=x7+ax5+bx-5，且f(-3)= 5，则f(3)= （）~

A. -15

B. 15

【考点】函数的值；奇函数

【分析及解答】令g(x)= x75

解法2：F(x)=a f(x)+b g(x)+2是由G(x)=a f(x)+b g(x)向上平移2个单位得到，由题意G(x)=a f(x)+b g(x)在（-∞，0），（0，+∞）上是奇函数，在（0，+∞）上有最大值3，那么在（-∞，0）上有最小值-3，那么F(x)=a ·f(x)+b ·g(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1. 【例14】对于每个实数x ，设f(x)取y=x+1，y=2x+1，y=-

2

1

x 三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出f(x)的解析式，求出f(x)的最小值为（ ）

【例15】已知函数f(x)=x 2+ax+3，（1）当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围；（2）当x ∈[-2,2]时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围 解（2）函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a ／2，依题意得

①当-a ／2≤-2时，当x ∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(-2)=4-2a+3≥a ，无解 ②当-2＜-a ／2＜2，当x ∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(-a ／2)≥a ，得-4＜a ≤2 ③当-a ／2≥2时，当x ∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(2)=4+2a+3≥a ，得-7≤a ≤-4 综上所述得：-7≤a ≤2 解法2：

同样，若函数)(x f y =在区间（a ，b ）上有零点，且有)()(b f a f ?<0，函数的零点个数是否唯一呢答案是否定的，不一定唯一，零点个数唯一存在的条件：

??

?

???=??=单调连续)(0)()()(x f y b f a f x f y 函数)(x f y =在（a ，b ）内存在唯一零点 【例题】求函数)(x f =lnx+2x —6的零点个数。

解：用计算器或计算机作出x ，f(x)的对应表值（下表）和图象

解：由题意方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1=-1/3，x 2=2即??

??

?

-

==?=-=+32

352121a c x x a b x x 不等式cx 2+bx+a<0，转化为x 2+(b/c)x+c/a<0，即x 2+5/2x-3/2<0，解得方程x 2+5/2x-3/2=0的

两个根为x 1=-3,x 2=1/2），因为x 2+(b/c)x+c/a<0，则解集为（-3,1/2） 13、不等式ax 2+bx+c>0的解集为（-3,4），求b x 2+2ax-c-3b<0的解集

14、关于x 的不等式（1+m ）x 2+mx+m

·

15、函数bx ax x f +=2

)( （a ≠0）满足f(-3)=2，则f （3）的值为（ ）

16、函数14--)(2+=x x x f （-3≦x ≦3）的值域是（ ） 解:14--)(2

+=x x x f =—（x+2）2+5 （-3≦x ≦3） 当x=-2时，函数最大值为5，当x=3时函数有最小值为-20

17、偶函数f(x)的定义域[-5,5]，其在[0,5]的图象如图所示，则f(x)的解集为（ ） 本题考查偶函数的性质，函数的单调性及应用和不等式的解法，数形结合思想. 当时，函数图像如图，由图知：只有当

时，函数

的图像在x 轴

上方，即时，因为函数

收偶函数，偶函数的图像关于y 轴对

称，所以

时，函数

的图像在x 轴上方时，只有

则不等式

的解集为

故选D

18、如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]行单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）≦-3 ≧-3 ≦5 ≧5

25、已知函数f(x)=x7+ax5+bx-5,则f(3)=( )

26、若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（）

%

A.(-∞,0]

B.[40，64]

C.(- ∞,40]∪[64，+∞)

D.(64,+ ∞)

27、已知二次函数f(x)=x2+x+a(a>0)，若f(m)<0,则f(m+1)的值为（）

A.正数

B.负数

C.零

D.符号与a有关

28、函数f(x)=∣x2-2x∣-m有两个零点，m的取值范围__________

29、已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)=af(x)+bg(x)+2,在区间（0，+∞）有最大值5，那么h(x)在区间（0，+∞）的最小值为________

30、对于每个实数x，设f(x)取y=x+1,y=2x+1,y=-2x三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出f(x)的解析式，求出f(x)的最小值

由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A(0,1) ；由方程组y=x+1,y=-2x,解得

x=-1/3,y=2/3,得到交点B(-1/3,2/3) ；由方程组y=2x+1,y=-2x,解得x=-1/4,y=1/2,得到交点C(-1/4,1/2). 由图像容易看出：

1）x＜-1/3时，三直线的最大值是y=-2x,所以在此时f(x)=-2x;

2)-1/3≤x≤0时，三直线的最大值是y=x+1,所以此时的f(x)=x+1;

3)x＞0时，三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的f(x)=2x+1.

所以f(x) =-2x；(x＜-1/3) ,x+1；(-1/3≤x≤0) ,2x+1. (x＞0)

1)考察函数的图像（由射线—线段—射线组成的折

线）可以看出函数的最小值是x=1/3时的y=2/3.

31、已知函数f(x)=x2+ax+3，（1）当X∈R时，f(x)

≧a恒成立，求a的取值范围；（2）当X∈[-2,2]

时，f(x)≧a恒成立，求a的取值范围；（3）若对

一切a∈[-3，3]，不等式f（x）≥a恒成立，那么

实数x的取值范围是什么

1）f（x）≥a即x2+ax+3-a≥0，要使x∈R时，x2+ax+3-a

≥0恒成立，

应有△=a2-4（3-a）≤0，即a2+4a-12≤0，解得-6≤a≤2；

（2）当x∈[-2，2]时，令g（x）=x2+ax+3-a，当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，

转化为g（x）min≥a，

分以下三种情况讨论：

①当-a/2≤-2，即a ≥4时，g （x ）在[-2，2]上是增函数，

∴g （x ）在[-2，2]上的最小值为g （-2）=7-3a ，∴a ≤4 7-3a ≥0,解得a 无解

②当-a/2≥-2，即a ≤4时，g （x ）在[-2，2]上是递减函数， ∴g （x ）在[-2，2]上的最小值为g （2）=7+a ， ∴a ≤-4 7+a ≥0 解得-7≤a ≤-4

（3）不等式f （x ）≥a 即x 2+ax+3-a ≥0．令h(a)=(x-1)a+x 2+3，要使h(a) ≥0在[-3,3]上恒

成立，只需???≥≥-0)3(0)3(h h 即???≥+≥+-0

30632x x x x 解得：x ≥0或x ≤-3