线性方程组的矩阵求法

摘要：

关键词：

第一章引言

矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵

方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本

技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。

第二章用矩阵消元法解线性方程组

第一节预备知识

定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。

定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：

（1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的

一个主元）为1；

（2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。

则称矩阵为行最简形矩阵。

第二节

1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。

下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：

（1）

11112211 21122222

1122

n n

m m mn n m a x a x a x b

a x a x a x b

+++=

根据方程组可知其系数矩阵为：

（2）

11121

21222

n m m mn

a a a

?? ? ? ? ? ???

其增广矩阵为：

（3）

111211

212222

m m mn m a a a b

a a a

b a a a b ?? ? ? ? ? ???

根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。

定理2：设A是一个m行n列矩阵

11121

21222

n m m mn

a a a

?? ? ? ? ? ???

通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式

（4）1***** 01****

0001** 00

?? ? ? ?

? ? ? ? ? ???进而化为（5）

1,11

2,12

1000

0100

0001

r n

r r rn

c c

这里r≥0,r≤m, r≤n ,*表示矩阵的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相等。

即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形，并进而化为行最简形

现在考察方程组（1）的增广矩阵（3），由定理2我们可以对（1）的系数矩阵（2）施行一次初等变换，把它化为矩阵（5），对增广矩阵（3）施行同样的初等变换，那么（3）可以化为以下形式：

（6）1,1112,122,1

110000100000

10000r n r n r r rn r r m c c d c c d c c d d d ++++??

? ? ?

? ? ??

与（6）相当的线性方程组是：

（7）

111,1112,122,11,,,0,

r n r n r

r n i r i n i i r i n i i r r i rn i r r m x c x c x d x c x c x d x c x c x d d d ++++++++++=+++=++

+==

= 这里1i ，2i ，…，n i 是1，2，…，n 的一个排列，由于方程组（7）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理1，方程组（7）与方程组（1）同解。因此，要求方程组（1），只需解方程组（7），但方程组（7）是否有解以及有怎样的解很容易看出:

情形（1），r

情形（1），r=m 或r

112111,1112,122,1,,

r n r n r r n i r i n i i r i n i i r r i rn i r

x c x c x d x c x c x d x c x c x d +++++++++=++

+=+++

= 同解。

当r=n 时，方程组（8）有唯一解,就是t

i x =t

d ,t=1,2,…,n.这

也是方程组（1）的唯一解当r

（9）

1121111,1122,12,1,,

r n r n r r n

i r i n i i r i n i i r r r i rn i x d c x c x x d c x c x x d c x c x ++++++=---=--

-=--

于是,给予未知量1

r i x +,…,n

i x 以任意一组数值1

r i k +,…n

i k ，就得

到（8）的一个解：11111

11,11,1,,

r n r r n r r n n i r i n i i r r r i rn i i i i i x d c k c k x d c k c k x k x k ++++++=---=--

这也是（1）的一个解。由于1

r i k +,…n

i k 可以任选，用这一方法可以

得到（1）的无穷多解。另一方面，由于（8）的任一解都必须满足（9），所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得到。例1：解线性方程组

123412

412341234235,243,

2328,29521.

x x x x x x x x x x x x x x x +++=+-=---++=+--=-

解：方程组的增广矩阵是

123

52401312328129521??

-- ?

?--

---??

进行初等行变换可得到矩阵最简形

131222113001260000000000?

?-- ? ?

? ?

? ? ???

0 对应的线性方程组是

43413222

11326x x x x x +-

=-+=

把移到右边作为自由未知量，得原方程组的一般解

1243

4312,22

131.

x x x x x =--+=-

第三章用初等变换解线性方程组

定义2：设B 为m ?n 行最简形矩阵, 按以下方法作s ?n 矩阵C:对任一i : 1i s ≤≤, 若有B 的某一主元位于第i 列, 则将其所在行称为C 的第i 行, 否则以n 维单位向量(0,

,0,1,0,

0)i e =-作为

C的第i行, 称C为B的s?n单位填充矩阵(其中1i s

≤≤).

显然, 单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“ -1” , 若主对角线上某一元素为“-1” , 则该元素所在列之列向量称为C

的“ J一列向量”。

定义3：设B为行最简形矩阵, 若B的单位填充矩阵C的任一“ J一列向量”均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组:

(1)

1111221

2112222

1122

n n

m m mn n

b x b x b x

+++=

(1)

的解向量，则陈C与B是匹配的（也说B与C是匹配的）。

引理1：设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，则：

（Ⅰ）将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中

（Ⅱ）若C与B是匹配的，则'C与'B也是匹配。

证明：结论（Ⅰ）显然成立，下证（Ⅱ），因为C与B是匹配的，故C 只能是n?n矩阵, 从而'C也是n?n矩阵, 设以B为系数矩阵的方程组为(1), 以'B为系数矩阵的方程组为(1),以'B为系数矩阵的方程组

为：

'''

1111221

'''

2112222

'''

1122

n n

m m mn n

b x b x b x

+++=

(2)

则由B与'B的关系可知对方程组（1）进行变量代换。

11,,

j j n n

x y x y x y ===

就得到方程组（2）, 于是方程组（1）的任一解向量交换i 、j 两个分量的位置后就是方程组（2）的一个解向量, 又从C 与'C 的关系可知, 'C 的任一“ J 一列向量”均可由C 的某一“ J 一列向量”交换i 、j 两个分量的位置后得到, 从而由C 与B 匹配知'

C 与'

B 也是匹配的。

引理2：任一m ?n 行最简形矩阵与其n ?n 单位填充矩阵C 是匹配的。证明:1设

1,11,212,12,2

2,1,21

00010

010*******

0r r n r r n r r r r rn n n

b b b b b b B b b b ++++++???

? ? ? ?

= ? ? ? ? ? ??

? (3) 则以为系数矩阵的齐次线性方程组为:

11,111,22122,112,222,11,220,0,0

r r r r n n r r r r n n r r r r r r r mn n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++++++++++++++++=++++=+++

= (4)

而B 的单位填充矩阵为:

1,11,212,12,2

2,1,21

00010

010*******

1r r n r r n r r r r rn n n

b b b b b b C b b b ++++++???

? ? ? ?

= ? ?- ? ? ? ?-?

? (5) 其所有J 一列向量为