专题03 数列与集合新定义解答题专题

数列与集合新定义解答题专题

1．已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，1

12{|,

n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…．

（Ⅰ）当2q

，2n =时，用列举法表示集合T ；

（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件：

①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；

②

100

1

12020i

i a

==∑．

证明：（ⅰ）若i a A ?∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）

100

2

1

i

i a

=∑为一个定值（不必求出此定值）；

（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，

1,2,,i n =?，若n n b c <，则s t <．

2．设整数集合{}12100,,,A a a a =?，其中121001205a a a ≤<<<≤，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，

若i j A +∈，则.i j a a A +∈

（1）请写出一个满足条件的集合A ；

（2）证明：任意{}101,102,,200,x x A ∈??； （3）若100205a =，求满足条件的集合A 的个数．

3．设有限数列12:,,,()n A a a a n *???∈N ，定义集合{}

i j M a a |i j n =+<1≤≤为数列A 的伴随集合． （Ⅰ）已知有限数列:1,0,1,2P -和数列:1,3,9,27Q ．分别写出P 和Q 的伴随集合； （Ⅱ）已知有限等比数列2:2,2,,2()n A n *∈N ，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ； （Ⅲ）已知有限等差数列122019:,,,A a a a ，判断507

0,

,3100

是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由．

4．设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：

①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,

,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ?（其中1,2,

,1,1,,i k k N =-+）．

（Ⅰ）判断(1,2,

,)k a k N =能否等于1k -或

12

k

-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；

（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．

5．设数列12:,,

,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤．若对任意{3,4,

,}k n ∈，存在

正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．

（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合12345

6{1,2,3,

,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =?（任意,{1,2,,6}i j ∈，

i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．

6．已知由n （n ∈N *）个正整数构成的集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }（a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3），记S A ＝a 1+a 2+…+a n ，对于任意不大于S A 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m ． （1）求a 1，a 2的值；

（2）求证：“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()12

A n n S +=

”；

（3）若S A ＝2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时a n 的最大值．

7．设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，N a *∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b *∈N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表M *；

记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ，其中ij i j c a b =+，（i ，j =1，2，3，…）．

记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ，其中1ij i j d a b +=-（1i b ≤≤，i *∈N ，j *∈N ）．如：

1,212c a b =+，1,213d a b =-．

（1）设5a =，9b =，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；

（2）设6a =，7b =，试求ij c ，ij d 的表达式（用i ，j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表M *；

（3）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值．

8．给定数列12,,,n a a a ???．对，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++???的

最小值记为i B ，i i i d A B =-．

（1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值；

（2）设12,,,n a a a ???(4)n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >．证明：121,,,n d d d -???是等比数列． （3）设121,,,n d d d -???是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,,n a a a -???是等差数列．

9．已知数列{}n a ，记集合{

}

*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ．

（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；

（2）若2n a n =，是否存在*

,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，

说明理由．

（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，

求m 的最大值．

10．设数组1221(,,

,)n G a a a +=，2n ≥，*i a N ∈(1221)i n =+,,,，数i a 称为数组G 的元素．对于数组

G ，规定：

①数组G 中所有元素的和为1221(),n S G a a a +=+++；

②变换f ，f 将数组G 变换成数组211211

1()222n a a a f G ++++??= ???

[],[],,[]，其中[]

x 表示不超过x 的最

大整数；

③若数组1221(,,

,)n M b b b +=，则当且仅当i i a b =(1221)i n =+,,,时，G M =．

如果对数组G 中任意2n 个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组n 个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组G 具有性质P ．

（Ⅰ）已知数组(1,1,1,1,1)A =，(1,4,7,10,13)B =，计算(A)f ，()f B ，并写出数组,A B 是否具有性质P ； （Ⅱ）已知数组G 具有性质P ，证明：()f G 也具有性质P ； （Ⅲ）证明：数组G 具有性质P 的充要条件是1221n a a a +===．

11．对于正整数n ，如果(

)*

k k N

∈个整数1

2

k

a a a ?，，

，满足1

21k a a a n ≤≤≤?≤≤，

且12k a a a n ++?+=，则称数组()12k a a a ?，，，为n 的一个“正整数分拆”．记12k a a a ?，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ?，，，

，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g ． (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”；

(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ?，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值；

(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明：n n f g ≤；并求出使得等号成立的n 的值．

(注：对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ?，，

，与()12m b b b ?，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==?=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的．)

12．设数阵11

12021

22a a A a a ??

=

???

，其中11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈．设{}{}12,,,1,2,,6l S e e e =?，

其中12l e e e <<

<，l N *∈且6l ≤．定义变换k ?为“对于数阵的每一行，若其中有k 或k -，则将这一

行中每个数都乘以1-；若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”（1k e =、2e 、

、

l e ）．()0S A ?表示“将0A 经过1

e ?变换得到1A ，再将1A 经过2e ?变换得到2A 、

，以此类推，最后将1

l A -经过l e ?变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为()0S T A ．

（1）若01215A ??

= ???，写出0A 经过2?变换后得到的数阵1A ；

（2）若01336A ??

= ???

，{}1,3S =，求()0S T A 的值；

（3）对任意确定的一个数阵0A ，证明：()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-．

13．数列n A ： ()12,,

,2n a a a n ≥满足： ()11,2,,k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定

00S =．定义集合*{n E k N =∈，|k n ≤ k j S S >，0,1,

,1}j k =-．

（Ⅰ）对数列5A ： 0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合{}12,,

,(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<

<，证明： ()111,2,

,1i i k k S S i m +-<=-；

（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．

14．有限个元素组成的集合{}12,,,n A a a a =???，n *∈N ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即

()card A n =．定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为()card A A +，当

()()

12

n n card A A ++=

时，称集合A 具有性质P ． （1）{}1,4,7A =，{}2,48B =,

，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由； （2）设集合{}123,,,2020A a a a =，1232020a a a <<<且i a N *

∈(1,2,3i =)，若集合A 具有性质P ，

求123a a a ++的最大值；

（3）设集合{}12,,,n A a a a =???，其中数列{}n a 为等比数列，0i a >(1,2,,i n =???)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由．

15．给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、

、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩

下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为

()1,2,,21k m k n =+．将1m 、2m 、

、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．

（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值； （Ⅱ）若1221n x x x +≤≤

≤，当()()110i n j n -+-+≥????????，其中i 、{}1,2,

,21j n ∈+且i j ≠时，判

断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121

i j i j n x x ≤<≤+-∑

的最小值．

16．有限个元素组成的集合为{}12,,

,n A a a a =，*n N ∈，集合A 中的元素个数记为()d A ，定义

{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()()()()

12

d A d A d A A ?++=

，称

集合A 具有性质Γ．

（1）设集合{}1,,M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2） 设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+

，其中11

3

d =，数列{}n d 中的前2020项：1232020,,,,d d d d 组成的集合{}1232020,,,,d d d d 记作D ，将集合D D +中的所有元素

()*123,,,,k t t t t k N ∈从小到大排序，即123,,,,k t t t t 满足123k t t t t <<<

<，求2020t ；

（3） 己知集合{}12,,,n C c c c =，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是

否具有性质Γ，说明理由．

答 案

1．（2020·北京首都师大二附高三模拟）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，

112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…．

（Ⅰ）当2q

，2n =时，用列举法表示集合T ；

（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件：

①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；

②

100

1

12020i

i a

==∑．

证明：（ⅰ）若i a A ?∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）

100

2

1

i

i a

=∑为一个定值（不必求出此定值）；

（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，

1,2,,i n =?，若n n b c <，则s t <． 【解析】（Ⅰ）解：当2q

，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．

{}3,4,5,6T =．

（Ⅱ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，?，200}， 又1{A a =，2a ，?，100}

a M ，i a A ?∈，201i a M -∈，

必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <，201i j a a +≠矛盾．

因此有201i a A -∈．

（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-．

∴100100100

2

2

1

1

1

(201)4024040100791940i

i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．

100100

222221

1

200201(4001)

(201)122006

i i i i a a ==??++-=++??+=

∑∑，

∴100

21

1200201(4001)

(

791940)26

i i a =??+=+∑为定值．

（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++?+，112n n t b b q b q -=++?+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，?，

n ．n n a b <，

21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+?+-+-21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+?+-- 2

1

(1)(1)n n q q q q

--=-++?+-1

11(1)1n n q q q q

---=---10=-<．

s t ∴<．

【押题点】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式，数列与集合的新定义及其综合运用 2．（2020·北京西城区一模）设整数集合{}12100,,,A a a a =?，其中121001205a a a ≤<<<≤，且对于

任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈ （1）请写出一个满足条件的集合A ；

（2）证明：任意{}101,102,,200,x x A ∈??； （3）若100205a =，求满足条件的集合A 的个数． 【解析】（1）答案不唯一．如{1,2,3,,100}A =；

（2）假设存在一个0{101,102,

,200}x ∈使得0x A ∈，

令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1， 由题意，得100s a a A +∈，

由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,

,200}x ∈，x A ?．

（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，

由题意，得12100200m a a a -<<

<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，

由（2）知，100100m a b -=≤． 假设100b m >-，则1000b m -+>． 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，

因为100100100100200m b m a a --+++=≤

， 所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤

，

这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，

所以100100m a m --≤

， 又因为121001m a a a -<<

<≤，i a ∈N ，

所以(1100)i a i i m =-≤≤．

任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：

对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤． 若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，

所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈． 故集合0A 符合题意，

所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个．

【押题点】数列与集合的新定义，数列中的推理，反证法

3．（2020·北京十五中高三一模）设有限数列12:,,,()n A a a a n *???∈N ，定义集合{}

i j M a a |i j n =+<1≤≤为数列A 的伴随集合．

（Ⅰ）已知有限数列:1,0,1,2P -和数列:1,3,9,27Q ．分别写出P 和Q 的伴随集合； （Ⅱ）已知有限等比数列2:2,2,,2()n A n *∈N ，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ； （Ⅲ）已知有限等差数列122019:,,

,A a a a ，判断507

0,

,3100

是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由． 【解析】（Ⅰ）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}4,10,12,28,30,36． （Ⅱ）先证明对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+≤<≤≤<≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+≤<≤≤<≤．

当i k =且j l ≠，因为i j k l a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．

同理，当i k ≠且j l =时，也不成立．

当i k ≠且j l ≠时，不妨设i k <，因为i j k l a a a a +=+，则2222i j k l +=+，

所以1222j i k i l i ---+=+，

左边为奇数，右边为偶数，所以1222j i k i l i ---+≠+，

综上，对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+≤<≤≤<≤ 所以求集合M 中各元素之和时，每个()1i a i n ≤≤均出现1n -次， 所以()(

)

2

1222n

S n =-++

+ ()

(

)()

()

1

212112

212

n n n n +-=-=---

（Ⅲ）假设5070,

,3100

同时属于数列A 的伴随集合M ． 设数列A 的公差为()0d d ≠，则

1122330,50,37,100i j i j i j a a a a a a ?+=???+=???+=??即()()()111122133220,5022,3722,100a i j d a i j d a i j d ①②③??++-=?

?

++-=???

++-=??

②-①得，()()()

221150

-=

3i j i j d ++， ③-①得，()()()33117

-=100

i j i j d ++，

两式相除得，()()()()221133115000

=21

i j i j i j i j +-++-+，

因为*

112233,,,,,i j i j i j N ∈，

所以()()2211-5000i j i j k ++=，

()()()3311-21,0i j i j k k Z k ++=∈≠，

所以()()2211-5000i j i j ++≥． 又因为11221,,,2019i j i j ≤≤，

所以()()()()2211-20192018214034i j i j ++≤+-+=，

()()()()2211-12201820194034i j i j ++≥+-+=-，

所以()()2211-4034i j i j ++≤，与()()2211-5000i j i j ++≥矛盾，

所以5070,

,3100

不能同时属于数列A 的伴随集合M ． 【押题点】数列与集合的新定义的理解和运用，等差数列、等比数列的通项公式和求和公式的运用 4．（2020·北京西城区二模）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足

下列两个条件：

①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,

,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ?（其中1,2,

,1,1,,i k k N =-+）．

（Ⅰ）判断(1,2,

,)k a k N =能否等于1k -或

12

k

-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；

（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）k a 可以等于1k -，但k a 不能等于

12

k

-； （Ⅱ）记b a -为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =

，[]21,2I =，

，[]100

99,100I =显然满足条件①，②．

所以N 的最小值为100；

（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤． 由②，得1I 、2I 、、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100k

I ≠?．

不妨设12n a a a <<

<<

．

如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,

,i x I i N ?=．

这与题意不符，故20a >． 如果111k k a a +-+≤，那么()11k

k k I I I -+?，

这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ?（其中1i =、2、

、1k -、1k +、

、N ）”矛盾，故

111k k a a +->+．

所以4

21a a >+，6412a a >+>，

，200198199a a >+>，则2001100a +>．

故

[]()1

2

2000,100I I I ?．

若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ?=”矛盾，

所以200N ≤．

（2）给出200N =存在的例子． 令()110012199

k a k =-

+-，其中1k =、2、、200，即1a 、2a 、、200a 为等差数列，公差100

199

d =

． 由1d <，知1k k I I +≠?，则易得1

2

2001201,22I I I ??=-????

， 所以1I 、2I 、、200I 满足条件①．

又公差1001

1992

d =>， 所以

()1001199k k I -∈，()()100

11,2,,1,1,

,199

i k I i k k N -?=-+．（注：

()100

1199

k - 为区间k I 的中点对应的数） 所以1I 、2I 、

、200I 满足条件②．

综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200． 【押题点】数列与集合的综合应用，考查反证法的应用 5．（2020·北京朝阳区高三一模）设数列12:,,,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤．若

对任意{3,4,

,}k n ∈，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．

（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合12345

6{1,2,3,

,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =?（任意,{1,2,,6}i j ∈，

i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．

【解析】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ． （2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，

所以9n ≥．

若9n =，因为9200a =且982a a ≤，所以8128100a ≥≥．

同理，765436450,3225,1612.5,8 6.25,4 3.125.a a a a a ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1,2,4． 因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4,5,6,8之一，而又因为48 6.25a ≥≥， 所以48a =．

同理，有567816,32,64,128a a a a ====． 此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200．

但数列中不存在19i j ≤≤<使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n ≥．

当10n =时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A ．（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T ． 所以，n 的最小值为10．

（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,

,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -?．

否则，存在i S 满足：存在,i a b S ∈，a b <使得i b a S -∈，此时，从i S 中取出,,a b b a -： 当a b a <-时，,,a b a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，,,b a a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a =-时，,,a a b 是一个具有性质T 的数列．

（i ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<．

令集合1337{|1,2,,336}i N a a i S =-=?．

由假设，对任意1,2,

,336i =，3371i a a S -?，所以2

3

4

5

16N S S S S S ?．

（ii ）在23456,,,,S S S S S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ， 从2

1S N 中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且1268b b b <<<．

令集合628{|1,2,

,67}i N b i b S ==-?．

由假设682i b b S -?．对任意1,2,

,68k =，存在{1,2,

,336}k s ∈使得337k k s b a a =-．

所以对任意1,2,

,67i =，686868337337()()i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，

由假设681i s s a a S -?，所以681i b b S -?，所以681

2i b b S S -?，所以23456N S S S S ?．

（iii ）在3456,,,S S S S 中至少有一个集合包含2N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ， 从23

S N 中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<

<．

令集合137{|1,2,

,16}i N c c i S -==?．

由假设173i c c S -?．对任意1,2,,17k =，存在{1,2,

,67}k t ∈使得68k t k c b b =-．

所以对任意1,2,

,16i =，1717176868()()i i i t t t t c c b b b b b b -=---=-，

同样，由假设可得1712i t t b b S S -?，所以171

23i c c S S S -?，所以3456N S S S ?．

（iv ）类似地，在456,,S S S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ， 从34

S N 中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<

<，

则645

6{|1,2,

,5}i d d i S S N -?==．

（v ）同样，在56,S S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ， 从45

S N 中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<，同理可得153326{,}e e e e S N --=?．

（vi ）由假设可得2131326()()e e e e e e S -=---∈/． 同上可知，1

245123S S S e e S S -∈/，

而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾．所以假设不成立． 所以原命题得证．

【押题点】数列与集合的新定义的理解，反证法，集合的并集运算

6．（2020·北京八中高三月考）已知由n （n ∈N *）个正整数构成的集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }（a 1＜a 2＜…＜

a n ，n ≥3），记S A ＝a 1+a 2+…+a n ，对于任意不大于S A 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的

所有元素之和等于m ． （1）求a 1，a 2的值；

（2）求证：“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()12

A n n S +=

”；

（3）若S A ＝2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时a n 的最大值．

【解析】（1）由条件知1≤S A ，必有1∈A ，又a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，a 1＝1， 2≤S A ，由S A 的定义及a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，必有2∈A ，a 2＝2； （2）证明：必要性：由“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”及a 1＝1，a 2＝2， 得a i ＝i （i ＝1，2，…，n ）此时A ＝{1，2，3，…，n }满足题目要求， 从而()1

12312

A S n n n =+++

+=

+； 充分性：由条件知a 1＜a 2＜…＜a n ，且均为正整数，可得a i ≥i （i ＝1，2，3，…，n ）， 故()1

12312

A S n n n ≥++++=

+，当且仅当a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ）时，上式等号成立． 于是当()1

12

A S n n =

+时，a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ），从而a 1，a 2，…，a n 成等差数列． 所以“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()1

12

A S n n =+”；

（Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有2n -1，故当n ＝10时，210﹣1＝1023， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求．

而用11个元素的集合A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和 可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数． 因此当S A ＝2020时，n 的最小值为11．

记S 10＝a 1+a 2+…+a 10，则S 10+a 11＝2020并且S 10+1≥a 11．

事实上若S 10+1＜a 11，2020＝S 10+a 11＜2a 11，则a 11＞1010，S 10＜a 11＜1010， 所以m ＝1010时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符． 于是2020＝S 10+a 11≥2a 11﹣1，得1120212

a ≤

，*

11a N ∈，所以a 11≤1010． 当a 11＝1010时，A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意， 所以当S A ＝2020时，n 的最小值为11，此时a n 的最大值1010． 【押题点】数列与集合的新定义的理解，等差数列的性质和求和公式

7．（2020·北京密云区下学期一模）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，N a *∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b *∈N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表M *；

记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ，其中ij i j c a b =+，（i ，j =1，2，3，…）．

记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ，其中1ij i j d a b +=-（1i b ≤≤，i *∈N ，j *∈N ）．如：

1,212c a b =+，1,213d a b =-．

（1）设5a =，9b =，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；

（2）设6a =，7b =，试求ij c ，ij d 的表达式（用i ，j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表M *；

（3）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值． 【解析】（1）由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：55n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：99n b n =-， 得,(55)(99)5914i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-， 则2,650c =，396,62020c =，

得,1(55)[9(1)9]595i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--， 故2,649d =-．

（2）证明：已知6a =．7b =，由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：66n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：77n b n =-，

得,(66)(77)6713i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-，(*i N ∈，*)j N ∈．

得,1(66)[7(1)7]676i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--，17i ，*i ∈N ，*)j N ∈． 所以若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+， 若*t M ∈，则存在u N ∈，6u ，*v N ∈，使67t u v =-， 因此，对于正整数t ，考虑集合0{|6M x x t u ==-，u N ∈，6}u ， 即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}t -． 下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．

反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，

又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同，

不妨设为16t u -，2t u -，其中1u ，2u N ∈，126u u <．则这两个元素的差为7的倍数，即2112()(6)6()t u t u u u ---=-，

所以120u u -=，与12u u <矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．

即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为06t u -，06u ，0u N ∈， 则存在s Z ∈，使067t u s -=，0u N ∈，06u ，即067t u s =+，0u N ∈，s Z ∈，

由已证可知，若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+，而t M ?，所以S 为负整数， 设V s =-，则*v N ∈，且067t u v =-，0u N ∈，06u ，*v N ∈， 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ?，则*t M ∈成立．

（3）下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ?，假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈． 则对于整数t ，存在n N ∈，m N ∈，u N ∈，6u ，*v N ∈，使6767t u v n m =-=+成立， 整理，得6()7()u n m v -=+， 又因为m N ∈，*v N ∈，

所以7

()06

u n m v -=+>且u n -是7的倍数，

因为u N ∈，6u ，所以6u n -，所以矛盾，即假设不成立． 所以对于整数t ，若*t M ∈，则t M ?， 又由第二问，对于整数t M ?，则*t M ∈， 所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值， 又因为67t u v =-，u N ∈，*v N ∈，6u ， 所以(*)667129max max t M ==?-?=．

【押题点】数列与集合的新定义的理解，反证法，数列的综合应用 8．（2020·北京牛栏山一中高三月考）给定数列12,,,n a a a ???．对，该数列前i 项的最大值

记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++???的最小值记为i B ，i i i d A B =-． （1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值；

（2）设12,,,n a a a ???(4)n ≥是公比大于1的等比数列，且10a >．证明：121,,,n d d d -???是等比数列． （3）设121,,,n d d d -???是公差大于0的等差数列，且10d >，证明：121,,,n a a a -???是等差数列． 【解析】

（1）1232,3,6d d d ===．

（2）因为10a >，公比1q >，所以12,,,n a a a ???是递增数列． 因此，对，1,i i i i A a B a +==，

于是对

，1

11(1)i i i i i i d A B a a a q q -+=-=-=-．

因此，0i d ≠，且

1

i i

d q d +=()1,2,,2i n =???-，即121,,i d d d -???成等比数列． （3）设d 为121,,n d d d -???的公差． 对12i n ≤≤-，因为1,0i i B B d +≤>，

所以111i i i i i i i i A B d B d d B d A +++=+≥++>+=， 又因为{}11max ,i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=>≥． 从而121,,,n a a a -???是递增数列．因此()1,2,,1i i A a i n ==???-． 又因为111111B A d a d a =-=-<，所以1121n B a a a -<<

所以121n n B B B a -==???==． 所以1.i i i n i a A B d a d ==+=+

因此，对于1,2,,2i n =???-都有11i i i i a a d d d ++-=-=， 即121,,,n a a a -???是等差数列．

【押题点】数列的单调性、最值，等差数列、等比数列的证明 9．（2020·北京高三东城区一模）已知数列{}n a ，记集合

{

}

*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==++

+<∈N ．

（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；

（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，

说明理由．