再论关于高中物理中黑洞问题计算

关于高中物理黑洞问题的计算

杨国平

（云大附中星耀校区组邮编650231）

【摘要】在实际的物理教学中，从高一开始讲授《万有量定律》时就遇到了黑洞的计算问题，进入高三开始复习时也遇到了类似估算问题。本文就高中物理中黑洞的临界半径、最大质量、最小质量和黑洞的一般质量的计算进行了归纳分析，希望同行指正。

【关键词】黑洞，临界半径，最大质量，最小质量

【正文】

一、黑洞形成条件浅解

1、星球形成黑洞的临界条件

设物体在星球附近的速度为v，质量为m，物体静止时的质量为m

，运动质量为

m m

=，当物体运动的速度达到或接近光速时，物体在星球附近的动能为：E k=mc2-

m 0c2=mc2- m

2

2

1

c

v

-c2，物体在星球附近的势能为：E p = -

M

G m

r

；物体要脱离该星球动能的减

少为ΔΕ

k = mc2- m

2

2

1

c

v

-c2，势能的增加ΔΕp=

M

G m

r

，要使物体不脱离该星球应满足的条

件是：ΔΕ

k ＜ΔΕ

p

，即mc2-m

2

2

1

c

v

-c2＜

M

G m

r

当v=c时，得mc2＜

M

G m

r

，即星球形成黑洞的临界条件为r=

2、黑洞的临界半径（最大半径）

（2003年高考科研试题）关于黑洞有如下一种假说：当某一定质量的类星体的半径减至足够小时，引力非常大，由于光也受引力作用，强大的引力可以使此类星体表面以光速c传播的光线都射不出去（已知任何物体的速度都不会超过光速），这一星体就可能成为黑洞。

已知质量为m 的粒子在质量为M 的星球附近的引力势能为r

GMm

-

，式中G 为万有引力恒量，r 为粒子与星球球心的距离，试估算质量为M 的均匀星球成为黑洞时的最大半径R 。

原解：将光子看成一质量为m 的小球，当光线无法射出时，光子的动能E k 必小于或等于光子的势能E p ，即

E k ≤

r GMm

……（1） E k =221mv =22

1

mc (2)

从（1）（2）可得r ≤22c GM

即该星体能成为黑洞的最大半径R=

2

2c GM

。 这就是物理学上一般说的黑洞半径，是指它的引力半径，或称史瓦西半径，也称为黑洞的视界半径。它并不等于黑洞的真实表面，而只表示视线无法进入的范围而已。这样的黑洞又称史瓦西黑洞，是一种不旋转的黑洞，呈正球体，中心有奇点。以下研究的黑洞都是指史瓦西黑洞。

上述史瓦西半径的退证过程，有两个错误，一是光子的动能不能是221

mc ，而应该是2mc ；

二是描述引力的不应该是万有引力，而应该是广义相对论。

修正解法：光子在星球附近的动能E k =h v ，势能E P =r

GMm

-，当光线无法射出时，光子的动能的减少必小于或等于光子的势能的增加，即h v ≤r

GMm

……（1） 根据爱因斯坦质能方程可求得光子的质量 m=2c

hv

……（2） 从（1）（2）可得r ≤

2c GM ，即星球能成为黑洞的最大半径R=2c

GM

。 3、临界黑洞的密度和临界黑洞的最小质量

依据上面修正以后的临界黑洞的半径R=

2c

GM

来看，所有半径尺度和质量大小的黑洞的存在是可能的。设一质量为M ，半径R 的黑洞，它的密度为

ρ=3M

4V R 3M π=，所以ρ=633326

M 3C 4G M 4G M 3C ππ=

临界黑洞的密度公式说明，它的密度与质量的平方成反比，即质量越小的黑洞它的密度越大。依据史瓦西半径公式知道黑洞的质量与半径成正比，临界黑洞为半径最大的黑洞，所以临界黑洞的质量也为最大，所以，临界黑洞的密度最小。

到目前为止认为除黑洞以外的所有星球所能达到的最大密度，就是中子星的密度，

18

3

10kg /m ρ=中。所以，当临界黑洞的最大密度为中子星密度时，由M =知，临界

黑洞质量的最小值为min M =

4、估算黑洞的最大质量

当恒星经过新星或超新星爆发，坍缩最后形成黑洞奇点时，体积趋于零，密度趋于无穷大。而我们目前估算的是按史瓦西半径所确定的黑洞区域，不论是最小质量，还是最大质量的估算都是基于这一区域，而对于史瓦西半径之内黑洞的具体情况，目前仍然在探索当中。估算时，将黑洞都看成史瓦西黑洞，黑洞半径取临界半径，临界黑洞的最大密度都取中子星的密度。

由M=ρV 得，34

M r 3

πρ=，当临界黑洞的密度达最大值时，黑洞的质量也为最大，已知

临界黑洞的最大密度为中子星的密度18310kg /m ρ=中，所以，黑洞的最大质量为

3max 4

M R 3

πρ=中

二、实例分析：

（魏家林主编的《2006物理高考难分训练卷》6—《万有引力定律》第21题）“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，其密度极大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面也将被吸入，最多恰能沿黑洞表面做圆周运动。1997年8月26日，在日本举行的一次国际学术大会上，德国的Maxplanck 学会的一个研究小组宣布了他们的研究成果：根据天文观测，银河系中可能有一个黑洞，观察到距该黑洞6×1012m 远的星体正以2×106m/s 的速度绕其旋转，因黑洞引

力极大，其中原子的核外电子全部被吸入核内，质子变为中子（中子的质量为1.66×10-27kg ，半径1.0×10-15m ）,且中子紧密排列。试估算该黑洞的最大半径和最大质量。

分析及解答：若质量为m 的光子以光速c=3×108m/s 运动到黑洞表面，最多恰能沿黑洞表面做圆周运动，则有：

22Mm c G m R R ≥,可知2GM R C

≤

若质量为m 1的星体绕黑洞旋转，则有：

2

2112Mm v G =m GM rv r r

=，得

所以，2

2rv R C

≤，将r=6×1012m,v=2×106m/s,c=3×108 m/s 代入得：

8R 2.710m ≤?。所以该黑洞的最大半径为8R=2.710m ?。

近似认为该黑洞的半径就是最大半径，最大密度就是中子星的密度，

因为2715m 1.6610kg r 1.010m --=?=?中中，，而33

max 44M R m r 33

ρπρπ==中中中中，

333

43max

33m 44R M R R m 4.4810kg 433r r 3

ρπππ===≈?中中中中中

将以上实例拓展估算黑洞的质量： （1）试估算该黑洞的最小质量

由前面已得出的结论M =，当式中密度为中子星密度时，黑洞质量为最小值。

所以，31

min M 3.8510kg =

≈? （2）试估算该黑洞的质量

1）若质量为m 的光子以光速c=3×108m/s 运动到黑洞表面，最多恰能沿黑洞表面做圆周运动，则有：

22Mm c G

=m R R ,可知()2

882

3511

2.710310RC

M= 3.610kg G

6.6710

-???=

≈??

2）若质量为m 1，距黑洞为r 的星体以速度v 绕黑洞旋转，则有：

22126235

11211

Mm v rv 6.010(2.010)G =m M 3.610kg r G r 6.6710

-???==≈??，得 可以看出，天体形成黑洞后，其质量应在max min M M M ≥≥之间，即在

43314.4810kg M 3.8510kg ?≥≥?之间。所以在实例拓展中估算黑洞质量（2）中的两种方法，

笔者认为应该是正确的。

【主要参考文献】

1、《高中物理》教材第一册，人民教育出版社，2003年6月第一版。

2、《物理教师》2003年第11期、2004年第5期。

3、魏家林主编《2006高考那分训练卷—物理》，2006年7月第二次修订，第二次印刷。

4、爱因斯坦和霍金关于黑洞形成的理论。

5、《改变世界的物理学》，复旦大学出版社。

6、《20世纪物理学概观》，上海科技教育出版社。

7、史蒂芬·霍金《从大爆炸到黑洞》。

8、赵峥著《黑洞的热性质与时空奇异性》，北京市法大学出版社，1999年9月第一版。