复变函数之美

复变之美

摘要：首先回顾一下整体复变函数的框架，然后结合自己的认识浅谈一下复变之美。

关键词：复变函数之美简洁对称技巧实用

正文：

经过本学期的学习，我对复变函数的基本思想和方法有了一定的认识。当然，自己水平有限，对相关知识并没有完全掌握。下面就根据一些资料和掌握的知识，简要的描述我眼中复变函数之美。

首先，简要地描述复变函数。复变函数，顾名思义，就是复数的函数，同实变函数一样，都是数学的一个分支。这门课，连同大一学习的高等数学、线性代数一样，都是我们将来学习解决工程问题的基础工具。虽然现在，有很多知识，我们并不清楚它在实际问题中有怎样的应用，可能是由于复变函数比较抽象，在实际的生活中找不到与之相对应的模型，这也是其比较难学的原因之一吧。不过，谈到复变之美，我想每一个学习复变的人都会有很深刻的理解。当然，它也具有同实变函数一样的严谨、缜密，除此之外，我觉得它更具有一种神秘感，一种貌似不存在的理论的美。复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n 此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面，但是，复变的应用却十分普遍。它以其独特的美感，震撼着我们。接下来，我想分几个方面介绍复变之美：

一、简洁之美：

简洁性是数学美的特征之值，当然复变函数也具有这种特征。这种简洁的理论表达形式最能给人以美的享受。一个如此复杂的理论体系居然可以用几种简单的符号予以诠释，这难道不是一种美吗？如果一个复变函数的定理，其理论结构十分繁琐和累赘，以致使人难以看下去，那么，即使这个理论能够解决很多问题，也难免使人厌烦，从而大为逊色。下面我就举两个例子吧：首先就说一下复数的基本表示形式。大家见到复数的形式，一般有四种：代数形式、几何形式、向量表示、三角形式、指数形式。本来复数是一个比较复杂的概念，需要引入虚部，在进一步的对复数进行说明。在描述一个或几个复数时整个过程不免会就会显得繁琐、啰嗦。于是，数学家就沿用实数的一些方法去描述复数，直接用四种不同的形式描述，即，a+ib（代数形式），op=（x，y），平面坐标系下的坐标（x，y），Z（cosθ+isinθ），以及ze iθ。据此，复变函数的简洁性是其基本特征之一。当然，简洁性的表现可谓是俯拾皆是。再比如，由于复变函数是高等数学中实变函数的一个拓展和延伸，在描述复变函数的一些性质时，常常把其转化为已

学过的实变函数问题去解决。如复变函数的连续与可导的概念及其判定。在复变函数中，对函数Z=U+iV，其连续的条件为：U（x，y）和V（x，y）在定义域

D内均连续。而可导的充要条件为：u(x,y)与v（x,y）在点（x,y）可微。这些都是用实变函数的性质去描述复变函数的性质。它将复变函数与实变函数联系在一起，使其成为一个整体，让我们更简洁地、更好地理解学习复变函数。

还有一点体现就是，复变函数可以作为一个描述两个变量的共同作用的效果。用他独特的简约方式描述二维复平面的现象。复变函数是作为工程实践中应用广泛的一门基础科学，它的简洁性是数学家研究数学的时候对简洁性原则的肯定和追求。复变函数的简明性使得它在应用中获得了很好的实用性，而且简明的表达使其便于记忆。当然，数学在发展过程中累积下来的知识越来越多。人类需要把这些知识一代一代得传下去，简洁和统一必然要成为数学知识的一个重要特征，所以我们也应该重视复变函数的简洁和统一。

二、对称之美：

对称，无论是在艺术还是科学中，他都是一种美学思想。复变函数，或者

说数学也不例外。它是复变以至数学发展过程中的重要美学因素。在复变函数中，这种对称之美不仅表现在单个的知识点上，也表现在各个知识面的对应之中。首先对于复数的运算：

（a+ib）*（c+id）=（c+id）*（a+ib）

这和古代文学作品中的回文现象很相似，单个的知识点的对称形式还有很多，如对于指数形式表达的复数ze iθ，其图形是以θ=2π为周期的函数，在这里就不再赘述。对于，整体知识结构的对称，是数学的一大特色。就像在学习复变函数的过程中，常常把高等数学的知识与复变函数的性质一一对应起来。

复变函数好比两个二元实变函数u=u(x,y),v=v(x,y)。至于连续性和极限，只是相当于二元的实变函数，较之一元函数条件苛刻的多。复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与△z→0的路径和方式无关。复变函数在这里又有了新的概念，就是解析函数，判断的标准即

u(x,y),v(x,y)在点（x,y）处可微，且满足柯西-黎曼方程：du/dx=dv/dy,du/dy=-dv/dx.复变函数的导数运算也与实变函数大致相同，不过指数函数（e^z=expz=e^z(cosy+isiny)）和对数函数(Lnz=ln|z|+iArgz)，以及乘幂(a^b=e^bLna) 和幂函数求解有些不同，要求注意角度的取值，不过性质仍然相同。

由于复变函数相当于二元实变函数，则积分也是。复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程

z=z(t),直接关于t的积分。这里柯西-古萨基本定理和复合闭路定理运用要娴熟，不定积分则运用原函数（牛顿-

莱布尼兹公式），柯西积分公式和高阶导数公式用于求解解析函数f(z)有很大的意义，其中高阶导数表明具有任意阶导数，这不同于可微实变函数。由此引出调和函数：二元实函数u（x，y）在区域D具有二阶连续偏导数并满足拉普拉斯方程。求解此类函数：1.偏积分法2.不定积分法3.线积分法（与路径无关）。这些计算当然还要由实变函数的基础知识来运算，可以说复变函数积分比实变函数要求严格一点，它是实变函数的延伸。

三、技巧性：

复变函数的技巧性就在有其解决问题的灵活性。一系列复杂棘手的问题，运用不同的思路、解法求解，其难易程度是显而易见的。而复变函数提供了很多种方式，但是这种技巧需要我们对知识方法相当熟悉，只有这样，遇到问题时才能选择合适的方法。在复变函数中，尤其是留数和积分变换，其灵活性最大。例如: 留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法.应用留数定理计算实变函数定积分的方法称为围道积分方法.所谓围道积分方法，概括起来说，就是不求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算.要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，定积分可化为某个沿闭路的积分.现就几个特殊类型举例说明.

（1）形如的积分

令，

，

是的有理函数；作为的函数，在上连续.当经历变程[]时，对应的z正好沿单位圆的

正向绕行一圈，在积分闭路上无奇点，则

.

（2）形如的积分

令，

[1] Q(z)比P(z)至少高两次，

[2] Q(z)在实轴上无零点，

[3] R(z)在上半平面Imz>0内的极点为，则有

.

（3）形如的积分

R(x)是真分式，在实轴上无奇点，则

，

其中.

上述都是复变函数之技巧美的具体体现。

四、实用性：

复变函数的重要性就在于它的广泛应用，即使现在我们还没有怎么接触到它的应用。从我们现有的视野来看，复数在电路的解题中，有着无可比拟的优势。在电路中引入的向量法就是复变函数应用的最明显的体现。当电路中的物理量是正弦量的时候，我们可以用电压或电流的有效值和相位来表示相应的量，从而略去了其正弦函数的表达形式，而电路中的电阻、电容和电感等元件均可用阻抗——一个复数进行表示。这种复数的应用使我们免于复杂的函数计算，同时引入了矢量图形解决电路问题的方法，使解题手段得到了扩充，解题效率大大提高。

当然，对于复变函数的应用，这仅仅是九牛一毛。不过，向量法着实让我们领略到复变函数的应用魅力。

总结：复变函数，将我们的视野拓展到一个全新的领域。不过，其中的

精髓，我并没有完全领悟，当然，也不可能完全领悟。在以后的学习中，复变函数将扮演着十分重要的角色，我们会接触到越来越多的应用，对复变函数的认识也会越来越深刻，期待复变之美，期待复变函数的震撼！