高等数学题库

高等数学（专升本）-学习指南

一、选择题

1．函数()22ln 2z x y =+- D 】

A ．222x y +≠

B ．224x y +≠

C ．222x y +≥

D ．2224x y <+≤ 2．设)(x f 在0x x =处间断，则有【 D 】 A ．)(x f 在0x x =处一定没有意义；

B ．)0()0(0+≠-x f x f ; (即)(lim )(lim 0

0x f x f x x x x +-

→→≠)； C ．)(lim 0x f x x →不存在，或∞=→)(lim 0

x f x x ； D ．若)(x f 在0x x =处有定义，则0x x →时，)()(0x f x f -不是无穷小

3．极限22221

23lim n n n n n n →∞??++++= ??

?L 【B 】 A ．14 B ．1

2

C ．1

D ． 0

4．设2tan y x =，则dy =【 A 】

A ．22tan sec x xdx

B ．22sin cos x xdx

C ．22sec tan x xdx

D ．22cos sin x xdx 5．函数2(2)y x =-在区间[0,4]上极小值是【 D 】 A ．-1 B ．1 C ．2 D ．0

6．对于函数(),f x y 的每一个驻点()00,x y ，令()00,xx A f x y =，()00,xy B f x y =，

()00,yy C f x y =，若20AC B -<，则函数【C 】

A ．有极大值

B ．有极小值

C ．没有极值

D ．不定 7．多元函数(),f x y 在点()00,x y 处关于y 的偏导数()00,y f x y =【C 】 A ．()()00000

,,lim

x f x x y f x y x ?→+?-? B ．()()

00000,,lim x f x x y y f x y x

?→+?+?-?

C ．()()00000,,lim y f x y y f x y y ?→+?-?

D ．()()00000,,lim y f x x y y f x y y

?→+?+?-?

8．向量a 与向量b 平行，则条件：其向量积0?=a b 是【B 】 A ．充分非必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件 9．向量a 、b 垂直，则条件：向量a 、b 的数量积0?=a b 是【B 】 A ．充分非必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件

10．已知向量a 、b 、

c 两两相互垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求()()+?-=a b a b 【C 】

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8 11．下列函数中，不是基本初等函数的是【B 】

A ．1x

y e ??

= ???

B ．2ln y x =

C ．sin cos x y x =

D ．y

12．二重极限422

lim y x xy y x +→→【D 】

A ．等于0

B ．等于1

C ．等于2

1

D ．不存在 13．无穷大量减去无穷小量是【D 】

A ．无穷小量

B ．零

C ．常量

D ．未定式

14．201cos 2lim

sin 3x x

x

→-=【C 】

A ．1

B ．13

C ．29

D ．1

9

15．设(sin cos )x y e x x x =-，则'y =【D 】 A ．(sin cos )x e x x x + B ．sin x xe x

C ．(cos sin )x e x x x -

D ．(sin cos )sin x x e x x x xe x -+

16．直线1L 上的一个方向向量()1111,,m n p =s ，直线2L 上的一个方向向量

()1222,,m n p =s ，若1L 与2L 平行，则【B 】 A ．1212121m m n n p p ++= B ．

111

222m n p m n p == C ．1212120m m n n p p ++= D ．

111

222

1m n p m n p ++= 17．平面1∏上的一个方向向量()1111,,A B C =n ，平面2∏上的一个方向向量

()2222,,A B C =n ，若1∏与2∏垂直，则【C 】 A ．1212121A A B B C C ++= B ．

111

222

A B C A B C == C ．1212120A A B B C C ++= D ．

111

222

1A B C A B C ++= 18．若无穷级数1

n n u ∞

=∑收敛，而1

n n u ∞

=∑发散，则称称无穷级数1

n n u ∞

=∑【C 】

A ．发散

B ．收敛

C ．条件收敛

D ．绝对收敛 19．下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A 】 A ．2x ay = B ．22x ay =

C ．22221x y a b -=

D ．22

221x y a b

+=

20．设D 是矩形：0,0x a y b ≤≤≤≤，则D

dxdy =??【 A 】

A. ab

B. 2ab

C. ()k a b +

D. kab 21．设()1f x x =+，则()()1f f x +=【 D 】

A ．x

B ．1x +

C ．2x +

D ．3x + 22．利用变量替换x

y

v x u ==,，一定可以把方程z y z y

x z x =??+??化为新的方程【 A 】 A ．z u z u

=?? B ．z v z v =?? C ．z v z u =?? D ．z u

z

v =??

23．曲线2

x

y e =在点(0,1)处的切线斜率是【 A 】

A ．12

B ．1

2

e C ．2 D ．12e

24．2lim 3

n

n n →∞=【 A 】

A ．0

B ．

14 C ．13 D ．12 25．sin lim

x x

x

→∞=【 C 】 A ．cos x B ．tan x C ．0 D ．1

26．已知向量{}3,5,8=m ，{}2,4,7=--n ，{}5,1,4=p ，求向量43=+-a m p n 在

y 轴上的投影及在z 轴上的分量【A 】

A ．27，51

B ．25，27

C ．25，51

D ．27，25

27．向量a 与x 轴与y 轴构成等角，与z 轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是a 的方向【C 】 A ．2

π

α=，2

π

β=，4

π

γ= B ．4

π

α=

，4

π

β=

，8

π

γ= C ．4

π

α=

，4

π

β=

，2

π

γ=

D ．απ=，2

π

β=

，2

π

γ=

28．已知向量a 垂直于向量23=-+b i j k 和23=-+c i j k ，且满足于

()2710?+-=a i j k ，求a =【B 】

A ．75---i j k

B ．75i +j +k

C ．53---i j k

D ．5i +3j +k

29．若无穷级数1

n n u ∞

=∑收敛，且1

n n u ∞

=∑收敛，则称称无穷级数1

n n u ∞

=∑【D 】

A ．发散

B ．收敛

C ．条件收敛

D ．绝对收敛 30．设D 是方形域：01,01x y ≤≤≤≤，D

xyd σ=??【 D 】

A. 1

B.

12 C. 13 D. 1

4

31．若()()

1x e a

f x x x -=-，0x =为无穷间断点，1x =为可去间断点，则a =【C 】

A ．1

B ．0

C ．e

D ．1e -

32．设函数)(),(x g x f 是大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ， 则当b x a <<时，有【 A 】

A ．)()()()(x g b f b g x f >

B ．)()()()(x g a f a g x f >

C ．)()()()(b g b f x g x f >

D ．)()()()(a g a f x g x f > 33．函数函数23

5y x =+可能存在极值的点是【 B 】

A ．5x =

B ．0x =

C ．1x =

D ．不存在 34．tan 3sec y x x x =-，则'y =【 D 】 A ．tan 3sec tan x x x - B ．2tan sec x x x +

C ．2sec 3sec tan x x x x -

D ．2tan sec 3sec tan x x x x x +-

35．设1

sin y x x

=，则dy =【 C 】

A ．111(sin cos )dx x x x +

B ．111

(cos sin )dx x x x -

C ．111(sin cos )dx x x x -

D ．111

(cos sin )dx x x x

+

36．设直线34

x y y

k ==与平面293100x y z -+-=平行，则k 等于【 A 】

A. 2

B. 6

C. 8

D. 10 37．若2(,)2f x y x y =+，则'(1,0)x f =【 A 】

A. 4

B. 0

C. 2

D. 1-

38．'(,)x f x y 和'(,)y f x y 在点00(,)x y 连续是(,)f x y 在点00(,)x y 可微分的【 A 】 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 39．在xoy 面上求一个垂直于向量{}5,3,4=-a ，且与a 等长的向量b =【D 】

A ．

??? B ．???

C ．

??? D ．???

40．微分方程3dy

x

y x dx

=+的通解是【B 】 A. 34x c x + B. 32x cx + C. 32x c + D. 3

4x cx

+

二、判断题 1．

21,y y 是齐次线性方程的解，则1122C y C y +也是。（ 对 ）

2．(),y f y y '''=（不显含有x ），令y p '=，则y p '''=。（错 ） 3．对于无穷积分，有()()lim b

b

t

t f x dx f x dx -∞

→-∞=??。（对 ）

4．()f x 在0x 的邻域内可导，且()00f x '=，若：当0x x <时，()0f x '>；当0x x >时，()0f x '<。则0x 为极小值点。（错）

5．()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上有一阶导数、二阶导数，若对于

()(),,0x a b f x ''?∈<,则()f x 在[],a b 上的图形是凸的。（对） 6．二元函数222z x y =--的极大值点是()0,0。（对 ） 7．设()arctan z xy =，其中x y e =，则

dz

dx

=1。

（错） 8．设V 由01x ≤≤，01y ≤≤，01z ≤≤所确定，则v

dv =???1。（对 ）

9．函数ln ln z x y =+的定义域是(){},|0,0x y x y >>。（对 ） 10．设xy z xe =，则z

x

?=?()1xy xy e +。

（对） 11．21,

y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则1122C y C y +是方程的通解。(对)

12．齐次型微分方程

dx

x dy y ???= ???

，设x v y =，则

dx dv v y dy dy =+。(对) 13．对于瑕积分，有()()lim b

b

a t

t a

f x dx f x dx +→=??，其中a 为瑕点。(对)

14．()f x 在0x 的邻域内可导，且()00f x '=，若：当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>。则0x 为极大值点。(错)

15．设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是()f x 的内点，如果曲线)(x f y =经过点()()00,x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点()()00,x f x 为曲线的拐点。(对) 16．设D 是矩形区域(){},|01,03x y x y ≤≤≤≤，则D

dxdy =?? 1 （错 ）

17．若积分区域D 是2214x y ≤+≤，则D

dxdy =??3π。（对 ）

18．设V 是由22z x y ≥+，14z ≤≤所确定，函数()f z 在[]1,4上连续，那么

()v

f z dxdydz =

???

()14

e π

-。

（对） 19．设不全为0的实数1λ，2λ，3λ使1230a b c λλλ++=v v

v v ，则三个向量,,a b c v v v 共面。

（对）

20．二元函数()()2264z x x y y =--的极大值点是极大值()3,236f =。（对 ） 21．若*1122y C y C y y =++为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的

解，

*y 为非齐次方程的特解。(错)

22．若函数()f x 在区间[],a b 上连续，则[],a b ξ?∈，使得

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-?。(对)

23．函数()f x 在0x 点可导()()00f x f x -+''?=。(对)

24．()f x 在0x 处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠。若()00f x ''<，则0x 为极大值点。(对)

25．若()lim x a f x →=∞，则a x =为一条水平渐近线。(错) 26．设Ω表示域：2221x y z ++≤，则zdv Ω

=???1。（错）

27．微分方程x y y e '+=的通解为y =

12

x

x e ce -+。

（对）

28．设3a =v ，5b =v ，4c =v ，且满足0a b c ++=v v v v ，则a b b c c a ?+?+?=v v v v v v

6。

（错）

29．ln 2y z x x ?

?=+ ???

,则z x ?=?2412x x y x ++。（对）

30．设D 为()0,0O ，()1,0A 与()0,1B 为顶点三角形区域，(),D

f x y dxdy =??()1

,x

dx f x y dy ??。

（对）

31．若*1122y C y C y y =++为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的

解，

*y 为非齐次方程的解。

（错 ） 32．若()F x 为()f x 的一个原函数，则()()()b

a f x dx F

b F a =-?。（对 ） 33．函数可微?可导，且()()00dy f x x f x dx ''=?=。（对）

34．()f x 在0x 处二阶可导，且()00f x '=，()00f x ''≠。若()00f x ''>，则0x 为极小值点。（对）

35．若()lim x f x b →∞=，则b y =为一条铅直渐近线。（错） 36．二元函数()223z x y =++的最小值点是()0,0。（对） 37．微分方程2sin y y x ''+=的一个特解应具有的形式是()()sin cos ax b x cx d x +++。

（对） 38．设()ln z x x y =+，则2z x y ?=??()2

x

x y +（错 ） 39．微分方程22x y y y e '''-+=的通解为y =()2x x a bx e cx e ++。（对） 40．设V 由x y z k ++≤，01x ≤≤，01y ≤≤，0z ≥所确定，且7

4

v

xdxdydz =

???，则k =143

。（对 ）

三、填空题

1．若???<≤+<<-=2

0102sin 2x x x x y ，则=)2(π

y 。

2．求arcsin y x =的导数y '= 。

3．设1

arctan

y x

=，则dy = 。 4．设,23,a i k b i j k =-=++r r

r r r r r 求a b ?=r r 。

5．将函数2

()2x

f x x x

=

+-展开成x 的幂级数是 。 6．极限 。

7．求3232342

lim 753x x x x x →∞-+=+- 。

8．22

32sin lim 2cos x x x x

x x x

→∞-+=-- 。 9．设ABC ?的顶点为(3,0,2)A ,(5,3,1)B ,(0,1,3)C -，求三角形的面积是 。

10．无穷级数的和是 。

11．已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a _____，=b _____。 12．已知

y =

y '=

。

13．2

(2cos csc )x x dx -=? 。

14．求平行于z 轴，且过点()11,0,1M 和()22,1,1M -的平面方程是 。 15．无穷级数1

1

(1)!

n n n n ∞

+=+∑的收敛发散性是 。 16．30

tan sin lim

tan 3x x x

x

→-= 。

17．计算广义积分2

1

1dx x +∞-∞

=+?

。 18．设cot )cos y x x x =-，则'y = 。

19．幂级数121

1

(1)(1)(21)

n n n x n n ∞

-=-+

-∑的收敛区间是 。

20．幂级数121

1(1)(21)

n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域是 。

四、解答题

1．圆柱形罐头，高度H 与半径R 应怎样配，使同样容积下材料最省？ 2．求

()

V I xyzdV

=???，其中()V 是由平面0x =，0y =，0z =及1x y z ++=所围成

的区域。 3．求

()()

22I x y d σσ

=+??，其中()σ是圆环2222a x y b ≤+≤。

4．求二重积分

()()

22I x y d σσ

=+??，其中()σ是由2,1,0y x x y ===所围成的区域。

5．求333z x y xy =+-的极值。

五、证明题

1． 求证：当λ>1时，级数为一绝对收敛级数。

2． 求证级数：的和是1。

3．求证：级数2

11n n e

∞

-=∑发散。

4．求证：00

lim

x y x y

x y

→→+-不存在。

5．求证方程在0与1之间至少有一个实根。

高等数学（专升本）-学习指南答案

一、选择题 1．D

解：z 的定义域为：

42 0

40

2222

222≤+-+y x y x y x ，故而选D 。

2．D

解：由基本定理知D 正确。 3．B

解：有题意，设通项为：

222212112121122n

Sn n n n n n n n n n =

+++?+???=? ???????+==+L 原极限等价于：22212111

lim lim 222n n n n n n n →∞→∞????+++=+=???????

?L 4．A

解：对原式关于x 求导，并用导数乘以dx 项即可，注意三角函数求导规则。

()()22'tan tan 2tan 2tan sec y x d x x

dx

x x

'===

所以，

22tan sec dy

x x dx

=，即22tan sec dy x xdx =

5．D

解：对y 关于x 求一阶导，并令其为0，得到()220x -=； 解得x 有驻点：x=2，代入原方程验证0为其极小值点。 6．C

解：由多元函数极值的性质得到C 7．C

解：由多元函数偏微分的基本定义得到C 8．B

解：由向量积的基本定义及计算性质得到B 9．B

解：由基本定义及概念得到B 10．C

解：因为向量a 与b 垂直，所以()sin ,1=a b ，故而有：

()()

()22sin ,22114a +?-=????=?=??=???=a b a b a a -a b +b a -b b b a

b a b

11．B

解：因为2ln x y =是由u y ln =，2x u =复合组成的，所以它不是基本初等函数。 12．D

解：2

22420

lim 1x ky y xy k x y k =→=++与k 相关，因此该极限不存在。

13．D

解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。

所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。 14．C

解：根据原式有：

()

22

420

3

2sin 22

lim 16sin 24sin 994sin

3sin x x

x x x x →=

=

=

-+-+

15．D

解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。

(sin cos )x

y e x x x ''??=-??

()()

(sin cos )(sin cos )(sin cos )(cos cos sin )sin sin cos x x x x x e x x x e x x x e x x x e x x x x e x x x x x ''=-+-=-+-+=+- (sin cos )sin x x y e x x x xe x '=-+

16．B

由两直线平行的的判定性质直接可以得到B 17．C

解：由平面垂直的基本性质得到C 18．C

解：由无穷级数收敛的定义得到A

19．A

解：由抛物柱面的基本定义得到A 20．A

解：关于单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。 由题意知：0,0x a y b ≤≤≤≤，则：()()00D

dxdy a b ab =--=??

21．D

解：由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 22．A

解：z 是x ，y 的函数，从u x =，y v x

=可得x u =，y uv =，故z 是u ，v 的函数，又因为u x =，y

v x

=。

所以z 是x,y 的复合函数，故2

1z z z y

x u v x ???-=?+????，10z z z y u

v x ???=?+????，从而 左边=z z z y z y z z z

x y x x u x y u x v x v u u ???????+=-+==??????? 因此方程变为： z

u z u

?=? 23．A

解：22

12

x x y e e '??'== ???。

所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：2

0112

2

x x e

==

24．A 解：因为2

013

<

<

22lim lim 33n

n n n n →∞→∞??

= ???， 所以2lim 03

n

n n →∞=

25．C

解：因为 1sin 1x -≤≤有界， 所以 sin lim 0x x

x

→∞=

26．解：A

{}{}{}

()(){}{}

43,5,85,1,42,4,743352,45314,4834725,27,51=+---=?+?-?+?--?+?--=a 因此 Prj 27y =a ，51z =a k k

27．解：C

设a 的方向角为α、β、γ，按题意有

α=β，γ=2α

由于 222cos cos cos 1αβγ++= 即 222cos cos cos 21ααα++= 化简得到()22cos 2cos 10αα-= 解得 cos 0α=

或cos 2

α=±

因为α、β、γ都在0到π的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：

4

π

α=

，4

π

β=

，2

π

γ=

或者2

π

α=

，2

π

β=

，γπ=

28．解：B

因为a 垂直于向量b 和c ，故而a 必定与?b c 平行，因此

()()23175123

λλλ=?=-=----i j k

a b c i j k

又因为()2710?+-=a i j k

即：()()752710λ---?+-=i j k i j k 解得 1λ=-，所以 75=a i +j +k

29．解：D

由无穷级数收敛的定义得到D 30．解：D

()()

1,11

1

22000,011

44D

xyd dx xydy x y σ===????

31．C

解：由于0=x 为无穷间断点，所以0)(0≠-=x x

a e ，故1≠a 。若0=a ，则1

=x 也是无穷间断点。由1=x 为可去间断点得e a =，故选C 。 32．A

解：考虑辅助函数,0)

()

()()()()(,)()()(2<'-'='=

x g x g x f x g x f x F x g x f x F 则 .)(严格单调减少函数则x F ,)

()

()()(,b g b f x g x f b x ><时当 ).().()()()(A b f x g b g x f 应选即有> 33．B

解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。 当x=0时，函数取得最小值y=5。

34．D

解：()()()2tan 3sec tan 3sec tan sec 3sec tan y x x x x x x x x x x x ''''=-=-=+- 35．C

解：对y 关于x 求一阶导有：

1111sin (sin cos )dy y x x x x x dx '?

?'==-= ???

所以，111

(sin cos )dy dx x x x

=- 36．A

解：直线的方向向量为()3,,4k ，平面的法向量为()2,9,3-。 因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为0。 即：329340k ?-?+?= 得到：2k = 37．A

解：因为()()2,24x x

f x y x y x ''=+=

所以()1,0414x f '=?= 38．A

解：由定理直接得到：如果函数(),z f x y =的偏导数,z z

x y

????在点(),x y 连续，则函数在该点的全微分存在。 39．D

解：由题意设向量{},,0x y =b ，因为a 垂直于b 且a b =，所以有：

0?=?=b a 2253050x y x y -=??+=?

由以上方程解得x =

y =±x ，y 同号

故而所求向量?=??b

或者??=????b 40．B

解：32dy y

x

y x y x dx x

'=+?-= 令()1p x x

=-，()2

q x x =

由一阶线性非齐次微分方程的公式有：

()()()()23

12

p x dx p x dx p x dx

y Ce e q x e dx

Cx x x dx

x

x Cx ---???=+?=+?=+??

二、判断题 1．对

解：根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。 2．错

解：根据微分方程解的性质得到dp y p dy

''=。 3．对

解：根据反常积分的性质直接得到。 4．错

解：根据极值判定定理第一充分条件，0x 为极大值点。 5．对

解：根据函数凹凸性及其判定定理可以直接得到。

6．对

解：原式中20x ≥，当且仅当x=0时，取到极小值0 ； 同样，20y ≥，当且仅当y=0时，取到极小值0 。 所以，函数的极小值点位于（0，0） 7．错

解：直接求微计算：

()()()()()

()

22

2

arctan 1

1111x x

d xy dz dxy dx dxy dx dy y x dx xy y x

e xy y xe xy =??

?=?+ ??

?+=?+++=

+

8．对

解：由题意得到积分区域V 为各向尺度为1的立方体，其体积即为1。

9．对

解：由对数定义得到(){},|0,0x y x y >>。

10．对

解：由偏导数计算法则可以求得。 11．对

解：根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。 12．对

解：根据微分方程解的性质可以直接得到。

13．对

解：根据反常积分的性质直接得到。 14．错

解：根据极值判定定理第一充分条件，0x 为极小值点。 15．对

解：根据函数拐点及其判定定理可以直接得到。

16．错

解：显然该积分表示长为3，宽为1的矩形面积，值应为3。

17．对

解：2214x y ≤+≤是一个外环半径为2，内环半径为1的圆环，积分式D

dxdy ??是

在圆环上单位1的二重积分，所以求的是圆环的面积。 原式=22413πππ?-?= 18．对

解：()v

f z dxdydz =

???()2

1

20

14

r dt re dr e π

π

=

-?

?。

19．对

解：由共面定义直接得到。

20．对

解：分别关于x 、y 的因子项求同向极值可求得。

21．错

解：根据齐次线性方程解的性质，1y 与2y 必须是线性无关的解，*y 是其特解。