假设法解题方法总结 解题总结,思考创新
假设法解题方法总结解题总结,思考创新
对解题的研究可以帮助我们如何数学地思考问题，数学地解决问题，进而再提出新的问题。直线与圆是解析几何的重要内容，从近年的高考考查情况来看，对这部分的要求明显高于圆锥曲线，其中直线与圆的位置关系成为近几年高考命题的重点，成为考查学生数形结合、分类讨论、方程等数学思想及配方法、换元法、待定系数法、定义法等基本方法的首选载体。下面笔者就一道高考模拟题来谈谈如何解题，如何再思考。题目：已知圆C:（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0），若l1与圆相交于点P，Q，线段PQ的中点为M，又直线l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM?AN是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由。分析一：根据条件“判断AM?AN是否为定值”，寻求点M，N的坐标，因为N是直线l1与l2的交点，即可联立方程组求得。M是线段PQ的中点，根据中点坐标公式，联想到直线l1与圆C联立，得x1+x2，从而得到点M的坐标。解一：根据条件直线与圆相交可知，直线l1的斜率存在且不为零，可设为：y=k（x-1），k≠0 由得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k28k+21=0（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两根，所以x1+x2= 。因为点M是线段PQ的中点，所以点M的横坐标为代入y=k（x-1），得即M 所以AM= 因此，AM?AN=6定值。定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是先用变量表示所需证明的不变量，然后再通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题。分析二：在解一中，对点M的求解采用了解析几何的基本方法，设而不求的整体代入法。但由于点M是圆C的弦的中点，根据半弦长、弦心距、半径的直角关系，可得CM⊥PQ，可得点M 新的轨迹。解二：同解一得因为点M是线段PQ的中点，∴CM⊥AM，又因A,C 是两定点，点M在以线段AC为直径的圆（x-2）2+（y-2）2=5上。联立（x-2）2+（y-2）2=5与直线l1:y=k（x-1），得方程（1+k2）x2-（2k2+4k+4）x+k2+4k+3=0 （*），因为直线
l1与圆（x-2）2+（y-2）2=5 相交于两点A、M，所以方程（*）有两解x=1或x=xM，因此下面同解一得，AM?AN=6定值。分析三：考虑到含参线段长度的表示及乘积是比较复杂的，且AM?AN的结构特点类似于向量的数量积。所以我们利用点A，N，M 三点共线，将线段AM，AN的长度乘积转化成向量的数量积利用数量积的坐标运算来避免AM，AN繁琐的长度计算。解三：根据条件，直线与圆相交可知，直线l1的斜率存在且不为零，可设为：y=k（x-1），k≠0。由得因为点M是线段PQ的中点，所以CM⊥PQ，所以直线CM：y-4= 因为所以AM?AN=6定值。分析四：平面解析几何是数形结合的典范，在解决直线与圆的位置关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质，巧妙使用平面知识往往能起到化腐朽为神奇的作用。结合本题探求AM ?AN是否为定值问题，我们可以先观察已定好的圆C（定点C定长r）、点A、定直线l2的位置特征，以寻找变化中的不变性质。这时就会发现AC⊥l2，接着不难发现存在Rt△ACM≈Rt△ABN的情况。解四：因为直线AC的斜率直线l2的斜率所以，kAC ?k2=-1，从而有AC⊥l2；设AC∩l2=B，则AB⊥l2因为点M是线段PQ的中点，所以CM ⊥PQ所以，Rt△ABN~Rt△AMC（根据三个角对应相等），所以，AC=√（3-1）2+42=2√5，所以，定值。对该题的再思考：通过对该题的探究，我们可以试着改变题中的一些条件，再思考是否有相应的结论。推广：已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，过点C作直线l2：x+2y+2=0的垂线，垂足为B，在直线BC上任取一点A，过A作直线l1交圆C于点P，Q，线段PQ的中点为M，同时直线l1与直线l2:x+2y+2=0的交点为N，试判断AM?AN是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由。解析：若点A在线段BC上时，同方法四，可证得AM?AN=6 若点A在线段BC的延长线上时，由BC⊥BN，CM⊥MN得，四点B，C，M，N共圆，利用圆的平面几何性质，所以有AM?AN=AC?AB=6。若点A在线段BC的反向延长线上时，由BC⊥BN，CM⊥MN得，四点B，C，M，N共圆，利用圆的平面几何性质，所以有AM?AN=AC ?AB=6，从而，不管点A在直线BC的哪个位置都有AM?AN=6为定值。学习数学离不开解题，解题的过程就是不断转化，不断联想的过程，解题后要及时对问题进行观察、分析、归纳类比、抽象概括，对问题中蕴涵的数学思想，数学方法进行不断地思考，从而深化对数学概念、公式，定理及数学思想方法的理解，发挥学生数学能力，让学生亲身体验解题带来的快乐，享受探究带来的成就感。长此以往，有助于培养学生独立思考，
积极探索的习惯，有助于学生学会如何数学地思考问题。